Dạng 2: Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Thí dụ 1.
a. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta có |a ± b| ≥ |a| - |b|.
b. Biết rằng | a | > 2 | b |. Chứng minh rằng |a| < 2|a - b|.
a. Ta có: |a| = |(a ± b) $ \mp $ b| ≤ |a ± b| + |b| ⇒ |a| - |b| ≤ |a ± b|.
b. Ta biến đổi: | a | > 2 | b | = 2|a - (a - b)| > 2(|a| - |a - b|) ⇔ |a| < 2|a - b|.

Thí dụ 2. Chứng minh rằng:
a. Nếu x ≥ y ≥ 0 thì $\frac{x}{{x + 1}}$ ≥ $\frac{y}{{y + 1}}$.
b. Với hai số a, b tuỳ ý, ta có $\frac{{|a - b|}}{{1 + |a - b|}} \le \frac{{|a|}}{{1 + |a|}} + \frac{{|b|}}{{1 + |b|}}$.
a. Với x ≥ y ≥ 0, ta có: $\frac{x}{{x + 1}}$ ≥ $\frac{y}{{y + 1}}$ ⇔ x(y + 1) ≥ y(x + 1) ⇔ a ≥ y (luôn đúng).
b. Vì |a - b| ≤ |a| + |b|, áp dụng kết quả câu a), ta có: $\frac{{|a - b|}}{{1 + |a - b|}} \le \frac{{|a| + |b|}}{{1 + |a| + |b|}}$ = $\frac{{|a|}}{{1 + |a| + |b|}}$ + $\frac{{|b|}}{{1 + |a| + |b|}}$≤ $\frac{{|a|}}{{1 + |a|}} + \frac{{|b|}}{{1 + |b|}}$.
 
Sửa lần cuối:

Bình luận bằng Facebook

Chương 4: Bất đẳng thức và bất phương trình

Lý thuyết và 6 dạng phương trình, bất phương trình thường gặp Mờ rộng phương trình - bất phương trình và hệ phương trình một ẩn Sử dụng bảng xét dấu để giải phương trình - bất phương trình Bất phương trình và hệ bất phương trình hai ẩn Bất phương trình bậc hai Phương trình - Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối và chứa căn