Dạng 2: Phương trình, bất phương trình chứa căn

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Thí dụ 1. Giải bất phương trình $\frac{{1 - \sqrt {1 - 4{x^2}} }}{x}$ < 3. (1)
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}1 - 4{x^2} \ge 0\\x \ne 0\end{array} \right.$ ⇔ $\left[ \begin{array}{l} - \frac{1}{2} \le x < 0\\0 < x \le \frac{1}{2}\end{array} \right.$.
Cách 1: Thực hiện phép nhân liên hợp, ta biến đổi: (1) ⇔ $\frac{{(1 - \sqrt {1 - 4{x^2}} )(1 + \sqrt {1 - 4{x^2}} )}}{x}$ < 3(1 + $\sqrt {1 - 4{x^2}} $)
⇔ 4x < 3 + 3$\sqrt {1 - 4{x^2}} $ ⇔ 3$\sqrt {1 - 4{x^2}} $ > 4x - 3
⇔ $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}4x - 3 < 0\\1 - 4{x^2} \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}4x - 3 \ge 0\\9(1 - 4{x^2}) > {(4x - 3)^2}\end{array} \right.\end{array} \right.$⇔ $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 3/4\\|x| < 1/2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 3/4\\9(1 - 4{x^2}) > {(4x - 3)^2}\end{array} \right.\end{array} \right.$
Với x ≠ 0 thì x ∈ [-$\frac{1}{2}$, 0) ∪ (0. $\frac{1}{2}$].
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là T = [-$\frac{1}{2}$; 0) ∪ (0; $\frac{1}{2}$].

Cách 2: Xét hai trường hợp dựa trên điều kiện.
  • Với - $\frac{1}{2}$ ≤ x < 0 thì: (1) ⇔$\sqrt {1 - 4{x^2}} $< 1 - 3x ⇔$\left\{ \begin{array}{l}1 - 3x > 0\\1 - 4{x^2} < {(1 - 3x)^2}\end{array} \right.$⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x < \frac{1}{3}\\13{x^2} - 6x > 0\end{array} \right.$ ⇔ x < 0.
Kết hợp với điều kiện đang xét được nghiệm là -$\frac{1}{2}$ ≤ x < 0.
  • Với 0 < x ≤ $\frac{1}{2}$ thì: (1) ⇔ $\sqrt {1 - 4{x^2}} $ > 1 - 3x ⇔$\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}1 - 3x < 0\\1 - 4{x^2} \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}1 - 3x \ge 0\\1 - 4{x^2} > {(1 - 3x)^2}\end{array} \right.\end{array} \right.$⇔ $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 1/3\\ - \frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \le 1/3\\13{x^2} - 6x < 0\end{array} \right.\end{array} \right.$⇔ $\left[ \begin{array}{l}\frac{1}{3} < x \le \frac{1}{2}\\0 < x \le \frac{1}{3}\end{array} \right.$ ⇔ 0 < x ≤ $\frac{1}{2}$.
Kết hợp với điều kiện đang xét được nghiệm là 0 < x ≤ $\frac{1}{2}$.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là T = [-$\frac{1}{2}$; 0) ∪ (0; $\frac{1}{2}$].

Thí dụ 2. Giải bất phương trình (x - 1)$\sqrt {2x - 1} $ ≤ 3(x - 1).
Điều kiện: 2x - 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ $\frac{1}{2}$. (*)
Đặt t = $\sqrt {2x - 1} $, t ≥ 0 ⇒ x = $\frac{1}{2}$(t2 + 1).
Khi đó, bất phương trình có dạng: [$\frac{1}{2}$(t2 + 1) - 1]t ≤ 3[$\frac{1}{2}$(t2 + 1) - 1] ⇔ t$^3$ - 3t$^0$ - t + 3 ≤ 0 ⇔ (t + 1)(t - 1)(t - 3) ≤ 0
⇔ 1 ≤ t ≤ 3 ⇔ 1 ≤ $\sqrt {2x - 1} $ ≤ 3 ⇔ 1 ≤ x ≤ 5 thoả mãn (*).
Vậy, nghiệm của bất phương trình là 1 ≤ x ≤ 5.
Chú ý: Ta không thể bình phương hai vế của bất phương trình ban đầu vì chưa khẳng định được dấu của hai vế.
Hoàn toàn có thể sử dụng phép biến đổi tương đương để thực hiện thí dụ trên, cụ thể: (x - 1)($\sqrt {2x - 1} $ - 3) ≤ 0
⇔$\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\\sqrt {2x - 1} - 3 \le 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 1 < 0\\\sqrt {2x - 1} - 3 \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.$⇔$\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\sqrt {2x - 1} \le 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 1\\\sqrt {2x - 1} \ge 3\end{array} \right.\end{array} \right.$ ⇔ $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\0 \le 2x - 1 \le 9\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 1\\2x - 1 \ge 9\end{array} \right.\end{array} \right.$⇔ 1 ≤ x ≤ 5.
Vậy, nghiệm của bất phương trình là 1 ≤ x ≤ 5.

