Dạng 6: Sử dụng bất đẳng thức giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Thí dụ 1. Giải phương trình $\sqrt {{x^2} - 2x + 5} $ + $\sqrt {x - 1} $ = 2.
Nhận xét rằng: VT = $\sqrt {{x^2} - 2x + 5} $ + $\sqrt {x - 1} $ = $\sqrt {{{(x - 1)}^2} + 4} $ + $\sqrt {x - 1} $ ≥ 2.
Vậy, phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: VT = 2 ⇔ x - 1 = 0 ⇔ x = 1.
Vậy, phương trình có nghiệm x = 1.

Thí dụ 2. Giải các phương trình sau:
a. |4x - 1| + 2|2x - 1| = 1.
b. $\sqrt {x - 1 + 2\sqrt {x - 2} } $ - $\sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 2} } $ = 2.
a. Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Ta biến đổi phương trình về dạng: |4x - 1| + |2 - 4x| = (4x - 1) + (2 – 4x).
<=> $\left\{ \begin{array}{l}4x - 1 \ge 0\\2 - 4x \ge 0\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1/4\\x \le 1/2\end{array} \right.$.
Vậy, nghiệm của phương trình là $\frac{1}{4}$ ≤ x ≤ $\frac{1}{2}$.

Cách 2: Ta biến đổi phương trình về dạng: |4x - 1| + |4x - 2| = (4x - 1) - (4x - 2).
<=>$\left\{ \begin{array}{l}4x - 1 \ge 0\\4x - 2 \le 0\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1/4\\x \le 1/2\end{array} \right.$.
Vậy, nghiệm của phương trình là $\frac{1}{4}$ ≤ x ≤ $\frac{1}{2}$.

b. Viết lại phương trình dưới dạng:
$\sqrt {{{(\sqrt {x - 2} + 1)}^2}} $ - $\sqrt {{{(\sqrt {x - 2} - 1)}^2}} $ = 1
⇔ |$\sqrt {x - 2} $ + 1| - |$\sqrt {x - 2} $ - 1| = |($\sqrt {x - 2} $ + 1) - ( $\sqrt {x - 2} $ - 1)|
<=> ($\sqrt {x - 2} $ - 1).2 ≥ 0 ⇔ $\sqrt {x - 2} $ ≥ 1 ⇔ x ≥ 3.
Vậy, phương trình có nghiệm là x ≥ 3.

Thí dụ 3. Giải phương trình 2$\sqrt {7{x^3} - 11{x^2} + 25x - 12} $ = x$^2$ + 6x - 1.
Viết lại phương trình dưới dạng: 2$\sqrt {(7x - 4)({x^2} - x + 3)} $ = x$^2$ + 6x - 1.
Điều kiện: 7x - 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ $\frac{4}{7}$.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho vế trái, ta được: 2$\sqrt {(7x - 4)({x^2} - x + 3)} $ ≤ (7x - 4) + (x2 - x + 3) = x2 + 6x - 1 = VP.
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi: 7x - 4 = x$^2$ - x + 3 ⇔ x$^2$ - 8x + 7 = 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 7\end{array} \right.$.
Vậy, phương trình có nghiệm x = 1 hoặc x = 7.

Thí dụ 4. Giải các phương trình sau:
a. 2x$^4$ + (1 - 2x)$^4$ = $\frac{1}{{27}}$.
b. $\sqrt x $ + $\sqrt {1 - x} $ + $\sqrt[4]{x}$ + $\sqrt[4]{{1 - x}}$ = $\sqrt 2 $ + $\sqrt[4]{8}$.
a. Biến đổi vế trái của phương trình:
2x$^4$ + (1 - 2x)$^4$ = $\frac{1}{3}$.3.[ 2x$^4$ + (1 - 2x)$^4$] = $\frac{1}{3}$(1$^2$ + 1$^2$ + 1$^2$)[ x$^4$ + x$^4$ + (1 - 2x)$^4$]
≥ $\frac{1}{3}$[ x$^2$ + x$^2$ + (1 - 2x)$^2$]$^2$ = $\frac{1}{3}$.$\frac{1}{9}${3.[ x$^2$ + x$^2$ + (1 - 2x)$^2$]}$^2$
= $\frac{1}{{27}}${(1$^2$ + 1$^2$ + 1$^2$) [ x$^2$ + x$^2$ + (1 - 2x)$^2$]}$^2$≥ $\frac{1}{{27}}$[x + x + (1 - 2x)]$^4$ = $\frac{1}{{27}}$.
Vậy phương trình có nghiệm khi dấu đẳng thức xảy ra
⇔ $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = {x^2} = {(1 - 2x)^2}\\x = x = 1 - 2z\end{array} \right.$ ⇔ x = $\frac{1}{3}$.
Vậy phương trình có nghiệm x = $\frac{1}{3}$.

