Dạng 1: Chu kì và tần số con lắc đơn

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Một con lắc đơn dao động điều hòa với phương trình s = S$_0$cos(ωt + φ ) thì
  • Tần số góc: \(\omega = \sqrt{\frac{g}{\ell}}\) (g: m/s$^2$; ℓ: m)
  • Chu kỳ: \(T = \frac{2 \pi}{\omega } = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}\)
  • Tần số: \(f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{g}{\ell}}\)
Từ \(T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}} \Rightarrow T^2 = (2 \pi)^2. \frac{\ell}{g}\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \ell = \frac{gT^2}{(2 \pi)^2} \Rightarrow \ell \sim T^2\\ g = \frac{(2 \pi)^2. \ell}{T^2} \Rightarrow g \sim \frac{1}{T^2} \end{matrix}\right.\)
\(\cdot \ f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{\ell}} \Rightarrow f^2 = \frac{1}{(2 \pi)^2} .\frac{g}{\ell}\) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \ell = \frac{g}{(2 \pi)^2.f^2} \Rightarrow \ell \sim \frac{1}{f^2} \ \ \ \ \\ g = \ell.(2 \pi)^2.f^2 \Rightarrow g \sim f^2 \end{matrix}\right.\)

Nhận xét: Đối với con lắc đơn dao động điều hòa
  • (1) \(T, f \in g, \ell \Rightarrow T, f \in\) Vị trí địa lý và nhiệt độ \(T, f \notin m, A\)
  • (2) \(T \sim \sqrt{\ell}\) và \(\frac{1}{\sqrt{g}} \Rightarrow T^2 \sim \ell\) và \(\frac{1}{g}\)
  • (3) \(T \sim \frac{1}{\sqrt{\ell}}\) và \(\sqrt{g} \Rightarrow f^2 \sim \frac{1}{f}\) và g
Câu 1:Một con lắc đơn gồm một quả cầu nhỏ khối lượng m được treo vào một đầu sợi dây mềm, nhẹ, không giãn, dài 64cm. Con lắc dao động điều hòa tại nơi có gia tốc trọng trường g. Lấy g = π2 (m/s2). Chu kì dao động của con lắc là bao nhiêu?
Giải
$T = 2\pi \sqrt {\frac{\ell }{g}} = 1,6s.$

Câu 2:Một con lắc đơn dao động điều hòa, nếu tăng chiều dài lên 25% thì chu kì dao động của nó
Giải
ℓ’ = ℓ + 25%ℓ = 1,25ℓ → T’ = $\sqrt {1,25} $ T = 1,118T → Chu kì tăng 11,8s

Câu 3:Con lắc đơn dao động điều hoà, khi tăng chiều dài của con lắc lên 4 lần thì tần số dao động của con lắc
Giải
$\left. \begin{array}{l} {f_1} = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{g}{{{\ell _1}}}} \\ {f_2} = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{g}{{{\ell _2}}}} \\ {\ell _2} = 4{\ell _1} \end{array} \right\} \to \frac{{{f_1}}}{{{f_2}}} = \sqrt {\frac{{{\ell _2}}}{{{\ell _1}}}} = \sqrt 4 = 2 \to {f_1} = 2{f_2}.$

Câu 4: Tại cùng một nơi trên mặt đất, hai con lắc đơn có chiều dài ℓ1, ℓ2 dao động với tần số f1, f2 tương ứng. Tìm tần số của con lắc đơn có chiều dài ℓ tại đó với:
a/ \(\ell = \ell _1 + \ell _2\)
b/ \(2\ell = 3\ell _1 - \ell _2\)
c/ \(\frac{2}{\ell }= \frac{4}{\ell } + \frac{5}{\ell _2}\)
Giải
Ta có \(f = \frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{g}{\ell}} \Rightarrow f^2 = \frac{1}{(2 \pi)^2}.\frac{g}{\ell}\)
\(\Rightarrow \ell = \frac{g}{(2 \pi)^2 . f^2}\)
a/ \(\ell = \ell _1 + \ell _2 \Rightarrow \frac{g}{(2 \pi)^2.f^2} = \frac{g}{(2\pi)^2.f_{1}^2} + \frac{g}{(2\pi)^2.f_{2}^2}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{f^2} = \frac{1}{f_{1}^{2}} + \frac{1}{f_{2}^{2}} = \Rightarrow f = \frac{f_1.f_2}{\sqrt{f_{1}^{2}+f_{2}^{2}}}\)

