Xét 1 con lắc lò xo gồm một lò xo nhẹ có độ cứng k, vật nặng có khối lượng m đặt trên mặt phẳng ngang, hệ số ma sát giữa vật và sàn là \(\mu\). Từ VTCB đưa vật về vị trí lò xo bị biến dạng một đoạn X rồi buông cho vật dao động. Lấy gia tốc tại nơi đang xét là g.
Vị trí vật đạt tốc độ cực đại
Ta có: \(F_{dh} = F_{ms} \Rightarrow k.x_0 = \mu N = \mu mg\) \(\Rightarrow x_0 = \frac{\mu mg}{k}\)
Tốc độ cực đại của vật
Ta có: \(\frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}kx_0 ^2 + \frac{1}{2}mv^2 + \mu mg(A - x_0)\)
(Chọn gốc thế năng tại O)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}kA^2 - \frac{1}{2}kx_0 ^2 - \mu mg(A - x_0)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}kA^2 - \frac{1}{2}kx_0 ^2 - kx_0(A - x_0)\)
\(\Rightarrow mv^2 = kA^2 - kx_0 ^2 - 2kx_0(A - x_0)\)
\(= k(A^2 - x_0 ^2 - 2x_0A - 2x_0 ^2)\)
\(= k(A - x_0)^2\)
\(\Rightarrow v_{max} = \sqrt{(A - x_0)^2 . \frac{k}{m}} = \omega (A - x_0)\)
* Độ giảm biên độ sau một chu kỳ
Ta có:
\(\frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}k A'^{2} + \mu mg(A + A')\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}k(A^2 - A'^{2}) = \mu mg(A + A')\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}k(A- A')(A + A') = \mu mg(A + A')\)
\(\Rightarrow \Delta A' = A - A' = 2.\frac{\mu mg}{k} = 2x_0\)
Với \(\Delta A'\): độ giảm biên độ sau \(\frac{1}{2}T\)
Số dao động vật thực hiện được đến khi dừng \(N = \frac{A}{\Delta A} = \frac{A}{4x_0}\)
Thời gian vật thực hiện dao động đến khi dừng \(\Delta t = N.T = \frac{A}{x_0}. 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}\)
Đối với con lắc đơn \(F_c = F_{ms}; \ m\omega ^2 = k\)
VD1: Một con lắc lò xo gồm 1 lò xo có độ cứng k = 1 N/m, vật nặng m = 20 g, đặt trên giá đỡ nằm ngang. Hệ số ma sát giữa vật và giá đỡ là \(\mu = 0,1\). Lấy g = 10 m/s$^2$. Từ VTCB đưa vật về vị trí lò xo dãn 10 cm rồi buông cho vật dao động tắt dần. Tìm vmax?
\(\mu = 0,1\); g = 10 m/s2
A = 10 cm = 0,1 m
vmax = ?
\(F_{dh} = F{ms} \Rightarrow kx_0 = \mu mg \Rightarrow x_0 = \frac{\mu mg}{k}\)
\(\Rightarrow x_0 = \frac{0,1.0,02.10}{1} = 0,02\ m\)
\(\Rightarrow v_{max} = \sqrt{\frac{k}{m}}(A - x_0) = \sqrt{\frac{1}{0,02}}(0,1 - 0,02) = 0,4 \sqrt{2} \ (m/s)\)
VD2: Một con lắc đơn có chiều dài ℓ, vật nặng m, gia tốc g. Từu VTCB đưa vật về vị trí có phương dây treo hợp với phương thẳng đứng 1 góc \(\alpha _0\) rồi buông cho vật dao động. Trong quá trình dao động vật luôn chịu tác dụng của lực cản Fc không đổi. Tìm vmax?
