Bất đẳng thức và bất phương trình

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
I. BẤT ĐẲNG THỨC
1. TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC

  • Tính chất 1: (Tính chất bắc cầu): Nếu a > b và b > c thì a > c.
  • Tính chất 2: Nếu a > b ⇔ a + c > b + c.
  • Tính chất 3: Nếu a > b⇔ $\left[ \begin{array}{l} ac > bc\,\,neu\,\,c > 0\\ ac < bc\,\,neu\,\,c < 0 \end{array} \right.\,\,va\,\,\left[ \begin{array}{l} \frac{a}{c} > \frac{b}{c}\,\,neu\,\,c > 0\\ \frac{a}{c} < \frac{b}{c}\,\,neu\,\,c < 0 \end{array} \right.$
Chúng ta có các quy tắc sau:
  • Quy tắc 1: (Phép cộng): Nếu a > b và c > d ⇒ a + c > b + d.
Chú ý quan trọng: không áp dụng được "quy tắc" trên cho phép trừ hai bất đẳng thức cùng chiều.
  • Quy tắc 2: (Phép nhân): Nếu a > b > 0 và c > d > 0 ⇒ ac > bd.
  • Quy tắc 3: (Phép nâng lên luỹ thừa): Nếu a > b > 0 ⇒ a$^n$ > b$^n$, với n ∈ $\mathbb{N}$*.
  • Quy tắc 4: (Phép khai căn): Nếu a > b > 0 thì $\sqrt[n]{a}$>$\sqrt[n]{b}$, với n∈ $\mathbb{N}$*.
2. BẤT ĐẲNG THỨC VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta suy ra các tính chất sau:
  • 1. -|a| ≤ a ≤ |a| với mọi số thực a.
  • 2. |x| ≤ a ⇔ -a ≤ x ≤ a với a ≥ 0 (tương tự |x|< a ⇔ -a < x < a với a > 0).
  • 3. |x| ≥ a ⇔ x ≤ -a hoặc x ≥ a với a ≥ 0 (tương tự |x| > a ⇔ x < -a hoặc x > a với a > 0).
Định lí: Với hai số thực a, b tuỳ ý, ta có |a| - |b| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b|.

3. BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN (BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI)
Định lí:
Với hai số không âm a, b, ta có: $\frac{{a + b}}{2}$ ≥ $\sqrt {ab} $ (thường được viết a + b ≥ 2$\sqrt {ab} $), dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Hệ quả 1: Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau.
Tức là, với hai số dương a, b có a + b = S không đổi suy ra: 2$\sqrt {ab} $ ≤ S ⇔ ab ≤ $\frac{{{S^2}}}{4}$ ⇒ (ab)$_{Max}$ = $\frac{{{S^2}}}{4}$, đạt được khi a = b.
Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi hình vuông có diện tích lớn nhất.

Hệ quả 2: Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau.
Tức là, với hai số dương a, b có ab = P không đổi suy ra: a + b ≥ 2$\sqrt P $ ⇒ (a + b)Min = 2$\sqrt P $, đạt được khi a = b.
Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích hình vuông có chu vi nhỏ nhất.

Mở rộng
  1. Với các số a, b, c không âm, ta luôn có: $\frac{{a + b + c}}{3}$ ≥ $\sqrt[3]{{abc}}$ thường được viết: a + b + c ≥ 3$\sqrt[3]{{abc}}$ hoặc (a + b + c)$^3$ ≥ 27abc. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
  2. Với n số a$_i$, i = $\overline {1,n} $ không âm, ta luôn có: $\underbrace {{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}_{n\,so\,hang} \ge n.\sqrt[n]{{\underbrace {{a_1}.{a_2}....{a_n}}_{n\,so\,hang}}}$ dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a$_1$ = a$_2$ = ... = a$_n$.
4. BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACÔPXKI
Định lí:
Cho a$_1$, a$_2$, b$_1$, b$_2$ là những số thực, ta có: (a$_1$b$_1$ + a$_2$b$_2$)$^2$ ≤ ($a_1^2$ + $a_2^2$)($b_1^2$ + $b_2^2$), dấu đẳng thức xảy ra khi $\frac{{{a_1}}}{{{b_1}}}$ = $\frac{{{a_2}}}{{{b_2}}}$.