b/ \(2\ell = 3\ell _1 - \ell _2 \Rightarrow \frac{2}{f^2} = \frac{3}{f_{1}^{2}} - \frac{1}{f_{2}^{2}} \Rightarrow f = \ ?\)

c/ \(\frac{2}{\ell }= \frac{4}{\ell } + \frac{5}{\ell _2} \Rightarrow 2f^2 = 4f_{1}^{2} + 5f_{2}^{2} \Rightarrow f = \ ?\)
Tổng quát: \(x.\ell = y.\ell _1 \pm z.\ell _2\) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x.T^2 = y.T_{1}^{2} \pm z.T_{2}^{2}\\ \frac{x}{f^2} = \frac{y}{f_{1}^{2}} \pm \frac{z}{f_{2}^{2}} \hspace{1,3cm} \end{matrix}\right.\)

Câu 5: Tại cùng một nơi trên mặt đất, hai con lắc đơn có chiều dài ℓ1, ℓ2 dao động với tần số T1, T2. Trong cùng một khoảng thời gian con lắc thứ nhất thực hiện 18 dao động; con lắc thứ hai thực hiên được 24 dao động. Tìm ℓ1, ℓ2 biết tổng của chúng bằng 2m?
Giải
\(T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell_1}{g}}; T_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell_2}{g}}\)
Ta có:
\(\cdot \ \ell _1 + \ell _2 = 2m = 200 \ (cm) \ (1)\)
\(\left.\begin{matrix} \cdot \ T_1 = \frac{\Delta t}{n_1}\\ \cdot \ T_2 = \frac{\Delta t}{n_2} \end{matrix}\right\} \Delta t = n_1.T_1 = n_2.T_2\)\(\Rightarrow \frac{T_1}{T_2} = \frac{n_2}{n_1} \Rightarrow \sqrt{\frac{\ell _1}{\ell_2}} = \frac{n_2}{n_1}\)
\(\Rightarrow \frac{\ell _1}{\ell_2} = \left ( \frac{24}{18} \right )^2=\frac{16}{9}\ (2)\)
Từ (1), (2) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \ell _1 = 128 \ (cm)\\ \ell _2 = 72\ (cm) \end{matrix}\right.\)

Câu 6: Nếu tăng chiều dài của một con lắc đơn thêm 44 cm thì chu kỳ của nó tăng 20%. Tìm chiều dài ban đầu của con lắc này?
Giải
\(T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}} \ (1)\)
\(T' = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell '}{g}} \Rightarrow T + 0,2T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell '}{g}}\)
\(\Rightarrow 1,2T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell + \Delta \ell }{g}} \ (2)\)
Lấy \(\frac{(2)}{(1)} \Rightarrow \frac{1,2T}{T} = \sqrt{\frac{\ell + \Delta \ell }{\ell}}\)
\(\Rightarrow \frac{\ell + \Delta \ell }{\ell} = 1,2^2 = 1,44\)
\(\Rightarrow \ell = \frac{\Delta \ell }{0,44} = \frac{44}{0,44} = 100 \ (cm)\)
 
Sửa lần cuối:

Chương 1: Dao động cơ

Bài 1: Dao động điều hòa Bài 2: Con lắc lò xo Bài 3: Con lắc đơn Bài 4: Dao động duy trì - dao động cưỡng bức - dao động tắt dần Bài 5: Tổng hợp dao động

Bài 6: Sơ đồ tư duy chương dao động cơ

Tài liệu: dao động cơ