Dạng 4: Con lắc đơn có chu kì thay đổi do chịu tác dụng của lực lạ

Khi chưa có lực lạ \(\overrightarrow{F}\)
Tại VTCB: \(\overrightarrow{P} + \overrightarrow{T} = \overrightarrow{O}\)\(\Rightarrow \overrightarrow{T} = - \overrightarrow{P}\)\(\Rightarrow T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}\)
Khi đã chịu tác dụng của lực lạ \(\overrightarrow{F}\)
Tại VTCB: \(\overrightarrow{P} + \overrightarrow{T} + \overrightarrow{F}= \overrightarrow{O}\) \(\Rightarrow \overrightarrow{T} = - \underbrace{ ( \overrightarrow{P} + \overrightarrow{F}) }_{\overrightarrow{P}'} \Rightarrow \overrightarrow{T} = - \overrightarrow{P}'\)\(\Rightarrow T' = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g'}}\)
Với P' = mg': trọng lực hiệu dụng
g': gia tốc hiệu dụng
TH1: Lực \(\overrightarrow{F}\) có phương thẳng đứng và hướng xuống
Từ \(\overrightarrow{P}' = \overrightarrow{P} + \overrightarrow{F} \Rightarrow P' = P + F\)
Mà: P' = mg' ; P = mg ; F = ma
⇒ g' = g + |a|
+ TH2: Lực \(\overrightarrow{F}\) có phương thẳng đứng và hướng lên
Từ \(\overrightarrow{P}' = \overrightarrow{P} + \overrightarrow{F} \Rightarrow P' = P - F\)\(\Rightarrow g ' = g \pm |a|\)

+ TH3: Lực \(\overrightarrow{F}\) có phương nằm ngang
Từ \(\overrightarrow{P}' = \overrightarrow{P} + \overrightarrow{F}\)\(\Rightarrow g'^2 = g^2 + a^2\)\(\Rightarrow g'= \sqrt{g^2 + a^2}\)

\(\cdot \ \cos \alpha _0 = \frac{P}{P'} = \frac{g}{g'}\)\(\Rightarrow g' = \frac{g}{\cos \alpha _0} \Rightarrow \frac{T'}{T} = \sqrt{\frac{g}{g'}} = \sqrt{\cos \alpha _0}\)\(\Rightarrow T' = T \sqrt{\cos \alpha _0}\)

Các lực lạ thường gặp
+ Lực quán tính \(\overrightarrow{F_{qt}} = -m\overrightarrow{a}\)⇒ \(\overrightarrow{F_{qt}}\) ngược chiều gia tốc \(\overrightarrow{a}\)

• Chuyển động nhanh dần đều ⇒ v.a > 0
• Chuyển động chậm dần đều ⇒ v.a < 0

+ Lực điện trường \(\overrightarrow{F_{dt}} = q\overrightarrow{E}\)

• q > 0: \(\overrightarrow{F_{dt}}\) cùng chiều \(\overrightarrow{E}\)
• q < 0: \(\overrightarrow{F_{dt}}\) ngược chiều \(\overrightarrow{E}\)

+ Lực đây Acsimet\(F_A = D.V.g\)

Câu 1: Con lắc đơn dao động với chu kì 2s khi treo trong thang máy đứng yên. Nếu thang máy đi xuống chậm dần đều với gia tốc g/10 thì chu kì dao động của con lắc là bao nhiêu?
Thang máy đi xuống chậm dần đều, gia tốc tăng:
$T = 2\pi \sqrt {\frac{\ell }{{g + a}}} = 2\pi \sqrt {\frac{\ell }{{\frac{{11}}{{10}}g}}} = \sqrt {\frac{{10}}{{11}}} .T = 2.\sqrt {\frac{{10}}{{11}}} \approx 1,907s$

Câu 2: Một con lắc đơn được treo vào trần của một thang máy đang đứng yên tại nơi có gia tốc trọng trường g = 10 m/s², con lắc đơn dao động điều hòa, trong thời gian Δt (s) con lắc thực hiện được 200 dao động toàn phần. Cho thang đi xuống chậm dần đều theo phương thẳng đứng với gia tốc có độ lớn không đổi bằng 100 (cm/s²) thì con lắc dao động điều hòa, trong thời gian Δt (s) con lắc thực hiện được bao nhiêu dao động toàn phần?
$\left. \begin{array}{l} \Delta t = N.T = N.2\pi \sqrt {\frac{\ell }{g}} \\ \Delta t = N'.T' = N'.2\pi \sqrt {\frac{\ell }{{g + a}}} \end{array} \right\} \to 200.2\pi \sqrt {\frac{\ell }{{10}}} \,\, = N'.2\pi \sqrt {\frac{\ell }{{10 + 1}}} \, \to N' = 189,74$

