Dạng 4: Dấu tam thức trên một miền

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Phương pháp áp dụng
Cho tam thức: f(x) = ax$^2$ + bx + c, với a ≠ 0
chúng ta có các kết quả sau:
  1. f(x) > 0, với $\forall x \in \mathbb{R}$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.$; f(x) < 0, với $\forall x \in \mathbb{R}$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta < 0\end{array} \right.$.
  2. Trong trường hợp Δ > 0 (tức phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 < x2) thì:
  • a.f(α) < 0 ⇔ α ∈ (x$_1$; x$_2$).
  • a.f(α) > 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}\alpha < {x_1}\\\alpha > {x_2}\end{array} \right.$, tức là $\left[ \begin{array}{l}\alpha < {x_1} < {x_2}\\{x_1} < {x_2} < \alpha \end{array} \right.$.

Thí dụ 1. Cho tam thức: f(x) = x$^2$ - (m + 2)x + 8m + 1.
Xác định m để:
a. f(x) > 0 với $\forall x \in \mathbb{R}$.
b. f(x) ≤ 0 trên một đoạn có độ dài bằng $\sqrt 3 $.
c. f(x) < 0 trên khoảng (0; 2).
a. Để f(x) ≥ 0 với $\forall x \in \mathbb{R}$ điều kiện là: $\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\{(m + 2)^2} - 8m - 1 < 0\end{array} \right.$⇔ m$^2$ - 4m + 3 < 0 ⇔ 1 < m < 3.
Vậy, với 1 < m < 3 thoả mãn điều kiện đầu bài.

b. Để f(x) ≤ 0 trên một đoạn có độ dài bằng $\sqrt 3 $ điều kiện là phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn |x1 - x2| = $\sqrt 3 $, tức là:
$\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\\left| {\frac{{\sqrt \Delta }}{a}} \right| = \sqrt 3 \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\\sqrt \Delta = \sqrt 3 \end{array} \right.$ ⇔ Δ = 3 ⇔ m2 - 4m + 3 = 3 ⇔ m = 0 hoặc m = 4.
Vậy, với m = 0 hoặc m = 4 thoả mãn điều kiện đầu bài.

c. Để f(x) < 0 trên khoảng (0; 2) điều kiện là phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn ${x_1} < 0 < 2 < {x_2}$, tức là:
$\left\{ \begin{array}{l}a.f(0) < 0\\a.f\left( 2 \right) < 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}8m + 1 < 0\\6m + 1 < 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,m > - \frac{1}{8}.$
Vậy, với $m > - \frac{1}{8}$ thoả mãn điều kiện đầu bài.

Nhận xét: Với các yêu cầu trong thí dụ trên, ta có phát biểu khác như sau:
a. Câu a) được chuyển thành:
  • "Tìm m để bất phương trình x$^2$ - (m + 2)x + 8m + 1 > 0 nghiệm đúng với mọi x".
  • "Tìm m để bất phương trình x$^2$ - (m + 2)x + 8m + 1 ≤ 0 vô nghiệm".
b. Câu b) được chuyển thành: "Tìm m để bất phương trình x$^2$ - (m + 2)x + 8m + 1 ≤ 0 có tập nghiệm T có độ dài bằng $\sqrt 3 $".
c. Câu c) được chuyển thành "Tìm các giá trị của m để bất phương trình x$^2$ - (m + 2)x + 8m + 1 < 0 nghiệm đúng với mọi x∈(0; 2)".

Thí dụ 2. Cho tam thức: f(x) = -x$^2$ + 4(m + 1)x + 1 - m$^2$.
Xác định m để:
a. f(x) ≤ 0 với $\forall x \in \mathbb{R}$.
b. f(x) > 0 trên một đoạn có độ dài bằng 4.
c. f(x) > 0 trên khoảng (0; 1).
a. Để f(x) ≤ 0 với $\forall x \in \mathbb{R}$ điều kiện là: $\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l} - 1 < 0\\4{(m + 1)^2} - 1 + {m^2} < 0\end{array} \right.$⇔ 5m$^2$ + 8m + 3 < 0 $ \Leftrightarrow \,\, - 1 \le m \le - \frac{3}{5}.$
Vậy, với $ - 1 \le m \le - \frac{3}{5}$ thoả mãn điều kiện đầu bài.

b. Để f(x) > 0 trên một đoạn có độ dài bằng 4 điều kiện là phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn |x1 - x2| = 4, tức là:
$\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\\left| {\frac{{\sqrt \Delta }}{a}} \right| = 4\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\\sqrt \Delta = 4\end{array} \right.$ ⇔ Δ = 3 ⇔ 5m2 + 8m + 3 = 16 ⇔ m = 1 hoặc m = -$\frac{{13}}{5}$.
Vậy, với m = 1 hoặc m = -$\frac{{13}}{5}$ thoả mãn điều kiện đầu bài.

c. Để f(x) > 0 trên khoảng (0; 1) điều kiện là phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn ${x_1} < 0 < 1 < {x_2}$, tức là:
$\left\{ \begin{array}{l}a.f(0) < 0\\a.f\left( 1 \right) < 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l} - 1\left( {1 - {m^2}} \right) < 0\\ - 1\left( { - 1 + 4m + 4 + 1 - {m^2}} \right) < 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 1 < 0\\{m^2} - 4m - 4 < 0\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \,\,2 - 2\sqrt 2 < m < 1.$
Vậy, với $2 - 2\sqrt 2 < m < 1$ thoả mãn điều kiện đầu bài.

