Thí dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
a. y = (2x + 1)(2 - 3x), với x ∈ [-$\frac{1}{2}$; $\frac{2}{3}$].
b. y = x(1 - x) $^3$, với 0 ≤ x ≤ 1.
y = (2x + 1)(2 - 3x) =$\frac{1}{2}$(x + $\frac{1}{2}$).$\frac{1}{3}$($\frac{2}{3}$ - x) = $\frac{1}{6}$(x + $\frac{1}{2}$)($\frac{2}{3}$ - x)
≤ $\frac{1}{6}$${\left[ {\frac{{(x + \frac{1}{2}) + (\frac{2}{3} - x)}}{2}} \right]^2}$ = $\frac{1}{6}$.${\left( {\frac{5}{{12}}} \right)^2}$ = $\frac{{25}}{{864}}$.
Từ đó suy ra y$_{Max}$ = $\frac{{25}}{{864}}$, đạt được khi: x + $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{3}$ - x ⇔ x = $\frac{1}{{12}}$.
b. Viết lại hàm số dưới dạng:
y = $\frac{1}{3}$.3x(1 - x)$^3$ = $\frac{1}{3}$.3x(1 - x)(1 - x)(1 - x),
rồi áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 4 số không âm gồm 3x và 3 số 1 - x, ta được:
y ≤ $\frac{1}{3}$.${\left[ {\frac{{3x + (1 - x) + (1 - x) + (1 - x)}}{4}} \right]^4}$ = $\frac{1}{3}$.${\left( {\frac{3}{4}} \right)^4}$ = $\frac{{27}}{{256}}$,
từ đó suy ra y$_{Max}$ = $\frac{{27}}{{256}}$, đạt được khi: 3x = 1 - x = 1 - x = 1 - x ⇔ x = $\frac{1}{4}$.
Thí dụ 2. Tìm giác trị nhỏ nhất của hàm số:
a. y = x + $\frac{2}{{x - 1}}$ với x > 1.
b. y = x$^2$ + $\frac{2}{{{x^3}}}$, với x > 0.
từ đó, suy ra y$_{min}$ = 1 + 2$\sqrt 2 $, đạt được khi: x - 1 = $\frac{2}{{x - 1}}$ ⇔ x = 1 + 2$\sqrt 2 $.
b. Viết lại hàm số dưới dạng:
y = $\frac{1}{3}$x$^2$ + $\frac{1}{3}$x$^2$ + $\frac{1}{3}$x$^2$ + $\frac{1}{{{x^3}}}$ + $\frac{1}{{{x^3}}}$ ≥ 5$\sqrt[5]{{\frac{1}{3}{x^2}.\frac{1}{3}{x^2}\frac{1}{3}{x^2}.\frac{1}{{{x^3}}}.\frac{1}{{{x^3}}}}}$ = $\frac{5}{{\sqrt[5]{{27}}}}$
từ đó, suy ra y$_{Min}$ = $\frac{5}{{\sqrt[5]{{27}}}}$, đạt được khi: $\frac{1}{3}$x$^2$ = $\frac{1}{{{x^3}}}$ ⇔ x$^5$ = 3 ⇔ x = $\sqrt[5]{3}$.
Thí dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhát của biểu thức:
a. A = $\sqrt {x - 1} + \sqrt {4 - x} $
b. S = 3x + 4y, biết x$^2$ + y$^2$ = 1.
A$^2$ = ($\sqrt {x - 1} + \sqrt {4 - x} $)$^2$ = 3 + 2$\sqrt {(x - 1)(4 - x)} $
Ta có: 3 ≤ 3 + 2$\sqrt {(x - 1)(4 - 1)} $ ≤ 3 + x - 1 + 4 - x = 6 ⇔ $\sqrt 3 $ ≤ A ≤ $\sqrt 6 $.
Từ đó, suy ra:
⇔ |3x + 4y| ≤ 5 ⇔ - 5 ≤ 3x + 4y ≤ 5.
