Dạng 2: Năng lượng, vận tốc và sức căng dây con lắc đơn

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Một con lắc đơn dao động điều hòa với phương trình s =S$_0$cos(ωt + φ ) thì

1. Năng lượng:
  • Động năng: W$_{đ}$ = \(\frac{1}{2}mv^2\)
  • Thế năng: \(W_t = mg\ell (1-\cos \alpha )\)
  • Cơ năng: W = W$_{đ}$ + W$_{t}$ = \(\frac{1}{2}mv^2 + mg\ell (1 - \cos \alpha )\) (hằng số)
  • Động năng cực đại con lắc đơn W = W$_{đ max}$ = \(\frac{1}{2}mv_{max}^{2}\) (VTCB)
  • Thế năng năng cực đại con lắc đơn \(W = W_{t \ max } = mg\ell (1 - \cos \alpha )\) (Biên)
2. Vận tốc:
  • Biểu thức vận tốc con lắc: \(v^2 = 2g \ell (\cos \alpha - \cos \alpha _0)\)
  • Biểu thức vận tốc cực đại con lắc: \(|v|_{max} = \sqrt{2g \ell (1- \cos \alpha _0)} \ (VTCB)\)
  • Biểu thức vận tốc cực tiểu con lắc: \(|v|_{min} = 0\) (Biên)
3. Lực căng dây:
  • Biểu thức lực căng dây con lắc đơn \(T = mg(3\cos \alpha -2\cos \alpha _0)\)
  • Biểu thức lực căng dây cực đại con lắc đơn \(T_{max} = mg(3 -2\cos \alpha _0) > P\) (VTCB)
  • Biểu thức lực căng dây cực tiểu con lắc đơn \(T_{min} = mg \cos \alpha _0 < P\) (Biên)
4. Khi \(\alpha _0 \leq 10^0\) ⇒ Con lắc đơn dao động điều hòa
  • Biên độ: \(S_0 = \alpha _0.\ell\)
  • Tần số gốc: \(\omega = \sqrt{\frac{g}{\ell}}\)
  • \(|v|_{max} = \omega S_0 = \sqrt{\frac{g}{\ell}}.\alpha _0 \ell = \alpha _0 \sqrt{g \ell}\)
  • \(W = \frac{1}{2}m\omega ^2 S_{0}^{2} = \frac{1}{2}m.\frac{g}{\ell}.(\alpha _0 \ell)^2\)\(\Rightarrow W = \frac{1}{2}mg\ell.\alpha _{0}^{2}\)
NHỚ: \(\alpha _0 \leq 10^0\) hay \(\alpha _0 \ll 1\ (rad)\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sin \alpha _0 \approx \alpha _0 \ \ \ \ \ \\ \cos \alpha _0 \approx 1-\frac{ \alpha _{0}^{2}}{2} \end{matrix}\right.\)
Lúc này:\(\cdot \ |v|_{max} = \sqrt{2g\ell (1-\cos \alpha _0)} = \sqrt{2g\ell \left [ 1 - (1 - \frac{\alpha _{0}^{2}}{2}) \right ]}\)
\(=\sqrt{2g\ell (1 - 1 + \frac{\alpha _{0}^{2}}{2})} = \alpha _0 \sqrt{g \ell}\)
\(\cdot \ W = mg \ell (1 - \cos \alpha _0) = mg \ell \left [ 1 - (1 - \frac{\alpha _{0}^{2}}{2}) \right ]\)
\(\Rightarrow W = \frac{1}{2}mg \ell.\alpha _{0}^{2}\)
\(\cdot \ T = mg (3\cos \alpha - 2 \cos \alpha _0) = mg \left [ 3(1 - \frac{\alpha ^2}{2}) - 2(1 - \frac{\alpha _{0}^{2}}{2}) \right ]\)
\(\Rightarrow T = mg (1 + \alpha _{0}^{2} - \frac{3}{2} \alpha ^2)\)
\(\rightarrow T_{max} = mg (1 + \alpha _{0}^{2}) > P\)
\(\rightarrow T_{min} = mg (1 + \frac{1}{2}\alpha _{0}^{2}) < P\)

Câu 1: Một con lắc đơn có ℓ = 1 m, vật năng khối lượng 100g; dao động tại nơi có g = 10 m/s$^{2}$. Từ vị trí cân bằng kéo vật lệch khỏi phương thẳng đứng một góc 60$^{0}$ rồi buông cho vật dao động.
a/ Tìm W; v$_{max}$; T$_{max}$, T$_{min}$?
b/ Khi T = P thì |v| = ?
c/ Tìm α, v, T khi W$_{đ}$ = 3W$_{t}$?
Giải
ℓ = 1 m; m = 100g = 0,1 kg
g = 10 m/s$^{2}$; α$_{0}$ = 60$^{0}$
a/ \(\cdot \ W = mg \ell (1 - \cos \alpha _0) = 0,1.10.1.(1 - \cos 60^0) = 0,5 \ (J)\)
\(\cdot \ v_{max} = \sqrt{2g\ell (1 - \cos \alpha _0)} = \sqrt{2.10.1.(1-\cos 60^0)} = \sqrt{10}\ (m/s)\)
\(\cdot \ T_{max} = mg(3 - 2 \cos \alpha _0) = 0,1.10.(3 - 2 \cos 60^0) = 2 \ N\)\(\cdot \ T_{min} = mg\cos \alpha _0 = 0,1.10.\cos 60^0 = 0,5 \ N\)