Thí dụ 3. Giải bất phương trình x + $\frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}$ > 3$\sqrt 5 $. (1)
Điều kiện: x$^2$ - 4 > 0 ⇔ |x| > 2. (*)
  • Trường hợp 1: Với x < -2 thì bất phương trình vô nghiệm (do vế trái âm).
  • Trường hợp 2: Với x > 2 thì bình phương 2 vế phương trình (1) ta được: x2 + $\frac{{4{x^2}}}{{{x^2} - 4}}$ + $\frac{{4{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}$ > 45 ⇔ $\frac{{{x^4}}}{{{x^2} - 4}}$ + 4.$\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}$ > 45 . (2)
Đặt t = $\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}$, t > 0.
Khi đó, bất phương trình (2) có dạng: t$^2$ + 4t - 45 > 0 $ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}t > 5\\t < - 9\end{array} \right.$ ⇒ t > 5 ⇔ $\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}$ > 5 ⇔ x4 - 25x$^2$ + 100 > 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}{x^2} > 20\\{x^2} < 5\end{array} \right.$⇔ $\left[ \begin{array}{l}|x| > \sqrt {20} \\|x| < \sqrt 5 \end{array} \right.$.
Kết hợp với trường hợp đang xét, ta được tập nghiệm của bất phương trình là: (-∞; -$\sqrt {20} $) ∪ (-$\sqrt 5 $; $\sqrt 5 $) ∪ ($\sqrt {20} $; +∞).

Chú ý: Nhiều bất phương trình ở dạng ban đầu không thấy có dấu hiệu cho phép lựa chọn phương pháp đặt ẩn phụ khi đó thông thường bằng một vài phép biến đổi tương đương ta sẽ thấy sự xuất hiện của ẩn phụ.

Thí dụ 4. Giải bất phương trình $\sqrt x $ > 1 + $\sqrt[3]{{x - 1}}$. (1)
Điều kiện x ≥ 0. (*)
Ta có: (1) x > (1 + $\sqrt[3]{{x - 1}}$)$^2$
⇔ x > 1 + 2$\sqrt[3]{{x - 1}}$ + ($\sqrt[3]{{x - 1}}$)2 ⇔ x - 1 - ($\sqrt[3]{{x - 1}}$)2 - 2$\sqrt[3]{{x - 1}}$ > 0. (2)
Đặt t = $\sqrt[3]{{x - 1}}$ t > -1.
Khi đó, bất phương trình (2) có dạng: t$^3$ - t$^2$ - 2t > 0 ⇔ t(t$^2$ - t - 2) > 0 ⇔ t(t + 1)(t - 2) > 0 t(t - 2) > 0
⇔ $\left[ \begin{array}{l}t > 2\\t < 0\end{array} \right.$ ⇔ $\left[ \begin{array}{l}\sqrt[3]{{x - 1}} > 2\\\sqrt[3]{{x - 1}} < 0\end{array} \right.$
⇔ $\left[ \begin{array}{l}x - 1 > 8\\x - 1 < 0\end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{l}x > 9\\0 < x < 1\end{array} \right.$
Vậy, bất phương trình có nghiệm x > 9 hoặc 0 < x < 1.
 
Sửa lần cuối:

Bình luận bằng Facebook

Chương 4: Bất đẳng thức và bất phương trình

Lý thuyết và 6 dạng phương trình, bất phương trình thường gặp Mờ rộng phương trình - bất phương trình và hệ phương trình một ẩn Sử dụng bảng xét dấu để giải phương trình - bất phương trình Bất phương trình và hệ bất phương trình hai ẩn Bất phương trình bậc hai Phương trình - Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối và chứa căn