Thí dụ 3. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: (m + 2)x$^2$ - 2mx - m + 2 < 0. (1)
Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Xét ba trường hợp:
  • Trường hợp 1: Với m + 2 = 0 ⇔ m = -2, ta được: (1) ⇔ 4x + 4 < 0 ⇔ x < - 1. Bất phương trình có nghiệm.
  • Trường hợp 2: Với m + 2 < 0 ⇔ m < -2. Bất phương trình đã cho cũng có nghiệm (vì lúc đó tam thức ở vế trái luôn âm hoặc chỉ dương trên một khoảng hữu hạn).
  • Trường hợp 3: Với m + 2 > 0 ⇔ m > -2. (*)
Khi đó, để bất phương trình đã cho có nghiệm thì tam thức ở vế trái phải có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ' > 0 ⇔ m2 - 2 > 0 ⇔ |m| > $\sqrt 2 $$\mathop \Leftrightarrow \limits^{(*)} $ $\left[ \begin{array}{l}m > \sqrt 2 \\ - 2 < m < - \sqrt 2 \end{array} \right.$.
Vậy, với |m| > $\sqrt 2 $ thì bất phương trình có nghiệm.

Cách 2: Ta đi xét bài toán ngược là "Tìm điều kiện để bất phương trình vô nghiệm", tức là tìm điều kiện để: (m + 2)x$^2$ - 2mx - m + 2 ≥ 0 với mọi x. (2)
Xét hai trường hợp:
  • Trường hợp 1: Với m + 2 = 0 ⇔ m = -2, ta được: (2) ⇔ 4x + 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ -1 ⇒ không thoả mãn.
  • Trường hợp 2: Với m + 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ -2.
Khi đó, để (2) nghiệm đúng với mọi x điều kiện là: $\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}m + 2 > 0\\{m^2} + (m - 2)(m + 2) \le 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}m + 2 > 0\\{m^2} - 2 \le 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left| m \right| \le \sqrt 2 .$
Vậy, với $\left| m \right| \le \sqrt 2 $ thoả mãn (2), từ đó suy ra với |m| > $\sqrt 2 $ thoả mãn điều kiện đầu bài.
Chú ý: Thí dụ tiếp theo sẽ minh hoạ việc sử dụng nội dung (2) đã được trình bày trong nội dung của dạng toán này.

Thí dụ 4. Cho phương trình: x$^2$ - 2mx + 4m - 3 = 0. (1)
Xác định các giá trị của m để phương trình có:
a. Hai nghiệm phân biệt x$_1$, x$_2$ thoả mãn x$_1$ < 0 < 2 < x$_2$
b. Đúng một nghiệm thuộc khoảng (0; 2).
c. Hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0; 2).
a. Phương trình có hai nghiệm phân biệt x$_1$, x$_2$ thoả mãn x$_1$ < 0 < 2 < x$_2$ điều kiện là:
$\left\{ \begin{array}{l}a.f(0) < 0\\a.f(2) < 0\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}4m - 3 < 0\\1 < 0\end{array} \right.$, vô nghiệm.
Vậy, không tồn tại m thoả mãn điều kiện đầu bài.

b. Phương trình có đúng môt nghiệm thuộc khoảng (0; 2) điều kiện là (1) có: $\left[ \begin{array}{l} nghiem\,kep\,thuoc{\rm{ (0;}}\,\,{\rm{2)}}\\ {{\rm{x}}_{\rm{1}}} \le 0 < {x_2} < 2\\ {\rm{0}}\,{\rm{ < }}\,{{\rm{x}}_{\rm{1}}} < 2 \le {x_2} \end{array} \right.$
Ta lần lượt:
  • Để (1) có nghiệm kép thuộc (0; 2) điều kiện là: $\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 0\\ - \frac{b}{{2a}} \in (0;\,\,2)\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4m + 3 > 0\\0 < m < 2\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 3\\m < 1\end{array} \right.\\0 < m < 2\end{array} \right.$ ⇔ 0 < m < 1. (*)
  • Để (1) có nghiệm thoả mãn x$_1$ ≤ 0 < x$_2$ < 2 hoặc 0 < x$_1$ < 2 ≤ x$_2$, suy ra: f(0).f(2) ≤ 0 (4m - 3).1 ≤ 0 ⇔ m ≤ $\frac{3}{4}$. (**)
Thử lại: với m = $\frac{3}{4}$, phương trình (1) có dạng: 2x$^2$ - 3x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = $\frac{3}{2}$ - thoả mãn điều kiện.
Kết hợp (*) và (**) suy ra với m < 1 thoả mãn điều kiện đầu bài.

c. Phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0; 2) điều kiện là: 0 < x1 < x2 < 2 ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\af(0) > 0\\af(2) > 0\\0 < \frac{S}{2} < 2\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4m + 3 > 0\\4m - 3 > 0\\1 > 0\\0 < m < 2\end{array} \right.$⇔ $\frac{3}{4}$ < m < 1.
Vậy, với $\frac{3}{4}$ < m < 1 thoả mãn điều kiện đầu bài.
 
Sửa lần cuối:

Bình luận bằng Facebook

Chương 4: Bất đẳng thức và bất phương trình

Lý thuyết và 6 dạng phương trình, bất phương trình thường gặp Mờ rộng phương trình - bất phương trình và hệ phương trình một ẩn Sử dụng bảng xét dấu để giải phương trình - bất phương trình Bất phương trình và hệ bất phương trình hai ẩn Bất phương trình bậc hai Phương trình - Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối và chứa căn