Dạng 4: Giải phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Phương pháp áp dụng
Việc sử dụng dấu nhị thức bậc nhất để giải phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối được gọi là phương pháp chia khoảng. Với các phương trình, bất phương trình dạng: P(x) = 0, P(x) > 0, P(x) < 0, P(x) ≥ 0, P(x) ≤ 0,
trong đó P(x) = k$_1$|A$_1$| + k$_2$|A$_2$| + .. . + k$_n$|A$_n$| và dấu của các A$_i$, i = $\overline {1,n} $ được xác định thông qua dấu của những nhị thức bậc nhất, ta thực hiện theo các bước:
  • Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho các biểu thức trong phương trình, bất phương trình.
  • Bước 2: Lập bảng xét dấu các biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Ai, i = $\overline {1,n} $ từ đó chia trục số thành những khoảng sao cho trong mỗi khoảng đó các biểu thức dưới dấu trị tuyệt đối chỉ nhận một dấu xác định.
  • Bước 3: Giải ( hoặc biện luận) phương trình, bất phương trình trên mỗi khoảng đã chia.
  • Bước 4: Kết luận.

Thí dụ 1. Giải các bất phương trình:
a. |2x - 5| ≤ x + 1.
b. |2x - 4| ≥ x + 1.
a. Viết lại bất phương trình dưới dạng: $\left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\ - (x + 1) \le 2x - 5 \le x + 1\end{array} \right.$⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\\frac{4}{3} \le x \le 6\end{array} \right.$⇔ $\frac{4}{3}$ ≤ x ≤ 6.
Vậy, bất phương trình có nghiệm $\frac{4}{3}$ ≤ x ≤ 6.

b. Viết lại bất phương trình dưới dạng: $\left[ \begin{array}{l}2x - 4 \ge x + 1\\2x - 4 \le - x - 1\end{array} \right.$ ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x \ge 5\\x \le 1\end{array} \right.$.
Vậy, bất phương trình có nghiệm thuộc (-∞; 1]∪[5; +∞).
Nhận xét: Như vậy:
  • Dạng 1: Với bất phương trình: |f(x)| > g(x) ⇔ $\left[ \begin{array}{l}f(x) > g(x)\\f(x) < - g(x)\end{array} \right.$ hoặc $\left[ \begin{array}{l}g(x) < 0\\\left\{ \begin{array}{l}g(x) \ge 0\\{f^2}(x) > {g^2}(x)\end{array} \right.\end{array} \right.$(chia khoảng).
  • Dạng 2: Với bất phương trình: |f(x)| < g(x) ⇔$\left\{ \begin{array}{l}g(x) > 0\\{f^2}(x) < {g^2}(x)\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}g(x) > 0\\ - g(x) < f(x) < g(x)\end{array} \right.$ hoặc $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}f(x) \ge 0\\f(x) < g(x)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}f(x) < 0\\ - f(x) < g(x)\end{array} \right.\end{array} \right.$(chia khoảng).
Thí dụ 2. Giải phương trình:
a. $\frac{{|x - 2|}}{{{x^2} - 5x + 6}}$ ≥ 3.
b. $\frac{3}{{|x - 4| - 1}}$ = |x + 3|.
a. Biến đổi tương đương bất phương trình về dạng: $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 2 > 0\\\frac{1}{{x - 3}} \ge 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 2 < 0\\\frac{1}{{3 - x}} \ge 3\end{array} \right.\end{array} \right.$ ⇔ $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 2\\\frac{{10 - 3x}}{{x - 3}} \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 2\\\frac{{3x - 8}}{{3 - x}} \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.$ ⇔ 3 < x ≤ $\frac{{10}}{3}$.
Vậy, nghiệm của bất phương trình là 3 < x ≤ $\frac{{10}}{3}$.

b. Điều kiện: |x - 4| - 1 ≠ 0 ⇔ |x - 4| ≠ 1 ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x - 4 \ne 1\\x - 4 \ne - 1\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x \ne 5\\x \ne 3\end{array} \right.$.
Lập bảng xét dấu hai biểu thức x + 3 và x - 4:
bat-phuong-trinh-chua-dau-gia-tri-tuyet-doi-png.1225

  • Trường hợp 1: Với x ≤ - 3, phương trình có dạng: $\frac{3}{{ - x + 4 - 1}}$ = - x - 3 ⇔ $\frac{3}{{3 - x}}$ = - x - 3 ⇔ x2 = 12 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x = 2\sqrt 3 \,\,(l)\\x = - 2\sqrt 3 \end{array} \right.$.
  • Trường hợp 2: Với -3 < x < 4, phương trình có dạng: $\frac{3}{{ - x + 4 - 1}}$ = x + 3 ⇔ $\frac{3}{{3 - x}}$ = x + 3 ⇔ x2 = 6 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 6 \\x = - \sqrt 6 \end{array} \right.$.
  • Trường hợp 3: Với x ≥ 4, phương trình có dạng: $\frac{3}{{x - 4 - 1}}$ = x + 3 ⇔ x2 - 2x - 18 = 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x = 1 - \sqrt {19} \,\,(l)\\x = 1 + \sqrt {19} \end{array} \right.$.
Vậy, phương trình có 4 nghiệm là x = - 2$\sqrt 3 $, x = ± $\sqrt 6 $ và x = 1 + $\sqrt {19} $.
Chú ý: Nhiều bài toán dựa trên điều kiện có nghĩa của phương trình ta khử được dấu trị tuyệt đối. Xét ví dụ sau:

Thí dụ 3. Giải bất phương trình: $\sqrt {{x^2} - |x|} $ < x. (1)
Biến đổi tương đương bất phương trình về dạng: $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^2} - |x| < {x^2}\end{array} \right.$ ⇔ x > 0.
Vậy, nghiệm của bất phương trình là x > 0.

Thí dụ 4. Giải và biện luận bất phương trình |2x - 1| ≥ x + m.
Viết lại bất phương trình dưới dạng: $\left[ \begin{array}{l}2x - 1 \ge x + m\\2x - 1 \le - (x + m)\end{array} \right.$ ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x \ge m + 1\\x \le \frac{{1 - m}}{3}\end{array} \right.$.
  • Trường hợp 1: Nếu m + 1 ≤ $\frac{{1 - m}}{3}$ ⇔ m ≤ –$\frac{1}{2}$. Bất phương trình có nghiệm là $S = \mathbb{R}$.
  • Trường hợp 2: Nếu m + 1 > $\frac{{1 - m}}{3}$ ⇔ m > –$\frac{1}{2}$
Bất phương trình có nghiệm là (-∞; $\frac{{1 - m}}{3}$)∪(m + 1; +∞).

Xem bản đầy đủ: Bất phương trìnhbất đẳng thức
 
Sửa lần cuối:

Bình luận bằng Facebook

Chương 4: Bất đẳng thức và bất phương trình

Lý thuyết và 6 dạng phương trình, bất phương trình thường gặp Mờ rộng phương trình - bất phương trình và hệ phương trình một ẩn Sử dụng bảng xét dấu để giải phương trình - bất phương trình Bất phương trình và hệ bất phương trình hai ẩn Bất phương trình bậc hai Phương trình - Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối và chứa căn