Dạng 4: Bất đẳng thức bunhiacôpxki

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Mở rộng
  1. Với các số thực a$_1$, a$_2$, a$_3$, b$_1$, b$_2$, b$_3$, ta luôn có: (a$_1$b$_1$ + a$_2$b$_2$ + a$_3$b$_3$)$_2$ ≤ ($a_1^2$ + $a_2^2$ + $a_3^2$)($b_1^2$ + $b_2^2$ + $b_3^2$), dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\frac{{{a_1}}}{{{b_1}}}$ = $\frac{{{a_2}}}{{{b_2}}}$ = $\frac{{{a_3}}}{{{b_3}}}$.
  2. Với hai bộ n số a$_i$, b$_i$, i = $\overline {1,n} $, ta luôn có ${\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}{b_i}} } \right)^2}$≤$\sum\limits_{i = 1}^n {a_i^2} $.$\sum\limits_{i = 1}^n {b_i^2} $, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\frac{{{a_1}}}{{{b_1}}}$ = $\frac{{{a_2}}}{{{b_2}}}$ = ... = $\frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}$.
  3. Với a$_1$, a$_2$, ..., a$_n$ là n số tuỳ ý, ta luôn có: ${\left( {\frac{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}}{n}} \right)^2}$≤ $\frac{{a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2}}{n}$.
Chứng minh
  • Bất đẳng thức tương đương với: (a$_1$ + a$_2$ + ... + a$_n$)$^ 2$ ≤ n($a_1^2$ + $a_2^2$ + ... + $a_n^2$).
  • Bất đẳng thức này suy ra từ bất đẳng thức Bunhiacôpxki áp dụng cho hai bộ n số (1; 1; ...; 1) và (a$_1$; a$_2$; ... ; a$_n$).

Thí dụ 1. Chứng minh rằng với mọi số thực x, y luôn có (x$^3$ + y$^3$)$^2$ ≤ (x$^2$ + y$^2$)(x$^4$ + y$^4$).
Ta có: VT = (x$^3$ + y$^3$)$^2$ = (x.x$^2$ + y.y$^2$)$^2$ ≤ (x$^2$ + y$^2$)(x$^4$ + y$^4$), đpcm.
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
$\frac{x}{{{x^2}}}$ = $\frac{y}{{{y^2}}}$ ⇔ $\frac{1}{x}$ = $\frac{1}{y}$ ⇔ x = y.
F Mở rộng: Với các số thực a$_1$, a$_2$, a$_3$, b$_1$, b$_2$, b$_3$, ta luôn có:
(a$_1$b$_1$ + a$_2$b$_2$ + a$_3$b$_3$)$^2$ ≤ ($a_1^2$ + $a_2^2$ + $a_3^2$)($b_1^2$ + $b_2^2$ + $b_3^2$), dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\frac{{{a_1}}}{{{b_1}}}$ = $\frac{{{a_2}}}{{{b_2}}}$ = $\frac{{{a_3}}}{{{b_3}}}$.

Thí dụ 2. Chứng minh rằng:
a. Nếu x + 3y = 2 thì x$^2$ + y$^2$ ≥ $\frac{5}{2}$.
b. Nếu 2x + 3y = 7 thì 2x$^2$ + 3y$^2$ ≥ $\frac{{49}}{5}$.
a. Ta có: 2$^2$ = (x + 3y) $^2$ ≤ (1 + 3$^3$)(x$^2$ + y$^2$) = 10(x$^2$ + y$^2$) ⇒ x$^2$ + y$^2$ ≥ $\frac{2}{{10}}$ = $\frac{5}{2}$,
dấu "=" xảy ra khi ta có: x:1 = y:3 $\mathop \Leftrightarrow \limits^{(*)} $ $\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 2\\3x = y\end{array} \right.$ ⇒ x = $\frac{1}{5}$ và y = $\frac{3}{5}$.
b. Ta có: 7$^2$ = (2x + 3y)$^ 2$ = ($\sqrt 2 $.x$\sqrt 2 $ + $\sqrt 3 $.y$\sqrt 3 $)$^2$ ≤ (2 + 3)(2x$^2$ + 3y$^2$) = 5(2x$^2$ + 3y$^2$)
⇒ 2x$^2$ + 3y$^2$ ≥ $\frac{{49}}{5}$, dấu "=" xảy ra khi ta có:
x$\sqrt 2 $:$\sqrt 2 $ = y$\sqrt 3 $:$\sqrt 3 $ $\mathop \Leftrightarrow \limits^{(*)} $ $\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 7\\x = y\end{array} \right.$ ⇒ x = y = $\frac{7}{5}$.
Chú ý: Yêu cầu trên còn có thể được phát biểu:
  • Với câu a) là "Trong tất cả các nghệm (x; y) của phương trình x + 3y = 2 hãy chỉ ra nghiệm có tổng x$^2$ + y$^2$ nhỏ nhất" hoặc tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
  • Với câu b) là "Trong tất cả các nghệm (x; y) của phương trình 2x + 3y = 7 hãy chỉ ra nghiệm có tổng 2x$^2$ + 3y$^2$ nhỏ nhất" hoặc tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
Thí dụ 3. Cho các số không âm x, y thoả mãn x$^3$ + y$^3$ = 2. Chứng minh rằng: x$^2$ + y$^2$ ≤ 2.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có: (x$^2$ + y$^2$) $^2$ = ($\sqrt x $.$\sqrt {{x^3}} $ + $\sqrt y $.$\sqrt {{y^3}} $)$^2$ ≤ (x + y)(x$^3$ + y$^3$) = 2(x + y)
⇔ (x$^2$ + y$^2$) $^4$ ≤ 4(x + y)$^2$ = 4(1.x + 1.y)$^2$ ≤ 4(1 + 1)(x$^2$ + y$^2$) = 8(x$^2$ + y$^2$)
⇔ (x$^2$ + y$^2$)3 ≤ 8 ⇔ x$^2$ + y$^2$ ≤ 2, đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt {{x^3}} }} = \frac{{\sqrt y }}{{\sqrt {{y^3}} }}\\{x^3} + {y^3} = 2\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}|x| = |y|\\{x^3} + {y^3} = 2\end{array} \right.$ ⇔ x = y = 1.
 
Sửa lần cuối:

Chương 4: Bất đẳng thức và bất phương trình

Lý thuyết và 6 dạng phương trình, bất phương trình thường gặp Mờ rộng phương trình - bất phương trình và hệ phương trình một ẩn Sử dụng bảng xét dấu để giải phương trình - bất phương trình Bất phương trình và hệ bất phương trình hai ẩn Bất phương trình bậc hai Phương trình - Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối và chứa căn