Dạng 4: Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Phương pháp áp dụng
Để giải và biện luận hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{a_1}x + {b_1} \le 0\\{a_2}x + {b_2} \le 0\end{array} \right.$. (I)
Ta thực hiện theo các bước sau:
  • Bước 1: Lập bảng xét dấu chung cho a$_1$ và a$_2$.
  • Bước 2: Xét các trường hợp riêng biệt nhận được từ bước 1. Thông thường ta có được các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu a$_1$ > 0 và a$_2$ > 0.
Khi đó hệ (I) có dạng: $\left\{ \begin{array}{l}x \le - \frac{{{b_1}}}{{{a_1}}}\\x \le - \frac{{{b_2}}}{{{a_2}}}\end{array} \right.$ ⇔ x ≤ Min[-$\frac{{{b_1}}}{{{a_1}}}$; -$\frac{{{b_2}}}{{{a_2}}}$] là nghiệm của hệ.

Trường hợp 2: Nếu a$_1$ < 0 và a$_2$ < 0.
Khi đó hệ (I) có dạng: $\left\{ \begin{array}{l}x \ge - \frac{{{b_1}}}{{{a_1}}}\\x \ge - \frac{{{b_2}}}{{{a_2}}}\end{array} \right.$ ⇔ x ≤ Max[-$\frac{{{b_1}}}{{{a_1}}}$; -$\frac{{{b_2}}}{{{a_2}}}$] là nghiệm của hệ.

Trường hợp 3: Nếu a$_1$ > 0 và a$_2$ < 0.
Khi đó hệ (I) có dạng: $\left\{ \begin{array}{l}x \le - \frac{{{b_1}}}{{{a_1}}}\\x \ge - \frac{{{b_2}}}{{{a_2}}}\end{array} \right.$
Để hệ có nghiệm điều kiện là -$\frac{{{b_2}}}{{{a_2}}}$ ≤ -$\frac{{{b_1}}}{{{a_1}}}$.
Khi đó, nghiệm của hệ là -$\frac{{{b_2}}}{{{a_2}}}$ ≤ x ≤ -$\frac{{{b_1}}}{{{a_1}}}$.

Trường hợp 4: Nếu a$_1$ = 0 ∨ a$_2$ = 0. Khi đó, thay trực tiếp giá trị của tham số vào hệ (I).

Thí dụ 1. Giải các hệ bất phương trình:
a. $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{5x + 2}}{3} \ge 4 - x\\\frac{{6 - 5x}}{{13}} < 3x + 1\end{array} \right.$.
b. $\left\{ \begin{array}{l}{(1 - x)^2} > 5 + 3x + {x^2}\\{(x + 2)^3} < {x^3} + 6{x^2} - 7x - 5\end{array} \right.$.
a. Ta có biến đổi:
$\left\{ \begin{array}{l}8x \ge 10\\47x > - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 5/4\\x > - 7/44\end{array} \right.$ ⇔ x ≥ $\frac{5}{4}$.
Vậy, hệ phương trình có tập nghiệm $\left[ {\frac{5}{4};\,\, + \infty } \right).$.

b. Ta có biến đổi: $\left\{ \begin{array}{l}1 - 2x + {x^2} > 5 + 3x + {x^2}\\{x^3} + 6{x^2} + 12x + 8 < {x^3} + 6{x^2} - 7x - 5\end{array} \right.$
⇔ $\left\{ \begin{array}{l}5x < - 4\\19x < - 13\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x < - 4/5\\x < - 13/19\end{array} \right.$
⇔ x < -$\frac{4}{5}$ .
Vậy, hệ phương trình có tập nghiệm $\left( { - \infty ;\,\, - \frac{4}{5}} \right).$.

