bất đẳng thức

Lý thuyết và 6 dạng phương trình, bất phương trình thường gặp Bất đẳng thức và bất phương trình Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức Dạng 2: Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối Dạng 3: Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức côsi) Dạng 4: Bất đẳng thức bunhiacôpxki Dạng...

Thí dụ 1. Cho b > c > d. Chứng minh rằng với mọi a ta luôn có: (a + b + c + d)$^2$ > 8(ac + bd). (1) Giải Ta có: (1) ⇔ (a + b + c + d)$^2$ - 8(ac + bd) > 0 Viết lại vế trái của bất đẳng thức trên dưới dạng một tam thức bậc hai theo biến số a: f(a) = a$^2$ + 2(b - 3c + d)a + (b...

Thí dụ 1. Giải phương trình $\sqrt {{x^2} - 2x + 5} $ + $\sqrt {x - 1} $ = 2. Giải Nhận xét rằng: VT = $\sqrt {{x^2} - 2x + 5} $ + $\sqrt {x - 1} $ = $\sqrt {{{(x - 1)}^2} + 4} $ + $\sqrt {x - 1} $ ≥ 2. Vậy, phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: VT = 2 ⇔ x - 1 = 0 ⇔ x = 1. Vậy, phương...

Thí dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: a. y = (2x + 1)(2 - 3x), với x ∈ [-$\frac{1}{2}$; $\frac{2}{3}$]. b. y = x(1 - x) $^3$, với 0 ≤ x ≤ 1. Giải a. Với -$\frac{1}{2}$ ≤ x ≤ $\frac{2}{3}$ thì 2x + 1 ≥ 0 và 2 - 3x ≥ 0, do đó sử dụng bất đẳng thức Côsi ta được: y = (2x + 1)(2 - 3x)...

Mở rộng Với các số thực a$_1$, a$_2$, a$_3$, b$_1$, b$_2$, b$_3$, ta luôn có: (a$_1$b$_1$ + a$_2$b$_2$ + a$_3$b$_3$)$_2$ ≤ ($a_1^2$ + $a_2^2$ + $a_3^2$)($b_1^2$ + $b_2^2$ + $b_3^2$), dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\frac{{{a_1}}}{{{b_1}}}$ = $\frac{{{a_2}}}{{{b_2}}}$ =...

Mở rộng Với các số a, b, c không âm, ta luôn có a + b + c ≥ 3$\sqrt[3]{{abc}}$, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Với n số a$_i$, i = $\overline {1,n} $ không âm, ta luôn có $\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} $ ≥ n$\sqrt[n]{{\prod\limits_{i = 1}^n {{a_i}} }}$,dấu đẳng thức xảy ra khi...

Thí dụ 1. a. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta có |a ± b| ≥ |a| - |b|. b. Biết rằng | a | > 2 | b |. Chứng minh rằng |a| < 2|a - b|. Giải a. Ta có: |a| = |(a ± b) $ \mp $ b| ≤ |a ± b| + |b| ⇒ |a| - |b| ≤ |a ± b|. b. Ta biến đổi: | a | > 2 | b | = 2|a - (a - b)| > 2(|a| - |a...

Phương pháp áp dụng Để chứng minh bất đẳng thức: A > B ta lựa chọn một trong các phương pháp sau: Phương pháp 1: Phương pháp chứng minh bằng định nghĩa. Khi đó ta lựa chọn theo các hướng: Hướng 1: Chứng minh A - B > 0. Hướng 2: Thực hiện các phép biến đổi đại số để biến đổi bất đẳng...

I. BẤT ĐẲNG THỨC 1. TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC Tính chất 1: (Tính chất bắc cầu): Nếu a > b và b > c thì a > c. Tính chất 2: Nếu a > b ⇔ a + c > b + c. Tính chất 3: Nếu a > b⇔ $\left[ \begin{array}{l} ac > bc\,\,neu\,\,c > 0\\ ac < bc\,\,neu\,\,c < 0 \end{array}...