Dạng 5: Giải hệ bất phương trình bậc hai một ẩn

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Phương pháp áp dụng
Giải từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao của các tập nghiệm thu được.

Thí dụ 1. Giải hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}4x + 3 > 0\\2{x^2} + 5x + 3 \le 0\end{array} \right.$.
Hệ bất phương trình tương đương với:
$\left\{ \begin{array}{l}x > - \frac{4}{3}\\ - \frac{3}{2} \le x \le - 1\end{array} \right.$⇔ -$\frac{4}{3}$ < x ≤ -1.
Vậy, tập nghiệm của hệ bất phương trình là T = (-$\frac{4}{3}$; -1].

Thí dụ 2. Xác định m sao cho với mọi x ta đều có:
9 < $\frac{{3{x^2} - mx - 6}}{{{x^2} + x + 1}}$ < 6. (*)
Vì x$^2$ + x + 1 > 0, ∀x, nên ta biến đổi tương đương về dạng:
$\left\{ \begin{array}{l}12{x^2} - (m - 9)x + 3 > 0\,\,\,\,\,(1)\\3{x^2} + (m + 6)x + 12 > 0\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.$.
Khi đó, để (*) đúng với mọi x điều kiện là: $\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _{(1)}} < 0\\{\Delta _{(2)}} < 0\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}{(m - 9)^2} - 4.3.12 < 0\\{(m + 6)^2} - 4.3.12 < 0\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l} - 3 < m < 21\\ - 18 < m < 6\end{array} \right.$ ⇔ -3 < m < 6.
Vậy, với -3 < m < 6 thoả mãn điều kiện đầu bài.

Thí dụ 3. Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - (4m - 1)x + 3{m^2} - m = 0\,\,\,(1)\\{x^2} - 3x + 2 < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.$.
Giải (2) ta được 1 < x < 2.
Đặt f(x) = x$^2$ - 2(m + 2)x + 5m + 6.
Hệ có đúng một nghiệm ⇔ (1) có đúng 1 nghiệm thuộc (1; 2), ta xét:
  • (1) có nghiệm kép thuộc (1; 2)⇔ $\left\{ \begin{array}{l}\Delta = 0\\\frac{S}{2} \in (1,2)\end{array} \right.$⇔ $\left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 4m + 1 = 0\\1 < \frac{{4m - 1}}{2} < 2\end{array} \right.$⇔ $\left\{ \begin{array}{l}m = \frac{1}{2}\\3 < 4m < 5\end{array} \right.$, vô nghiệm.
  • (1) có nghiệm thoả mãn x$_1$ = 1 < x$_2$ < 2⇔ $\left\{ \begin{array}{l}f(1) = 0\\S - 1 \in (1,\,2)\end{array} \right.$⇔ $\left\{ \begin{array}{l}3{m^2} - 5m + 2 = 0\\1 < 4m - 1 - 1 < 2\end{array} \right.$, vô nghiệm.
  • (1) có nghiệm thoả mãn 1 < x$_1$ < 2 = x$_2$⇔ $\left\{ \begin{array}{l}f(2) = 0\\S - 2 \in (1,\,2)\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}3{m^2} - 9m + 6 = 0\\1 < 4m - 1 - 2 < 2\end{array} \right.$, vô nghiệm.
  • (1) có đúng một nghiệm thuộc (1, 2)⇔ f(1).f(2) < 0 ⇔ (3m$^2$ - 5m + 2)(3m$^2$ - 9m + 6) ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\\frac{2}{3} < m < 2\end{array} \right.$.
Vậy, với m∈($\frac{2}{3}$; 2)\{1} thoả mãn điều kiện đầu bài.
Chú ý: Từ việc nhận thấy Δ(1) là một số chính phương nên có thể thực hiện ví dụ theo cách:
Biến đổi hệ về dạng: $\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = m\\x = 3m - 1\end{array} \right.\\1 < x < 2\end{array} \right.$. (I)
Từ đó, hệ ban đầu có nghiệm duy nhất: ⇔ (I) có nghiệm duy nhất ⇔ $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}1 < m < 2\\\left[ \begin{array}{l}f(3m - 1) \ge 0\\3m - 1 = m\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}1 < 3m - 1 < 2\\\left[ \begin{array}{l}f(m) \ge 0\\m = 3m - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right.$⇔ $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\\frac{2}{3} < m < 2\end{array} \right.$.

Thí dụ 4. Cho hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x{}^3 - 3x{}^2 - 10x + 24 > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\x{}^2 + 2(m - 1)x - 2m + 1 = 0\,\,\,\,(2)\end{array} \right.$.
a. Tìm m để hệ có hai nghiệm âm.
b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
Trước tiên:
  • Biến đổi (1) về dạng: (x - 2)(x$^2$ - x - 12) < 0 ⇔ (x - 2)(x - 4)(x + 3) < 0 ⇔ x ∈ T = (-3; 2) ∪ (4; +∞).
  • Biến đổi (2) về dạng: (x - 1)(x + 2m - 1) = 0 ⇔ x$_1$ = 1 và x$_2$ = 1 - 2m.
a. Ta thấy ngay hệ không thể có hai nghiệm âm.
b. Để hệ có nghiệm duy nhất điều kiện là: x$_2$ ∉ T ⇔ $\left[ \begin{array}{l}1 - 2m \le - 3\\2 \le 1 - 2m \le 4\end{array} \right.$ ⇔ $\left[ \begin{array}{l}m \ge 2\\ - \frac{3}{2} \le m \le - \frac{1}{2}\end{array} \right.$.

Thí dụ 5. Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm: $\left\{ \begin{array}{l}x{}^2 - 3x - 10 \le 0\\mx + m - 2 > 0\end{array} \right.$.
Kí hiệu các bất phương trình trong hệ theo thứ tự là (1) và (2).
Giải (1) ta được -5 ≤ x ≤ 2.
Xét các trường hợp:
  • Trường hợp 1: Nếu m < 0 thì nghiệm của (2) là x < $\frac{{2 - m}}{m}$. Khi đó, điều kiện để hệ có nghiệm là: -5 ≤ $\frac{{2 - m}}{m}$ $\mathop \Leftrightarrow \limits^{m < 0} $ -5m ≥ 2 - m ⇔ m ≤ -$\frac{1}{2}$.
  • Trường hợp 2: Nếu m = 0 thì (2) có dạng -2 > 0, mâu thuẫn.
  • Trường hợp 3: Nếu m > 0 thì nghiệm của (2) là x > $\frac{{2 - m}}{m}$.
Khi đó, điều kiện để hệ có nghiệm là: $\frac{{2 - m}}{m}$ ≤ 2 $\mathop \Leftrightarrow \limits^{m < 0} $ 2 - m ≤ 2m ⇔ m ≥ $\frac{2}{3}$.
Vậy, với m ≤ -$\frac{1}{2}$ hoặc m ≥ $\frac{2}{3}$ hệ có nghiệm.

✅ Xem bản đầy đủ: Bất phương trìnhbất đẳng thức
 
Sửa lần cuối:

Bình luận bằng Facebook

Chương 4: Bất đẳng thức và bất phương trình

Lý thuyết và 6 dạng phương trình, bất phương trình thường gặp Mờ rộng phương trình - bất phương trình và hệ phương trình một ẩn Sử dụng bảng xét dấu để giải phương trình - bất phương trình Bất phương trình và hệ bất phương trình hai ẩn Bất phương trình bậc hai Phương trình - Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối và chứa căn