Thí dụ 2. Giải và biện luận hệ bất phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}mx - 1 > 0\$3m - 2)x - m > 0\end{array} \right.$.
Ta đi giải đồng thời hai bất phương trình bằng cách lập bảng xét dấu của m và 3m - 2:
bat-dang-thuc-bat-phuong-trinh-png.1219
Xét 5 trường hợp:
  • Trường hợp 1. Với m < 0 thì hệ có dạng: $\left\{ \begin{array}{l}x < 1/m\\x < \frac{m}{{3m - 2}}\end{array} \right.$⇒ x < Min{$\frac{1}{m},\,\,\frac{m}{{3m - 2}}$} = $\frac{1}{m}$ vì với m < 0 thì $\frac{m}{{3m - 2}}$ > 0.
  • Trường hợp 2. Với m = 0, hệ có dạng: $\left\{ \begin{array}{l} - 1 > 0\\ - x > 0\end{array} \right.$ vô nghiệm.
  • Trường hợp 3. Với 0 < m < $\frac{2}{3}$, hệ có dạng: $\left\{ \begin{array}{l}x > 1/m\\x < \frac{m}{{3m - 2}}\end{array} \right.$vô nghiệm do $\frac{1}{m}$ > 0 và $\frac{m}{{3m - 2}}$ < 0.
  • Trường hợp 4. Với m = $\frac{2}{3}$, hệ có dạng: $\left\{ \begin{array}{l}x > 3/2\\ - 2/3 > 0\end{array} \right.$ vô nghiệm.
  • Trường hợp 5. Với m > $\frac{2}{3}$ thì hệ có dạng: $\left\{ \begin{array}{l}x > 1/m\\x > \frac{m}{{3m - 2}}\end{array} \right.$⇒ x > Max{$\frac{1}{m},\,\,\frac{m}{{3m - 2}}$}.
Kết luận:
  • Với m < 0 hệ có nghiệm là x < $\frac{1}{m}$.
  • Với 0 ≤ m ≤ $\frac{2}{3}$ hệ vô nghiệm.
  • Với m > $\frac{2}{3}$ hệ có nghiệm là x > Max{$\frac{1}{m},\,\,\frac{m}{{3m - 2}}$}.
Chú ý: Nếu a$_1$ hoặc a$_2$ luôn khác 0 (giải sử a$_1$ ≠ 0). Khi đó thực chất bài toán được chuyển về việc giải biện luận bất phương trình còn lại với điều kiện K.

Thí dụ 3. Với giá trị nào của m thì hệ bất phương trình sau có nghiệm:
a. $\left\{ \begin{array}{l}3x - 2 > - 4x + 5\\3x + m + 2 < 0\end{array} \right.$.
b. $\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \le 0\\m + x > 1\end{array} \right.$.
a. Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}3x - 2 > - 4x + 5\\3x + m + 2 < 0\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x < - \frac{{m + 2}}{3}\end{array} \right.$.
Hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: $ - \frac{{m + 2}}{3}$ > 1 ⇔ m + 2 < - 3 ⇔ m < -5.
Vậy, với m < -5 thoả mãn điều kiện đầu bài.

b. Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \le 0\\m + x > 1\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\x > 1 - m\end{array} \right.$
Hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: 1 - m < 2 ⇔ m > -1.
Vậy, với m > -1 thoả mãn điều kiện đầu bài.

Thí dụ 4. Tìm các giá trị của m để mỗi hệ bất phương trình sau vô nghiệm:
a. $\left\{ \begin{array}{l}2x + 7 < 8x - 1\\ - 2x + m + 5 \ge 0\end{array} \right.$.
b. $\left\{ \begin{array}{l}{(x - 3)^2} \ge {x^2} + 7x + 1\\2m - 5x \le 8\end{array} \right.$.
a. Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}2x + 7 < 8x - 1\\ - 2x + m + 5 \ge 0\end{array} \right.$
⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x > 4/3\\x \le \frac{{m + 5}}{2}\end{array} \right.$
Hệ bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi: $\frac{{m + 5}}{2} \le \frac{4}{3}$ ⇔ 3m + 15 ≤ 8 ⇔ m ≤ -$\frac{7}{3}$.
Vậy, với m ≤ -$\frac{7}{3}$ thoả mãn điều kiện đầu bài.

b. Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{(x - 3)^2} \ge {x^2} + 7x + 1\\2m - 5x \le 8\end{array} \right.$
⇔ $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 6x + 9 \ge {x^2} + 7x + 1\\2m - 5x \le 8\end{array} \right.$
⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x \le 8/13\\x \ge \frac{{2m - 8}}{5}\end{array} \right.$.
Hệ bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi: $\frac{{2m - 8}}{5} > \frac{8}{3}$ ⇔ 26m - 104 > 40 ⇔ m > $\frac{{72}}{{13}}$.
Vậy, với m > $\frac{{72}}{{13}}$ thoả mãn điều kiện đầu bài.