\(\cdot \ S_0 = \alpha _0.\ell;\ x_0 = \frac{F_c}{m\omega ^2}\)
\(\Rightarrow x_0 = \frac{F_c}{m.\frac{g}{\ell}} = \frac{\ell.F_c}{mg}\)
\(\Rightarrow v_{max} = \omega (S_0 - x_0) = \sqrt{\frac{g}{\ell}}.\left ( \alpha _0.\ell - \frac{\ell.F_c}{mg} \right )\)
\(\Rightarrow v_{max} = \sqrt{\frac{g}{\ell}}.\ell \left ( \alpha _0- \frac{F_c}{mg} \right )\)
Vậy: \(v_{max} = \sqrt{g.\ell} \left ( \alpha _0- \frac{F_c}{mg} \right )\)
Vị trí vật đạt tốc độ cực đại
Ta có: \(F_{dh} = F_{ms} \Rightarrow k.x_0 = \mu N = \mu mg\) \(\Rightarrow x_0 = \frac{\mu mg}{k}\)
Tốc độ cực đại của vật
Ta có: \(\frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}kx_0 ^2 + \frac{1}{2}mv^2 + \mu mg(A - x_0)\)
(Chọn gốc thế năng tại O)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}kA^2 - \frac{1}{2}kx_0 ^2 - \mu mg(A - x_0)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}kA^2 - \frac{1}{2}kx_0 ^2 - kx_0(A - x_0)\)
\(\Rightarrow mv^2 = kA^2 - kx_0 ^2 - 2kx_0(A - x_0)\)
\(= k(A^2 - x_0 ^2 - 2x_0A - 2x_0 ^2)\)
\(= k(A - x_0)^2\)
\(\Rightarrow v_{max} = \sqrt{(A - x_0)^2 . \frac{k}{m}} = \omega (A - x_0)\)
* Độ giảm biên độ sau một chu kỳ
Ta có:
\(\frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}k A'^{2} + \mu mg(A + A')\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}k(A^2 - A'^{2}) = \mu mg(A + A')\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}k(A- A')(A + A') = \mu mg(A + A')\)
\(\Rightarrow \Delta A' = A - A' = 2.\frac{\mu mg}{k} = 2x_0\)
Với \(\Delta A'\): độ giảm biên độ sau \(\frac{1}{2}T\)
Số dao động vật thực hiện được đến khi dừng \(N = \frac{A}{\Delta A} = \frac{A}{4x_0}\)
Thời gian vật thực hiện dao động đến khi dừng \(\Delta t = N.T = \frac{A}{x_0}. 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}\)
Đối với con lắc đơn \(F_c = F_{ms}; \ m\omega ^2 = k\)
VD1: Một con lắc lò xo gồm 1 lò xo có độ cứng k = 1 N/m, vật nặng m = 20 g, đặt trên giá đỡ nằm ngang. Hệ số ma sát giữa vật và giá đỡ là \(\mu = 0,1\). Lấy g = 10 m/s$^2$. Từ VTCB đưa vật về vị trí lò xo dãn 10 cm rồi buông cho vật dao động tắt dần. Tìm vmax?
Lời giải chi tiết
k = 1 N/m; m = 20 g = 0,02 kg\(\mu = 0,1\); g = 10 m/s2
A = 10 cm = 0,1 m
vmax = ?
\(F_{dh} = F{ms} \Rightarrow kx_0 = \mu mg \Rightarrow x_0 = \frac{\mu mg}{k}\)
\(\Rightarrow x_0 = \frac{0,1.0,02.10}{1} = 0,02\ m\)
\(\Rightarrow v_{max} = \sqrt{\frac{k}{m}}(A - x_0) = \sqrt{\frac{1}{0,02}}(0,1 - 0,02) = 0,4 \sqrt{2} \ (m/s)\)
VD2: Một con lắc đơn có chiều dài ℓ, vật nặng m, gia tốc g. Từu VTCB đưa vật về vị trí có phương dây treo hợp với phương thẳng đứng 1 góc \(\alpha _0\) rồi buông cho vật dao động. Trong quá trình dao động vật luôn chịu tác dụng của lực cản Fc không đổi. Tìm vmax?
Lời giải chi tiết
\(\cdot \ \omega = \sqrt{\frac{g}{\ell}}\)\(\cdot \ S_0 = \alpha _0.\ell;\ x_0 = \frac{F_c}{m\omega ^2}\)
\(\Rightarrow x_0 = \frac{F_c}{m.\frac{g}{\ell}} = \frac{\ell.F_c}{mg}\)
\(\Rightarrow v_{max} = \omega (S_0 - x_0) = \sqrt{\frac{g}{\ell}}.\left ( \alpha _0.\ell - \frac{\ell.F_c}{mg} \right )\)
\(\Rightarrow v_{max} = \sqrt{\frac{g}{\ell}}.\ell \left ( \alpha _0- \frac{F_c}{mg} \right )\)
Vậy: \(v_{max} = \sqrt{g.\ell} \left ( \alpha _0- \frac{F_c}{mg} \right )\)