Dạng 1: Xác định các đại lượng và trạng thái của vật dao động điều hoà

Dao động điều hòa của một vật được mô tả bằng các phương trình sau: \(\left\{\begin{matrix} x = A.cos(\omega t + \varphi ) \ \ \ \ \\ v = - \omega A.sin(\omega t + \varphi )\\ a = - \omega ^2.x \hspace{2cm} \end{matrix}\right.\)
* Tần số góc ω: \(\omega = \frac{2 \pi}{T} = 2 \pi f\)

• Chu kỳ (T): là thời gian vật thực hiện được 1 dao động hoặc là thời gian ngắn nhất mà trạng thái dao động của vật được lặp lại như cũ.
• Tần số (f): là số dao động thực hiện được trong một đơn vị thời gian (1 giây).

* Xác định x0, v0, a0 tại thời điểm t0
Thay t = t0: \(\left\{\begin{matrix} x_0 = A.cos(\omega t_0 + \varphi ) \ \ \ \\ v_0 = - \omega A.sin(\omega t_0 + \varphi )\\ a_0 = - \omega ^2.x_0 \hspace{1,9cm} \end{matrix}\right.\)

* Chú ý: Nên đưa phương trình li độ về dạng chuẩn \(x = A.cos(\omega t + \varphi )\) trước khi các định các đại lượng.
\(\cdot \ sin(\omega t + \varphi ) =cos(\omega t + \varphi - \frac{ \pi}{2})\)
\(\cdot \ - sin(\omega t + \varphi ) =cos(\omega t + \varphi + \frac{ \pi}{2})\)
\(\cdot \ - cos(\omega t + \varphi ) =cos(\omega t + \varphi \pm \pi)\)

• Lấy dấu (+) nếu \(\varphi < 0\)
• Lấy dấu (-) nếu \(\varphi > 0\)

* Xác đinh trạng thái của vật tại thời điểm t0
Từ \(t = t_0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_0\\ v_0\\ a_0 \end{matrix}\right.\)
Kết luận: Vật có li độ x0

• Chuyển động theo chiều dương nếu v0 > 0
• Chuyển động theo chiều âm nếu v0 < 0
• Chuyển động nhanh dần (a0; v0 > 0)
• Chuyển động chậm dần (a0; v0 > 0)
• NHỚ: a0 luôn trái dấu với x0

Ví dụ 1(HL): Phương trình dao động có dạng x = 2cos(2πt) trong đó x tính bằng cm và t tính bằng giây. Gốc thời gian là lúc vật
Theo đề:\(t = 0 \to \left\{ \begin{array}{l}x = 2\cos (2\pi .0) = A\\v = - 4\pi \sin (2\pi .0) = 0\end{array} \right.\,\)

Ví dụ 2(HL): Phương trình dao động có dạng x = 10cos(πt - π/2) trong đó x tính bằng cm và t tính bằng giây. Gốc thời gian là lúc vật
Theo đề:\(t = 0 \to \left\{ \begin{array}{l}x = 10\cos (\pi .0 - \frac{\pi }{2}) = 0\\v = - 10\pi \sin (\pi .0 - \frac{\pi }{2}) = A\omega > 0\end{array} \right.\,\)

Ví dụ 3(HL): Phương trình dao động có dạng x = 10cos(πt) trong đó x tính bằng cm và t tính bằng giây. Gốc thời gian là lúc vật
Theo đề: \(\left\{ \begin{array}{l}t = 0\\x = 10c{\rm{os}}\left( {\pi .0} \right) = 10\left( {cm} \right)\\v = - 5\pi .\sin \left( {\pi .0} \right) = 0\end{array} \right.\)

Ví dụ 4(HL): Phương trình dao động có dạng x = - 2sin(πt - π/4) trong đó x tính bằng cm và t tính bằng giây. Gốc thời gian là lúc vật có
\(\left\{ \begin{array}{l}t = 0\\x = - 2\sin (\pi .t - \frac{\pi }{4})\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}t = 0\\a = 2{\pi ^2}\sin \left( {\pi t - \frac{\pi }{4}} \right)\\v = - 2\pi .c{\rm{os}}\left( {\pi .t - \frac{\pi }{4}} \right)\end{array} \right.\, \to \left\{ \begin{array}{l}a = 2{\pi ^2}\sin \left( {\pi .0 - \frac{\pi }{4}} \right) < 0\\v = - 2\pi .c{\rm{os}}\left( {\pi .0 - \frac{\pi }{4}} \right) < 0\end{array} \right.\)