Thí dụ 5. Với giá trị nào của m thì hệ sau có nghiệm duy nhất: $\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 - m \le 0\\mx + 2m - 1 \le 0\end{array} \right.$.
Kí hiệu các bất phương trình của hệ theo thứ tự là (1) và (2).
* Giải (1): Ta có: (1) ⇔ x ≤ $\frac{{m - 1}}{2}$.
* Giải (2), viết lại bất phương trình (2) dưới dạng: mx ≤ 1 - 2m. (3)
Trường hợp 1: Nếu m = 0, ta có: (3) ⇔ 0x ≤ 1 luôn đúng.
Vậy bất phương trình nghiệm đúng với ∀x.
Khi đó nghiệm của hệ là x ≤ -$\frac{1}{2}$, và nghiệm là không duy nhất.

  • Trường hợp 2: Nếu m > 0, ta có: (3) ⇔ x ≤ $\frac{{1 - 2m}}{m}$. Khi đó nghiệm của hệ là x ≤ Min{$\frac{{m - 1}}{2}$, $\frac{{1 - 2m}}{m}$} và nghiệm là không duy nhất.
  • Trường hợp 3: Nếu m < 0, ta có: (3) ⇔ x ≥ $\frac{{1 - 2m}}{m}$. Khi đó để hệ có nghiệm duy nhất ⇔ $\frac{{m - 1}}{2}$ = $\frac{{1 - 2m}}{m}$ ⇔ m$^2$ + 3m - 2 = 0 $\mathop \Leftrightarrow \limits^{m < 0} \,\,m = \frac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{2}$.
Vậy, hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất khi $m = \frac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{2}$.
Chú ý: Nếu hệ có dạng: -a ≤ f(x) ≤ a. (I)
ta có thể sử dụng phép biến đổi tương đương sau: (I) ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\|f(x)| \le a\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\{f^2}(x) \le {a^2}\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\$f(x) - a][f(x) + a] \le 0\,\,\,\,\,\,(*)\end{array} \right.$
và trong nhiều trường hợp việc giải biện luận (*) đơn giản hơn so với việc giải biện luận đơn lẻ từ (I). Cụ thể ta đi xem xét ví dụ sau:

Thí dụ 6. Giải và biện luận bất phương trình kép: -1 ≤ $\frac{{x + m}}{{mx + 1}}$ ≤ 1. (1)
  • Với m = 0 thì (1) ⇔ -1 ≤ x ≤ 1.
  • Với m ≠ 0 thì điều kiện x ≠ -$\frac{1}{m}$.
Viết lại bất phương trình dưới dạng: $\left| {\frac{{x + m}}{{mx + 1}}} \right|$≤ 1 ⇔ ${\left( {\frac{{x + m}}{{mx + 1}}} \right)^2}$≤ 1
⇔ $\left( {\frac{{x + m}}{{mx + 1}} - 1} \right)\,\left( {\frac{{x + m}}{{mx + 1}} + 1} \right)$≤ 0
⇔ (1 - m$^2$)(x$^2$ - 1) ≤ 0. (2)
Xét ba trường hợp:
Trường hợp 1:
Nếu 1 - m$^2$ = 0 ⇔ m = ±1.
  • Với m = 1 thì (2) ⇔ 0x ≤ 0 (luôn đúng).
Vậy (2) nghiệm đúng với mọi x ≠ - 1.
  • Với m = -1 thì (2) ⇔ 0x ≤ 0 (luôn đúng).
Vậy (2) nghiệm đúng với mọi x ≠ 1.

Trường hợp 2: Nếu 1 - m$^2$ > 0 ⇔ |m| < 1.
(2) ⇔ x$^2$ - 1 ≤ 0 ⇔ |x| ≤ 1, (luôn thoả mãn x ≠ -$\frac{1}{m}$).

Trường hợp 3: Nếu 1 - m$^2$ < 0 ⇔ |m| > 1.
(2) ⇔ x$^2$ - 1 ≥ 0 ⇔ |x| ≥ 1, (luôn thoả mãn x ≠ -$\frac{1}{m}$).
Kết luận:
  • Với m = 1, bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ≠ -1.
  • Với m = - 1, bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ≠ 1.
  • Với |m| < 1, bất phương trình có nghiệm là |x| ≤ 1.
  • Với |m| > 1, bất phương trình có nghiệm là |x| ≥ 1.
 
Sửa lần cuối:

Bình luận bằng Facebook

Chương 4: Bất đẳng thức và bất phương trình

Lý thuyết và 6 dạng phương trình, bất phương trình thường gặp Mờ rộng phương trình - bất phương trình và hệ phương trình một ẩn Sử dụng bảng xét dấu để giải phương trình - bất phương trình Bất phương trình và hệ bất phương trình hai ẩn Bất phương trình bậc hai Phương trình - Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối và chứa căn