II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1. BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG CÁC BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Định lí:
Cho bất phương trình f(x) < g(x) với ĐKXĐ D, h(x) là một biểu thức xác định với mọi x thoả mãn điều kiện D (h(x) có thể là hằng số). Khi đó, với điều kiện D, bất phương trình f(x) < g(x) tương đương với mỗi bất phương trình sau:
  • a. f(x) + h(x) < g(x) + h(x).
  • b. f(x).h(x) < g(x).h(x) nếu h(x) > 0 với ∀x ∈ D.
  • c. f(x).h(x) > g(x).h(x) nếu h(x) < 0 với ∀x ∈ D.
2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
Với yêu cầu "Giải và biện luận bất phương trình ax + b < 0" ta sẽ thực hiện như sau:
Viết lại bất phương trình dưới dạng: ax < -b. (1)
Ta xét ba trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu a = 0 thì: (1) ⇔ 0 < -b ⇔ b < 0. Vậy, ta được:
  • Nếu b < 0, bất phương trình nghiệm đúng với mọi x.
  • Nếu b ≥ 0, bất phương trình vô nghiệm.
Trường hợp 2: Nếu a > 0 thì: (1) ⇔ x < -$\frac{b}{a}$.
Trường hợp 3: Nếu a < 0 thì: (1) ⇔ x > -$\frac{b}{a}$.
Kết luận:
  • Với a > 0, tập nghiệm của bất phương trình là T = (-∞; -$\frac{b}{a}$).
  • Với a < 0, tập nghiệm của bất phương trình là T = (-$\frac{b}{a}$; +∞).
  • Với a = 0 và b < 0, tập nghiệm của bất phương trình là T = $\mathbb{R}$.
  • Với a = 0 và b ≥ 0, tập nghiệm của bất phương trình là T = ø.
Chú ý:
  1. Tương tự chúng ta cũng giải và biện luận được các bất phương trình: ax + b > 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0
  2. Để giải một hệ bất phương trình một ẩn, ta giải từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao của các tập nghiệm thu được.
III. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT
Định lí:
Với nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b, ta có:
  • a. f(x) cùng dấu với a khi x lớn hơn nghiệm x$_0$ = -$\frac{b}{a}$.
  • b. f(x) trái dấu với a khi x nhỏ hơn nghiệm x$_0$ = -$\frac{b}{a}$.
Bảng tóm tắt dấu của f(x) = ax + b:
bat-dang-thuc-bat-phuong-trinh-png.1214
IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
1. Để xác định miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0 (tương tự đối với các bất phương trình ax + by + c > 0, ax + by + c ≤ 0, ax + by + c ≥ 0) ta thực hiện theo các bước sau
:
Bước 1: Vẽ đường thẳng (d): ax + by + c = 0.
Bước 2: Lấy điểm M(x$_0$; y$_0$) không nằm trên (d) và xác định giá trị của: d$_M$ = ax$_0$ + by$_0$ + c, khi đó::
  • a. Nếu d$_M$ < 0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0.
  • b. Nếu d$_M$ > 0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c > 0.
2. Để xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ta thực hiện theo các bước sau:
  • Bước 1: Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ miền còn lại.
  • Bước 2: Kết luận: Miền còn lại không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
V. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
Định lí:
Với tam thức bậc hai f(x) = ax$^2$ + bx + c (a ≠ 0), ta có:
a. Nếu Δ < 0 thì f(x) cùng dấu với a, với ∀x ∈ $\mathbb{R}$, tức là: af(x) > 0, ∀x ∈ $\mathbb{R}$.
b. Nếu Δ = 0 thì f(x) cùng dấu với a, với ∀x ∈ $\mathbb{R}$\{-$\frac{b}{{2a}}$}, tức là: af(x) > 0, ∀x ≠ -$\frac{b}{{2a}}$ và af(x) ≥ 0, ∀x ∈ $\mathbb{R}$.
c. Nếu Δ > 0 thì f(x) có hai nghiệm x$_1$, x$_2$, giả sử là x$_1$ < x$_2$. Lúc đó:
  • f(x) cùng dấu với a khi x < x$_1$ hoặc x > x$_2$ .
  • f(x) trái dấu với a khi x$_1$ < x < x$_2$. Trong trường hợp này ta có bảng xét dấu như sau:
bat-dang-thuc-bat-phuong-trinh-png.1215
Chú ý: Để giải bất phương trình bậc hai, ta sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.
 

Bình luận bằng Facebook

Chương 4: Bất đẳng thức và bất phương trình

Lý thuyết và 6 dạng phương trình, bất phương trình thường gặp Mờ rộng phương trình - bất phương trình và hệ phương trình một ẩn Sử dụng bảng xét dấu để giải phương trình - bất phương trình Bất phương trình và hệ bất phương trình hai ẩn Bất phương trình bậc hai Phương trình - Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối và chứa căn