Dạng 2: Giải bất phương trình tích hoặc chứa ẩn ở mẫu

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Phương pháp áp dụng
1. Để giải các bất phương trình dạng: P(x) > 0, P(x) < 0, P(x) ≥ 0, P(x) ≤ 0, trong đó P(x) = (a$_1$x + b$_1$)…(a$_n$x + b$_n$), ta thực hiện theo các bước:
  • Bước 1: Tìm các nghiệm x$_1$, …, x$_n$ của các nhị thức a$_1$x + b, …, a$_n$x + b.
  • Bước 2: Sắp xếp các nghiệm tìm được theo thứ tự tăng dần (giả sử x$_k$ < … < x$_l$), từ đó lập bảng xét dấu dạng:
giai-bat-phuong-trinh-bac-2-png.1222

  • Bước 3: Dựa vào kết quả bảng xét dấu suy ra nghiệm cho bất phương trình.
2. Để giải các bất phương trình dạng:
$\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$ > 0, $\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$ < 0, $\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$ ≥ 0, $\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$ ≤ 0, trong đó P(x) và Q(x) là tích những nhị thức bậc nhất được thực hiện theo các bước:
  • Bước 1: Tìm các nghiệm x$_1$, …, x$_n$ của các phương trình P(x) = 0 và Q(x) = 0.
  • Bước 2: Sắp xếp các nghiệm tìm được theo thứ tự tăng dần (giả sử xk < … < xl), từ đó lập bảng xét dấu cho phân thức $\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$. Với lưu ý rằng trên hàng cuối tại những điểm Q(x) = 0 ta sử dụng kí hiệu || để chỉ ra rằng tại đó bất phương trình không xác định.
  • Bước 3: Dựa vào kết quả bảng xét dấu suy ra nghiệm cho bất phương trình.

Thí dụ 1. Giải các bất phương trình:
a. $\frac{3}{{1 - x}}$ ≥ $\frac{5}{{2x + 1}}$.
$b.\,\,\,\frac{{(2x - 1)(2 - x)}}{{{x^2} - 4x + 3}} < 0.$
a. Ta có biến đổi: $\frac{3}{{1 - x}}$ ≥ $\frac{5}{{2x + 1}}$ ⇔ $\frac{{3(2x + 1) - 5(1 - x)}}{{(1 - x)(2x + 1)}}$ ≥ 0 ⇔ $\frac{{11x - 2}}{{(1 - x)(2x + 1)}}$ ≥ 0.
Lập bảng xét dấu, ta được tập nghiệm của bất phương trình là: S = $\left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right)$ ∪ $\left[ {\frac{2}{{11}};\,\,1} \right)$.

b. Viết lại bất phương trình dưới dạng: $\frac{{(2x - 1)(2 - x)}}{{(x - 1)(x - 3)}} < 0.$ (1)
Ta có:
2x - 1 = 0 ⇔ x = $\frac{1}{2}$;
2 - x = 0 ⇔ x = 2;
x - 1 = 0 ⇔ x = 1;
x - 3 = 0 ⇔ x = 3.
Lập bảng xét dấu của (1):
giai-bat-phuong-trinh-bac-2_b-png.1223
Vậy, bất phương trình có tập hợp nghiệm là: (-∞; $\frac{1}{2}$)∪(1; 2)∪(3; +∞).

Chú ý: Có thể giải bất phương trình trên bằng phương pháp sau đây gọi là phương pháp chia khoảng. Chia trục Ox thành các khoảng:
giai-bat-phuong-trinh-bac-2_c-png.1224

Thí dụ 2. Xác định m sao cho các bất phương trình sau tương đương: (m + 1)x - m - 3 > 0 và (m - 1)x - m - 2 > 0 .
Viết lại các bất phương trình dưới dạng:
(m + 1)x > m + 3 (1)
(m – 1)x > m + 2 (2)
  • Trường hợp 1: Nếu m = – 1.
(1) ⇔ 0.x > - 2 ⇔ ∀x ∈ $\mathbb{R}$.
(2) ⇔ x > -$\frac{1}{2}$.
Vậy, (1) và (2) không tương đương.
  • Trường hợp 2: Nếu m = 1.
(1) ⇔ x > 2.
(2) ⇔ 0.x > 3 ⇔ vô nghiệm.
Vậy, (1) và (2) không tương đương.
  • Trường hợp 3: Nếu m ≠ ±1 thì để (1) và (2) tương đương điều kiện là: $\left\{ \begin{array}{l}(m - 1)(m + 1) > 0\\\frac{{m + 3}}{{m + 1}} = \frac{{m + 2}}{{m - 1}}\end{array} \right.$⇔ m = -5.
Vậy, với m = -5, hai bất phương trình tương đương với nhau.

✅ Xem bản đầy đủ: Bất phương trìnhbất đẳng thức
 
Sửa lần cuối:

Bình luận bằng Facebook

Chương 4: Bất đẳng thức và bất phương trình

Lý thuyết và 6 dạng phương trình, bất phương trình thường gặp Mờ rộng phương trình - bất phương trình và hệ phương trình một ẩn Sử dụng bảng xét dấu để giải phương trình - bất phương trình Bất phương trình và hệ bất phương trình hai ẩn Bất phương trình bậc hai Phương trình - Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối và chứa căn