b/
\(T = P \Rightarrow mg(3 \cos \alpha - 2\cos \alpha _0) = mg\)
\(\Rightarrow 3\cos \alpha - 2\cos \alpha _0 = 1\)
\(\Rightarrow \cos \alpha = \frac{1+2.\cos \alpha _0}{3} = \frac{1+2.\cos 60^0}{3} = \frac{2}{3}\)\(\Rightarrow |v| = \sqrt{2g\ell (\cos \alpha - \cos \alpha _0)} = \sqrt{2.10.1.(\frac{2}{3} - \cos 60^0)} = \sqrt{\frac{10}{3}} \ (m/s)\)

c/ W$_{đ}$ = 3W$_{t}$
W = W$_{đ}$ + W$_{t}$ ⇒ W$_{t max}$ = 3W$_{t}$ + W$_{t}$ = 4W$_{t}$
\(\Rightarrow mg\ell (1 - \cos \alpha _0) = 4mg\ell (1 - \cos \alpha )\)
\(\Rightarrow 1 - \cos \alpha _0 = 4(1 - \cos \alpha )\)
\(\Rightarrow \cos \alpha = 1 - \frac{1 - \cos \alpha _0}{4} = \frac{7}{8} \Rightarrow \alpha = \ ?\)
\(\cdot \ |v| = \sqrt{2g\ell (\cos \alpha - (\cos \alpha _0)} = \sqrt{2.10.1.(\frac{7}{8}- \frac{1}{2})} = \sqrt{\frac{15}{2}}\ (m/s)\)
\(\cdot \ T = mg(3\cos \alpha - 2\cos \alpha _0) = 0,1.10.(3.\frac{7}{8} - 2\frac{1}{2}) = \frac{13}{8}\ (N)\)

Câu 2: Một con lắc đơn dao động với phương trình \(\alpha = 0,1\cos(5t - \frac{\pi}{3})\) (rad). Cho g = 10 m/s$^{2}$, m = 100g.
a/ Tìm W, v$_{max}$, a$_{max}$, T$_{max}$, T$_{min}$?
b/ Tìm α khi Wđ = 3Wt?
Giải
a/
\(\cdot \ W = \frac{1}{2}mg\ell \alpha _{0}^{2}\)
Ta có: \(\omega ^2 = \frac{g}{\ell} \Rightarrow \ell = \frac{g}{\omega ^2}\)
\(\Rightarrow \ell = \frac{10}{5^2} = 0,4 \ (m)\)
\(\Rightarrow W = \frac{1}{2}.0,1.10.0,4.0,1^2 = 2.10^{-3} \ (J)\)
\(\cdot \ v_{max} = \alpha _0. \sqrt{g \ell } = 0,1.\sqrt{10.0,4} = 0,2 \ (m/s)\)
\(\cdot \ a_{max} = \omega ^2S_0 = \frac{g}{\ell}. \alpha _0 \ell = g.\alpha _0\)
\(\Rightarrow a_{max} = 10.0,1 = 1 \ (m/s^2)\)
\(\cdot \ T_{max} = mg(1 + \alpha _{0}^{2}) = 0,1.10.(1 + 0,1^2) = 1,01 \ (N)\)
\(\cdot \ T_{min} = mg(1 - \frac{\alpha _{0}^{2}}{2}) = 0,1.10.(1 - \frac{0,1^2}{2}) = 0,995 \ (N)\)

b/
W = W$_{đ}$ + W$_{t}$ = 3W$_{t }$+ W$_{t}$ = 4W$_{t}$
⇒ W$_{t max}$ = 4W$_{t}$
\(\Rightarrow \frac{1}{2}mg\ell \alpha _{0}^{2} = 4.\frac{1}{2}mg\ell \alpha ^2\)
\(\Rightarrow \alpha = \pm \frac{\alpha _0}{2} = \pm \frac{0,1}{2} = \pm 0,05 \ (rad)\)
 

Chương 1: Dao động cơ

Bài 1: Dao động điều hòa Bài 2: Con lắc lò xo Bài 3: Con lắc đơn Bài 4: Dao động duy trì - dao động cưỡng bức - dao động tắt dần Bài 5: Tổng hợp dao động

Bài 6: Sơ đồ tư duy chương dao động cơ

Tài liệu: dao động cơ