Dạng 3: Dấu nhị thức trên một miền

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Phương pháp áp dụng
Với f(x) = ax + b ta lưu ý các kết quả quan trọng sau:
1. f(x) ≥ 0, ∀x ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b \ge 0\end{array} \right.$ và f(x) ≤ 0, ∀x ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b \le 0\end{array} \right.$.
2. f(x) ≥ 0, ∀x ≥ α ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\f(\alpha ) \ge 0\end{array} \right.$ và f(x) ≤ 0, ∀x ≥ α ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}a \le 0\\f(\alpha ) \le 0\end{array} \right.$.
3. f(x) ≥ 0, ∀x ≤ α ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}a \le 0\\f(\alpha ) \ge 0\end{array} \right.$ và f(x) ≤ 0, ∀x ≤ α ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\f(\alpha ) \le 0\end{array} \right.$.
4. f(x) ≥ 0, ∀x∈(α; β) ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}f(\alpha ) \ge 0\\f(\beta ) \ge 0\end{array} \right.$ và f(x) ≤ 0, ∀x∈(α; ) ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}f(\alpha ) \le 0\\f(\beta ) \le 0\end{array} \right.$

Thí dụ: Cho bất phương trình (m + 1)x - m + 2 > 0.
Tìm m để bất phương trình:
a. Nghiệm đúng với mọi x.
b. Nghiệm đúng với mọi x ≥ 2.
c. Nghiệm đúng với mọi x < 1.
d. Nghiệm đúng với mọi x∈[1; 3].
Viết lại bất phương trình dưới dạng: f(x) = (m + 1)x - m + 2 > 0. (1)
a. Để (1) có nghiệm đúng với mọi x: $\left\{ \begin{array}{l}m + 1 = 0\\ - m + 2 > 0\end{array} \right.$ ⇔ m = –1.
Vậy, với m = –1 bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x.

b. Để (1) có nghiệm đúng với mọi x ≥ 2: $\left\{ \begin{array}{l}m + 1 \ge 0\\f(2) > 0\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}m + 1 \ge 0\\m + 4 > 0\end{array} \right.$ ⇔ m ≥ –1.
Vậy, với m ≥ –1 bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x ≥ 2.

c. Để (1) có nghiệm đúng với mọi x < 1: $\left\{ \begin{array}{l}m + 1 \le 0\\f(1) \ge 0\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}m + 1 \le 0\\3 \ge 0\end{array} \right.$ ⇔ m ≤ -1.
Vậy, với m ≥ –1 bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x < 1.

d. Để (1) có nghiệm đúng với mọi x∈[1; 3]: $\left\{ \begin{array}{l}f(1) > 0\\f(3) > 0\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}3 > 0\\2m + 5 > 0\end{array} \right.$ ⇔ m > –$\frac{5}{3}$.
Vậy, với m > –$\frac{5}{3}$ bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x∈[1; 3].
 
Sửa lần cuối:

Bình luận bằng Facebook

Chương 4: Bất đẳng thức và bất phương trình

Lý thuyết và 6 dạng phương trình, bất phương trình thường gặp Mờ rộng phương trình - bất phương trình và hệ phương trình một ẩn Sử dụng bảng xét dấu để giải phương trình - bất phương trình Bất phương trình và hệ bất phương trình hai ẩn Bất phương trình bậc hai Phương trình - Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối và chứa căn