b. Điều kiện 0 ≤ x ≤ 1.
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki, ta có:
$\sqrt x $ + $\sqrt {1 - x} $ = 1.$\sqrt x $ + 1.$\sqrt {1 - x} $ ≤ $\sqrt {(1 + 1)(x + 1 - x)} $ = $\sqrt 2 $
$\sqrt[4]{x}$ + $\sqrt[4]{{1 - x}}$ = 1.$\sqrt[4]{x}$ + 1.$\sqrt[4]{{1 - x}}$ ≤ $\sqrt {(1 + 1)(\sqrt x + \sqrt {1 - x} )} $ ≤ $\sqrt {2\sqrt 2 } $ = $\sqrt[4]{8}$.
suy ra: $\sqrt x $ + $\sqrt {1 - x} $ + $\sqrt[4]{x}$ + $\sqrt[4]{{1 - x}}$ ≤ $\sqrt 2 $ + $\sqrt[4]{8}$.
Vậy, bất phương trình có nghiệm khi dấu "=" xảy ra, tức là với x = $\frac{1}{2}$.

Thí dụ 5. Giải bất phương trình $\sqrt {x - \sqrt {{x^2} - 1} } $ + $\sqrt {x + \sqrt {{x^2} - 1} } $ ≤ 2.
Nhận xét rằng: $\left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\ - a - b \le ax \le a - b\,\,\,(*)\end{array} \right.$ + $\sqrt {x + \sqrt {{x^2} - 1} } $ ≥ $2\sqrt[4]{{(x - \sqrt {{x^2} - 1} )(x + \sqrt {{x^2} - 1} )}}$ = 2
Do đó, nghiệm của bất phương trình ứng với dấu "=" của bất đẳng thức trên, tức là:
$\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - \sqrt {{x^2} - 1} } = 1\\\sqrt {x + \sqrt {{x^2} - 1} } = 1\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x - \sqrt {{x^2} - 1} = 1\\x + \sqrt {{x^2} - 1} = 1\end{array} \right.$ $\mathop \Leftrightarrow \limits^ + $ x = 1.
Vậy, bất phương trình có nghiệm x = 1.

Thí dụ 6. Giải các bất phương trình sau:
a. |3x + 1| ≤ |2x - 1| + |x + 2|.
b. |2x + 3| ≥ |3x + 5| - |x + 2|.
c. |2x$^2$ - 3x + 1| - |2x$^2$ - 5x| < 2x + 1.
d. |x + 2| ≤ |3x - 1| - |2x - 3|.
a. Biến đổi bất phương trình ban đầu về dạng: |(2x - 1) + (x + 2)| ≤ |2x - 1| + |x + 2| - luôn đúng.
Vậy, bất phương trình nhận mọi x làm nghiệm.

b. Biến đổi bất phương trình ban đầu về dạng: |(3x + 5) - (x + 2)| ≥ |3x + 5| - |x + 2| - luôn đúng.
Vậy, bất phương trình nhận mọi x làm nghiệm.

c. Biến đổi bất phương trình ban đầu về dạng: |2x$^2$ - 3x + 1| - |2x$^2$ - 5x| < |(2x$^2$ - 3x + 1) - (2x$^2$ - 5x)|
⇔ (2x$^2$ - 5x)(2x + 1) < 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x < - 1/2\\0 < x < 5/2\end{array} \right.$.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (-∞; - $\frac{1}{2}$)∪ ($\frac{5}{2}$; +∞).

d. Biến đổi bất phương trình ban đầu về dạng:
|(3x - 1) - (2x - 3)| ≤ |3x - 1| - |2x - 3| ⇔ |(3x - 1) - (2x - 3)| = |3x - 1| - |2x - 3|
⇔ (2x - 3)(x + 2) ≥ 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x < - 2\\x > 3/2\end{array} \right.$.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (-∞ ; -2)∪ ($\frac{3}{2}$; +∞).