Dấu "=" xảy ra khi: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{y} = \frac{3}{4}\\{x^2} + {y^2} = 1\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}4x = 3y\\9{x^2} + 9{y^2} = 9\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}4x = 3y\\9{x^2} + 16{x^2} = 9\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}4x = 3y\\x = \pm \frac{3}{5}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}x = \frac{3}{5},\,\,y = \frac{4}{5}\\x = - \frac{3}{5},\,\,y = - \frac{4}{5}\end{array} \right.$.
Từ đó, suy ra:
Do vậy, theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki, suy ra: ($\sqrt 2 $ + $\sqrt 3 $)$^2$ ≤ ($\frac{2}{x}$ + $\frac{3}{y}$)(x + y) = 6(x + y)
⇒ x + y ≥ $\frac{1}{6}$($\sqrt 2 $ + $\sqrt 3 $)2 = $\frac{{5 + 2\sqrt 6 }}{6}$.
Vậy (x + y)$_{Min}$ = $\frac{{5 + 2\sqrt 6 }}{6}$ đạt được khi: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 6\\\frac{x}{{\frac{2}{x}}} = \frac{y}{{\frac{3}{y}}}\end{array} \right.$
⇔ x = $\frac{{2 + \sqrt 6 }}{6}$, y = $\frac{{3 + \sqrt 6 }}{6}$.
a. y = (2x + 1)(2 - 3x), với x ∈ [-$\frac{1}{2}$; $\frac{2}{3}$].
b. y = x(1 - x) $^3$, với 0 ≤ x ≤ 1.
Giải
a. Với -$\frac{1}{2}$ ≤ x ≤ $\frac{2}{3}$ thì 2x + 1 ≥ 0 và 2 - 3x ≥ 0, do đó sử dụng bất đẳng thức Côsi ta được:y = (2x + 1)(2 - 3x) =$\frac{1}{2}$(x + $\frac{1}{2}$).$\frac{1}{3}$($\frac{2}{3}$ - x) = $\frac{1}{6}$(x + $\frac{1}{2}$)($\frac{2}{3}$ - x)
≤ $\frac{1}{6}$${\left[ {\frac{{(x + \frac{1}{2}) + (\frac{2}{3} - x)}}{2}} \right]^2}$ = $\frac{1}{6}$.${\left( {\frac{5}{{12}}} \right)^2}$ = $\frac{{25}}{{864}}$.
Từ đó suy ra y$_{Max}$ = $\frac{{25}}{{864}}$, đạt được khi: x + $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{3}$ - x ⇔ x = $\frac{1}{{12}}$.
b. Viết lại hàm số dưới dạng:
y = $\frac{1}{3}$.3x(1 - x)$^3$ = $\frac{1}{3}$.3x(1 - x)(1 - x)(1 - x),
rồi áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 4 số không âm gồm 3x và 3 số 1 - x, ta được:
y ≤ $\frac{1}{3}$.${\left[ {\frac{{3x + (1 - x) + (1 - x) + (1 - x)}}{4}} \right]^4}$ = $\frac{1}{3}$.${\left( {\frac{3}{4}} \right)^4}$ = $\frac{{27}}{{256}}$,
từ đó suy ra y$_{Max}$ = $\frac{{27}}{{256}}$, đạt được khi: 3x = 1 - x = 1 - x = 1 - x ⇔ x = $\frac{1}{4}$.
Thí dụ 2. Tìm giác trị nhỏ nhất của hàm số:
a. y = x + $\frac{2}{{x - 1}}$ với x > 1.
b. y = x$^2$ + $\frac{2}{{{x^3}}}$, với x > 0.
