Dạng 8: Tìm thời gian ∆t để vật dao động điều hòa đi được quãng đường S

Một vật dao động điều hòa với phương trình x = Acos(ωt + φ ). Để xác định được quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian ∆t ta cần nhớ:
NHỚ:

• $S = 4A \Rightarrow \Delta t = 1T$
• $S = 2A \Rightarrow \Delta t = \frac{1}{2}T$

Xét \(\frac{S}{4A} = a\)

• $[\begin{array}{*{20}{c}} {a = k\;\;\;\;\;}\\ {a = k + \frac{1}{2}} \end{array}\;\;(k \in Z) \Rightarrow \Delta t = a.T$
• $[\begin{array}{*{20}{c}} {a \ne k\;\;\;\;\;}\\ {a \ne k + \frac{1}{2}} \end{array}\;\;(k \in Z) \Rightarrow a = k + \frac{p}{q}\;(p < q)$

$ \Rightarrow S = a.4A = (k + \frac{p}{q}).4A \Rightarrow S = \underbrace {k.4A}_{k.T} + \frac{p}{q}.4A = \underbrace {k.4A}_{k.T} + \underbrace {{S_0}}_{\Delta {t_0}}$
Xác định ∆t0:

• Xác định trạng thái t1
• Vẽ sơ đồ ⇒ Vẽ S$_0$ ⇒ ∆t$_0$

Vậy ∆t = k.T + ∆t$_0$

VD1: Cho dao động \(x = 5cos(4\pi t + \pi)\) (cm).
a. Tìm thời gian để vật đi được các quãng đường S1 = 0,6 m, S2 = 1,1 m; S3 = 175 cm kể từ t = 0?
b. Tìm thời gian để vật đi được quãng đường 255 cm kể từ t = \(\frac{1}{6}\)s?

\(4A = 4.5 = 20\ cm; T = \frac{2 \pi}{\omega } = 0,5s\)
a.
$\frac{{{S_1}}}{{4A}} = \frac{{60}}{{20}} = 3 \Rightarrow \Delta t = 3T = 1,5s$
$\frac{{{S_2}}}{{4A}} = \frac{{110}}{{20}} = 5,5 \Rightarrow \Delta t = 5,5T = 2,75s$
$\frac{{{S_3}}}{{4A}} = \frac{{175}}{{20}} = 8 + \frac{3}{4} \Rightarrow {S_3} = \underbrace {8.4A}_{8T} + \frac{3}{4}.4A = \underbrace {8.4A}_{8T} + 15$
t = 0 ⇒ x = -5 (cm); v = 0

\(\Rightarrow \Delta t = 8.T + \frac{3}{4}.T = \frac{35}{4}.T = \frac{35}{8}(s)\)
b.
\(\frac{S}{4A} = \frac{255}{20} = 12 + \frac{3}{4} \Rightarrow S = \underbrace{12.4A}_{\substack{12.T}} + \frac{3}{4}.4A = \underbrace{12.4A}_{\substack{12.T}} +15\)
\(t = \frac{1}{6}s \Rightarrow x = 2,5\ cm;\ v > 0\)

\(\Rightarrow \Delta t = 12T + \frac{5T}{6} = \frac{77T}{6}\)
\(\Rightarrow \Delta t = \frac{77}{12}s\)

VD2: Cho dao động \(x = 8cos(6\pi t - \frac{\pi}{3})\) (cm). Tìm thời gian để vật đi được quãng đường 1,75m kể từ t = 0?

\(4A = 32 \ cm; \ T = \frac{2\pi}{\omega } = \frac{1}{3}s\)
Xét \(\frac{S}{4A} = \frac{175}{32} = 5 + \frac{15}{32}\)
\(S = \underbrace{ 5.4A }_{5T} + \frac{15}{32}.4A = \underbrace{ 5.4A }_{5T} + \underbrace{15}_{\Delta t_0}\)
Tại t = 0 ⇒ x = 4 cm; v > 0

Xét: \(\Delta t = \frac{\alpha T}{2 \pi}\)
• Từ \(x = 0 \Rightarrow |x_0| < A \Rightarrow \alpha = arcsin \left ( \frac{|x_0|}{A} \right )\)
\(\Rightarrow \Delta t = \frac{T}{2 \pi} .arcsin \left ( \frac{|x_0|}{A} \right )\)
• Từ \(|x | = A \Rightarrow |x_0| \neq 0 \Rightarrow \alpha = arccos \left ( \frac{|x_0|}{A} \right )\)
\(\Rightarrow \Delta t = \frac{T}{2 \pi} .arccos \left ( \frac{|x_0|}{A} \right )\)
$ \Rightarrow \Delta {t_0} = \frac{T}{6} + \frac{T}{4} + \frac{T}{{2\pi }}.si{n^{ - 1}}\left( {\frac{3}{8}} \right)$
$ \Rightarrow \Delta {t_0} = \left[ {5 + \frac{1}{6} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{2\pi }}.si{n^{ - 1}}\left( {\frac{3}{8}} \right)} \right].T$
$ \Rightarrow \Delta {t_0} = \left[ {5 + \frac{1}{6} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{2\pi }}.si{n^{ - 1}}\left( {\frac{3}{8}} \right)} \right].\frac{1}{3} \Rightarrow \Delta {t_0} \approx 1,826s$