Thí dụ 7. Giải bất phương trình $\sqrt {x - 1} $ - $\sqrt {2{x^2} - 10x + 16} $ ≥ 3 - x.
Biến đổi bất phương trình về dạng: $\sqrt {x - 1} $ + x - 3 ≥ $\sqrt {2{x^2} - 10x + 16} $.
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki, ta có: $\sqrt {2[(x - 1) + {{(x - 3)}^2}]} $ ≤ $\sqrt {x - 1} $ + x - 3.
Vậy bất phương trình tương đương với dấu "=" xảy ra, tức là $\sqrt {x - 1} $ = x - 3 ⇔ x$^2$ - 7x + 10 = 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 5\end{array} \right.$.
Vậy, bất phương trình có nghiệm x = 2 và x = 5.

Thí dụ 8. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}|x - y| + |x + y| = 2\,\,\,\,\,\,\,(1)\\xy = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.$.
Biến đổi (1) về dạng: 4 = (x - y)$^2$ + (x + y)$^2$ + 2|x$^2$ - y$^2$| = 2(x$^2$ + y$^2$) + 2|x$^2$ - y$^2$| ≥ 2(x$^2$ + y$^2$) ≥ 4xy = 4
Vậy, hệ tương đương với: $\left\{ \begin{array}{l}2|{x^2} - {y^2}| = 0\\x = y\\xy = 1\end{array} \right.$ ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x = y = 1\\x = y = - 1\end{array} \right.$.
Vậy, hệ có 2 cặp nghiệm (1; 1) và (-1; -1).

Thí dụ 9. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} - y} + \sqrt {{y^2} - x} = 2\\{x^2} + {y^2} - x - y = 2\end{array} \right.$.
Kí hiệu hai phương trình của hệ theo thứ tự là (1) và (2).
Xét (1), sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki: 2 = $\sqrt {{x^2} - y} + \sqrt {{y^2} - x} $$\mathop \le \limits^{Bunhiac\ll pxki} $$\sqrt {(1 + 1)({x^2} - y + {y^2} - x)} $$\mathop = \limits^{(2)} $2
Vậy (1) tương đương với: $\sqrt {{x^2} - y} $ = $\sqrt {{y^2} - x} $ ⇔ x$^2$ - y = y$^2$ - x
⇔ (x - y)(x + y + 1) = 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x = y\\y = - x - 1\end{array} \right.$.
  • Với x = y, hệ có dạng: $\left\{ \begin{array}{l}x = y\\{x^2} + {x^2} - x - x = 2\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x = y\\{x^2} - x - 1 = 0\end{array} \right.$ ⇔ x1, 2 = y1, 2 = $\frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}$.
  • Với y = -x - 1, hệ có dạng: $\left\{ \begin{array}{l}y = - x - 1\\{x^2} + {( - x - 1)^2} - x - ( - x - 1) = 2\end{array} \right.$ ⇔ $\left[ \begin{array}{l}{x_3} = 0\,\,\,\,v\mu \,\,{y_3} = - 1\\{x_4} = - 1\,\,v\mu \,\,{y_4} = 0\end{array} \right.$.
Vậy, hệ phương trình có 4 cặp nghiệm.

Thí dụ 10. Giải hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {xy} + \sqrt {1 - x} \le \sqrt x \\2\sqrt {xy - x} + \sqrt x = 1\end{array} \right.$.
Điều kiện 0 ≤ x ≤ 1; y ≥ 1.
Từ bất phương trình thứ nhất của hệ, ta biến đổi: $\sqrt {1 - x} \le \sqrt x - \sqrt {xy} $ ⇔ $\sqrt {1 - x} \le \sqrt x (1 - \sqrt y )$. (*)
Nhận xét rằng VT ≤ 0 và VT ≥ 0 do đó (*) tương đương với: VT = VP = 0 ⇔ x = y = 1 thoả mãn phương trình thứ hai của hệ.
Vây, hệ có nghiệm x = y = 1.
 
Sửa lần cuối:

Bình luận bằng Facebook

Chương 4: Bất đẳng thức và bất phương trình

Lý thuyết và 6 dạng phương trình, bất phương trình thường gặp Mờ rộng phương trình - bất phương trình và hệ phương trình một ẩn Sử dụng bảng xét dấu để giải phương trình - bất phương trình Bất phương trình và hệ bất phương trình hai ẩn Bất phương trình bậc hai Phương trình - Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối và chứa căn