Ví dụ 5: Cho dao động \(x =3sin (4 \pi t + \frac{\pi}{6})\) cm
a. Xác định A, \(\omega\), T, \(\varphi\), chiều dài quỹ đạo?
b. Tìm x, v, a tại thời điểm t = 0,5s.
c. Xác định trạng thái ban đầu và trạng thái của vật tại t = 0,5s?
\(x = 3sin(4 \pi t + \frac{\pi}{6}) = 3 cos (4 \pi t + \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{2})\)
\(\rightarrow x = 3cos(4 \pi t - \frac{\pi}{3}) \ (cm)\)
a.
\(A = 3\ (cm);\ \omega = 4 \pi (\frac{rad}{s});\ \varphi = - \frac{\pi }{3}\)
\(T = \frac{2 \pi }{\omega } = \frac{2 \pi }{4 \pi } = 0,5(s);\ \ell = 2A = 6\ (cm)\)
b.
Với \(x = 3cos(4 \pi t - \frac{\pi}{3})\)
\(\rightarrow \left\{\begin{matrix} v = -12 \pi .sin (4\pi t - \frac{\pi }{3})\\ a = - \omega ^2.x \hspace{2,2cm} \end{matrix}\right.\)
Tại \(t = 0,5s \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x = 3.cos(4 \pi .0,5 - \frac{\pi }{3}) = 1,5 \ cm \ \ \ \\ v = -12 \pi .sin (4 \pi .0,5 - \frac{\pi }{3}) = 6 \pi \sqrt{3}\\ a = -
(4\pi)^2.1,5 = -24 \pi ^2 \frac{cm}{s^2} \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\)

c. Trạng thái ban đầu ⇒ t = 0
Tại \(t = 0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x = 3.cos(4 \pi .0 - \frac{\pi }{3}) = 1,5 \ cm \\ v = -12 \pi .sin (4 \pi .0 - \frac{\pi }{3}) > 0 \ \ \\ a < 0 \ (Vi \ x > 0)
\hspace{2,2cm} \end{matrix}\right.\)
KL: Vật có li độ x = 1,5 cm, đang chuyển động chậm dần (a.v < 0) theo chiều dương (v > 0).

Tại \(t = 0,5 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x = 1,5\ cm\\ v > 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \\ a < 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\)
KL: Trạng thái tại t = 0,5s và tại t = 0 hoàn toàn giống nhau.

Ví dụ 6: Cho dao động \(x = -cos (2 \pi t - \frac{\pi }{3}) \ (dm)\)
a. Xác đinh A, \(\omega\), \(\varphi\), T, \(\ell\)?
b. Xác định trạng thái dao động của vật tại cách tời điểm t1 = 0; t2 = 0,5s và t3 = 1,5s?
Từ \(x = -cos (2 \pi t - \frac{\pi }{3}) \ (dm)\)
\(x = -10.cos (2 \pi t - \frac{\pi }{3}) \ (cm)\)
\(x = 10.cos (2 \pi t - \frac{\pi }{3} + \pi)\)
\(\Rightarrow x = 10.cos (2 \pi t + \frac{2 \pi }{3})\ (cm)\)

a.
\(A = 10(cm); \ \omega = 2\pi (\frac{rad}{s});\ \varphi = \frac{2\pi}{3}\)
\(T = \frac{2\pi}{\omega } = \frac{2\pi}{2\pi} = 1(s), \ell = 2A = 20(cm)\)

b.
Từ \(x = 10.cos (2 \pi t + \frac{2 \pi }{3})\ (cm)\)
\(\rightarrow \left\{\begin{matrix} v = -20 \pi .sin (2\pi t + \frac{2\pi}{3})\\ a = -\omega ^2.x \hspace{2,2cm} \end{matrix}\right.\)
+ Tại \(t_1 = 0: \left\{\begin{matrix} x = 10.cos(2\pi .0 + \frac{2\pi}{3}) = -5cm\\ v = -20 \pi .sin (2\pi .0 + \frac{2\pi}{3}) < 0 \ \ \ \\ a > 0 \ (Vi \ x < 0) \hspace{2,4cm} \end{matrix}\right.\)
KL: Vật có li độ -5 cm, chuyển động chậm dần (v.a < 0), theo chiều âm (v > 0)

+ Tại: \(t_2 = 0,5s: \left\{\begin{matrix} x = 10.cos(2\pi .0,5 + \frac{2\pi}{3}) = 5cm\\ v = -20 \pi .sin (2\pi .0,5 + \frac{2\pi}{3}) > 0 \\ a < 0 \ (Vi \ x > 0) \hspace{2,4cm} \end{matrix}\right.\)
KL: Vật có li độ 5cm, chuyển động chậm dần (v.a < 0), theo chiều dương (v > 0)

Tại t3 = 1,5s
⇒ Trạng thái dao động được lặp lại