Câu 3: Một con lắc đơn được treo vào trần của một thang máy đang đứng yên tại nơi có gia tốc trọng trường g = 9,9225 m/s², con lắc đơn dao động điều hòa, trong thời gian Δt (s) con lắc thực hiện được 210 dao động toàn phần. Cho thang đi xuống nhanh dần đều theo phương thẳng đứng với gia tốc có độ lớn không đổi bằng 180 (cm/s²) thì con lắc dao động điều hòa, trong thời gian Δt (s) con lắc thực hiện được bao nhiêu dao động toàn phần?
$\left. \begin{array}{l} \Delta t = N.T = N.2\pi \sqrt {\frac{\ell }{g}} \\ \Delta t = N'.T' = N'.2\pi \sqrt {\frac{\ell }{{g - a}}} \end{array} \right\} \to 210.2\pi \sqrt {\frac{\ell }{{9,9225}}} \,\, = N'.2\pi \sqrt {\frac{\ell }{{9,9225 - 1,8}}} \, \to N' = 190$

Câu 4: Một con lắc đơn được treo tại trần của 1 toa xe, khi xe chuyển động đều con lắc dao động với chu kỳ 1s, cho g = 10m/s². Khi xe chuyển động nhanh dần đều theo phương ngang với gia tốc 3m/s² thì con lắc dao động với chu kỳ ?
$\left. \begin{array}{l} T = 2\pi \sqrt {\frac{\ell }{g}} \\ T' = 2\pi \sqrt {\frac{\ell }{{\sqrt {{g^2} + {a^2}} }}} \end{array} \right\} \to \frac{{T'}}{T} = \sqrt {\frac{g}{{\sqrt {{g^2} + {a^2}} }}} = 0,978 \to T' = 0,978\left( s \right)$

Câu 5: Một con lắc đơn gồm dây treo dài ℓ = 50 cm, quả cầu bằng kim loại nặng 10 g, được tích điện q = 5.10$^{-6}$C và đặt trong điện trường đều \(\overrightarrow{E}\) thẳng đứng hướng xuống, độ lớn E = 10$^{4}$ V/m. Lấy g = 10 m/s$^{2}$; \(\pi = 3,14\). Tìm chu kỳ con lắc này?
ℓ = 50 cm = 0,5 m; m = 10 g = 0,01 kg
q = 5.10$^{-6}$C > 0 ⇒ \(\overrightarrow{F}\) cùng chiều \(\overrightarrow{E}\)
E = 10$^{4}$ V/m
\(\overrightarrow{E}\) thẳng đứng hướng xuống \(\Rightarrow \overrightarrow{F} \nearrow \nearrow \overrightarrow{P}\)
\(\Rightarrow g' = g + a = g + \frac{F}{m} = g + \frac{|q|E}{m}\)
\(\Rightarrow g' = 10 + \frac{5.10^{-6}.10^4}{0,01} = 15\ m/s^2\)
\(\Rightarrow T' = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{0,5}{15}} = 1,15s\)

Câu 6: Một con lắc đơn treo trong thang máy, khi thang máy đứng yên thì chu kỳ T = 2s, khi thang máy đi xuống nhanh dần đều với gia tốc \(a = \frac{g}{2}\) (g là gia tốc trọng trường tại nơi đang xét) thì chu kỳ là T'. Tìm T'?
Ta có: \(T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}\)
\(T' = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g'}}\)
\(\Rightarrow \frac{T'}{T} = \sqrt{\frac{g}{g'}}\)
Xuống nhanh dần đều \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{v} \downarrow\\ \overrightarrow{a} \downarrow \end{matrix}\right.\)
\(\overrightarrow{a} \downarrow \Rightarrow \overrightarrow{F_{qt}} \uparrow\)
\(\Rightarrow g' = g - |a| = g - \frac{g}{2} = \frac{g}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{g}{g'} = 2\)
\(\Rightarrow \frac{T'}{T} = \sqrt{\frac{g}{g'}} = \sqrt{2}\)
\(\Rightarrow T' = T.\sqrt{2} = 2 \sqrt{2} \ (s)\)