Giải
a. Vì x > 1 nên x - 1 và $\frac{2}{{x - 1}}$ là hai số dương. Do đó: y = x + $\frac{2}{{x - 1}}$ = 1 + x - 1 + $\frac{2}{{x - 1}}$ ≥ 1 + 2$\sqrt {(x - 1)\frac{2}{{x - 1}}} $ = 1 + 2$\sqrt 2 $.từ đó, suy ra y$_{min}$ = 1 + 2$\sqrt 2 $, đạt được khi: x - 1 = $\frac{2}{{x - 1}}$ ⇔ x = 1 + 2$\sqrt 2 $.
b. Viết lại hàm số dưới dạng:
y = $\frac{1}{3}$x$^2$ + $\frac{1}{3}$x$^2$ + $\frac{1}{3}$x$^2$ + $\frac{1}{{{x^3}}}$ + $\frac{1}{{{x^3}}}$ ≥ 5$\sqrt[5]{{\frac{1}{3}{x^2}.\frac{1}{3}{x^2}\frac{1}{3}{x^2}.\frac{1}{{{x^3}}}.\frac{1}{{{x^3}}}}}$ = $\frac{5}{{\sqrt[5]{{27}}}}$
từ đó, suy ra y$_{Min}$ = $\frac{5}{{\sqrt[5]{{27}}}}$, đạt được khi: $\frac{1}{3}$x$^2$ = $\frac{1}{{{x^3}}}$ ⇔ x$^5$ = 3 ⇔ x = $\sqrt[5]{3}$.
Thí dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhát của biểu thức:
a. A = $\sqrt {x - 1} + \sqrt {4 - x} $
b. S = 3x + 4y, biết x$^2$ + y$^2$ = 1.
Giải
a. Với 1 ≤ x ≤ 4, ta có:A$^2$ = ($\sqrt {x - 1} + \sqrt {4 - x} $)$^2$ = 3 + 2$\sqrt {(x - 1)(4 - x)} $
Ta có: 3 ≤ 3 + 2$\sqrt {(x - 1)(4 - 1)} $ ≤ 3 + x - 1 + 4 - x = 6 ⇔ $\sqrt 3 $ ≤ A ≤ $\sqrt 6 $.
Từ đó, suy ra:
- A$_{Max}$ = $\sqrt 6 $, đạt được khi: x - 1 = 4 - x ⇔ 2x = 5 ⇔ x = $\frac{5}{2}$.
- A$_{Min}$ = $\sqrt 3 $, đạt được khi: (x - 1)(4 - x) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 4.
⇔ |3x + 4y| ≤ 5 ⇔ - 5 ≤ 3x + 4y ≤ 5.
Dấu "=" xảy ra khi: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{y} = \frac{3}{4}\\{x^2} + {y^2} = 1\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}4x = 3y\\9{x^2} + 9{y^2} = 9\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}4x = 3y\\9{x^2} + 16{x^2} = 9\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}4x = 3y\\x = \pm \frac{3}{5}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}x = \frac{3}{5},\,\,y = \frac{4}{5}\\x = - \frac{3}{5},\,\,y = - \frac{4}{5}\end{array} \right.$.
Từ đó, suy ra:
- S$_{Max}$ = 5, đạt được khi $x = \frac{3}{5},\,\,y = \frac{4}{5}$.
- S$_{Min}$ = 5, đạt được khi $x = - \frac{3}{5},\,\,y = - \frac{4}{5}$.
Giải
Nhận xét rằng: 3x + 2y = 6xy ⇔ $\frac{2}{x}$ + $\frac{3}{y}$ = 6, $\sqrt 2 $ + $\sqrt 3 $ = $\sqrt {\frac{2}{x}} $.$\sqrt x $ + $\sqrt {\frac{3}{y}} $.$\sqrt y $.Do vậy, theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki, suy ra: ($\sqrt 2 $ + $\sqrt 3 $)$^2$ ≤ ($\frac{2}{x}$ + $\frac{3}{y}$)(x + y) = 6(x + y)
⇒ x + y ≥ $\frac{1}{6}$($\sqrt 2 $ + $\sqrt 3 $)2 = $\frac{{5 + 2\sqrt 6 }}{6}$.
Vậy (x + y)$_{Min}$ = $\frac{{5 + 2\sqrt 6 }}{6}$ đạt được khi: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 6\\\frac{x}{{\frac{2}{x}}} = \frac{y}{{\frac{3}{y}}}\end{array} \right.$
⇔ x = $\frac{{2 + \sqrt 6 }}{6}$, y = $\frac{{3 + \sqrt 6 }}{6}$.
Sửa lần cuối: