Một con lắc đơn dao động điều hòa với phương trình s = S$_0$cos(ωt + φ ) thì
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \ell = \frac{gT^2}{(2 \pi)^2} \Rightarrow \ell \sim T^2\\ g = \frac{(2 \pi)^2. \ell}{T^2} \Rightarrow g \sim \frac{1}{T^2} \end{matrix}\right.\)
\(\cdot \ f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{\ell}} \Rightarrow f^2 = \frac{1}{(2 \pi)^2} .\frac{g}{\ell}\) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \ell = \frac{g}{(2 \pi)^2.f^2} \Rightarrow \ell \sim \frac{1}{f^2} \ \ \ \ \\ g = \ell.(2 \pi)^2.f^2 \Rightarrow g \sim f^2 \end{matrix}\right.\)
Nhận xét: Đối với con lắc đơn dao động điều hòa
Câu 2:Một con lắc đơn dao động điều hòa, nếu tăng chiều dài lên 25% thì chu kì dao động của nó
Câu 3:Con lắc đơn dao động điều hoà, khi tăng chiều dài của con lắc lên 4 lần thì tần số dao động của con lắc
Câu 4: Tại cùng một nơi trên mặt đất, hai con lắc đơn có chiều dài ℓ1, ℓ2 dao động với tần số f1, f2 tương ứng. Tìm tần số của con lắc đơn có chiều dài ℓ tại đó với:
a/ \(\ell = \ell _1 + \ell _2\)
b/ \(2\ell = 3\ell _1 - \ell _2\)
c/ \(\frac{2}{\ell }= \frac{4}{\ell } + \frac{5}{\ell _2}\)
\(\Rightarrow \ell = \frac{g}{(2 \pi)^2 . f^2}\)
a/ \(\ell = \ell _1 + \ell _2 \Rightarrow \frac{g}{(2 \pi)^2.f^2} = \frac{g}{(2\pi)^2.f_{1}^2} + \frac{g}{(2\pi)^2.f_{2}^2}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{f^2} = \frac{1}{f_{1}^{2}} + \frac{1}{f_{2}^{2}} = \Rightarrow f = \frac{f_1.f_2}{\sqrt{f_{1}^{2}+f_{2}^{2}}}\)
b/ \(2\ell = 3\ell _1 - \ell _2 \Rightarrow \frac{2}{f^2} = \frac{3}{f_{1}^{2}} - \frac{1}{f_{2}^{2}} \Rightarrow f = \ ?\)
c/ \(\frac{2}{\ell }= \frac{4}{\ell } + \frac{5}{\ell _2} \Rightarrow 2f^2 = 4f_{1}^{2} + 5f_{2}^{2} \Rightarrow f = \ ?\)
Tổng quát: \(x.\ell = y.\ell _1 \pm z.\ell _2\) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x.T^2 = y.T_{1}^{2} \pm z.T_{2}^{2}\\ \frac{x}{f^2} = \frac{y}{f_{1}^{2}} \pm \frac{z}{f_{2}^{2}} \hspace{1,3cm} \end{matrix}\right.\)
Câu 5: Tại cùng một nơi trên mặt đất, hai con lắc đơn có chiều dài ℓ1, ℓ2 dao động với tần số T1, T2. Trong cùng một khoảng thời gian con lắc thứ nhất thực hiện 18 dao động; con lắc thứ hai thực hiên được 24 dao động. Tìm ℓ1, ℓ2 biết tổng của chúng bằng 2m?
Ta có:
\(\cdot \ \ell _1 + \ell _2 = 2m = 200 \ (cm) \ (1)\)
\(\left.\begin{matrix} \cdot \ T_1 = \frac{\Delta t}{n_1}\\ \cdot \ T_2 = \frac{\Delta t}{n_2} \end{matrix}\right\} \Delta t = n_1.T_1 = n_2.T_2\)\(\Rightarrow \frac{T_1}{T_2} = \frac{n_2}{n_1} \Rightarrow \sqrt{\frac{\ell _1}{\ell_2}} = \frac{n_2}{n_1}\)
\(\Rightarrow \frac{\ell _1}{\ell_2} = \left ( \frac{24}{18} \right )^2=\frac{16}{9}\ (2)\)
Từ (1), (2) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \ell _1 = 128 \ (cm)\\ \ell _2 = 72\ (cm) \end{matrix}\right.\)
Câu 6: Nếu tăng chiều dài của một con lắc đơn thêm 44 cm thì chu kỳ của nó tăng 20%. Tìm chiều dài ban đầu của con lắc này?
\(T' = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell '}{g}} \Rightarrow T + 0,2T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell '}{g}}\)
\(\Rightarrow 1,2T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell + \Delta \ell }{g}} \ (2)\)
Lấy \(\frac{(2)}{(1)} \Rightarrow \frac{1,2T}{T} = \sqrt{\frac{\ell + \Delta \ell }{\ell}}\)
\(\Rightarrow \frac{\ell + \Delta \ell }{\ell} = 1,2^2 = 1,44\)
\(\Rightarrow \ell = \frac{\Delta \ell }{0,44} = \frac{44}{0,44} = 100 \ (cm)\)
- Tần số góc: \(\omega = \sqrt{\frac{g}{\ell}}\) (g: m/s$^2$; ℓ: m)
- Chu kỳ: \(T = \frac{2 \pi}{\omega } = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}\)
- Tần số: \(f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{g}{\ell}}\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \ell = \frac{gT^2}{(2 \pi)^2} \Rightarrow \ell \sim T^2\\ g = \frac{(2 \pi)^2. \ell}{T^2} \Rightarrow g \sim \frac{1}{T^2} \end{matrix}\right.\)
\(\cdot \ f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{\ell}} \Rightarrow f^2 = \frac{1}{(2 \pi)^2} .\frac{g}{\ell}\) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \ell = \frac{g}{(2 \pi)^2.f^2} \Rightarrow \ell \sim \frac{1}{f^2} \ \ \ \ \\ g = \ell.(2 \pi)^2.f^2 \Rightarrow g \sim f^2 \end{matrix}\right.\)
Nhận xét: Đối với con lắc đơn dao động điều hòa
- (1) \(T, f \in g, \ell \Rightarrow T, f \in\) Vị trí địa lý và nhiệt độ \(T, f \notin m, A\)
- (2) \(T \sim \sqrt{\ell}\) và \(\frac{1}{\sqrt{g}} \Rightarrow T^2 \sim \ell\) và \(\frac{1}{g}\)
- (3) \(T \sim \frac{1}{\sqrt{\ell}}\) và \(\sqrt{g} \Rightarrow f^2 \sim \frac{1}{f}\) và g
Giải
$T = 2\pi \sqrt {\frac{\ell }{g}} = 1,6s.$Câu 2:Một con lắc đơn dao động điều hòa, nếu tăng chiều dài lên 25% thì chu kì dao động của nó
Giải
ℓ’ = ℓ + 25%ℓ = 1,25ℓ → T’ = $\sqrt {1,25} $ T = 1,118T → Chu kì tăng 11,8sCâu 3:Con lắc đơn dao động điều hoà, khi tăng chiều dài của con lắc lên 4 lần thì tần số dao động của con lắc
Giải
$\left. \begin{array}{l} {f_1} = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{g}{{{\ell _1}}}} \\ {f_2} = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{g}{{{\ell _2}}}} \\ {\ell _2} = 4{\ell _1} \end{array} \right\} \to \frac{{{f_1}}}{{{f_2}}} = \sqrt {\frac{{{\ell _2}}}{{{\ell _1}}}} = \sqrt 4 = 2 \to {f_1} = 2{f_2}.$Câu 4: Tại cùng một nơi trên mặt đất, hai con lắc đơn có chiều dài ℓ1, ℓ2 dao động với tần số f1, f2 tương ứng. Tìm tần số của con lắc đơn có chiều dài ℓ tại đó với:
a/ \(\ell = \ell _1 + \ell _2\)
b/ \(2\ell = 3\ell _1 - \ell _2\)
c/ \(\frac{2}{\ell }= \frac{4}{\ell } + \frac{5}{\ell _2}\)
Giải
Ta có \(f = \frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{g}{\ell}} \Rightarrow f^2 = \frac{1}{(2 \pi)^2}.\frac{g}{\ell}\)\(\Rightarrow \ell = \frac{g}{(2 \pi)^2 . f^2}\)
a/ \(\ell = \ell _1 + \ell _2 \Rightarrow \frac{g}{(2 \pi)^2.f^2} = \frac{g}{(2\pi)^2.f_{1}^2} + \frac{g}{(2\pi)^2.f_{2}^2}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{f^2} = \frac{1}{f_{1}^{2}} + \frac{1}{f_{2}^{2}} = \Rightarrow f = \frac{f_1.f_2}{\sqrt{f_{1}^{2}+f_{2}^{2}}}\)
b/ \(2\ell = 3\ell _1 - \ell _2 \Rightarrow \frac{2}{f^2} = \frac{3}{f_{1}^{2}} - \frac{1}{f_{2}^{2}} \Rightarrow f = \ ?\)
c/ \(\frac{2}{\ell }= \frac{4}{\ell } + \frac{5}{\ell _2} \Rightarrow 2f^2 = 4f_{1}^{2} + 5f_{2}^{2} \Rightarrow f = \ ?\)
Tổng quát: \(x.\ell = y.\ell _1 \pm z.\ell _2\) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x.T^2 = y.T_{1}^{2} \pm z.T_{2}^{2}\\ \frac{x}{f^2} = \frac{y}{f_{1}^{2}} \pm \frac{z}{f_{2}^{2}} \hspace{1,3cm} \end{matrix}\right.\)
Câu 5: Tại cùng một nơi trên mặt đất, hai con lắc đơn có chiều dài ℓ1, ℓ2 dao động với tần số T1, T2. Trong cùng một khoảng thời gian con lắc thứ nhất thực hiện 18 dao động; con lắc thứ hai thực hiên được 24 dao động. Tìm ℓ1, ℓ2 biết tổng của chúng bằng 2m?
Giải
\(T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell_1}{g}}; T_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell_2}{g}}\)Ta có:
\(\cdot \ \ell _1 + \ell _2 = 2m = 200 \ (cm) \ (1)\)
\(\left.\begin{matrix} \cdot \ T_1 = \frac{\Delta t}{n_1}\\ \cdot \ T_2 = \frac{\Delta t}{n_2} \end{matrix}\right\} \Delta t = n_1.T_1 = n_2.T_2\)\(\Rightarrow \frac{T_1}{T_2} = \frac{n_2}{n_1} \Rightarrow \sqrt{\frac{\ell _1}{\ell_2}} = \frac{n_2}{n_1}\)
\(\Rightarrow \frac{\ell _1}{\ell_2} = \left ( \frac{24}{18} \right )^2=\frac{16}{9}\ (2)\)
Từ (1), (2) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \ell _1 = 128 \ (cm)\\ \ell _2 = 72\ (cm) \end{matrix}\right.\)
Câu 6: Nếu tăng chiều dài của một con lắc đơn thêm 44 cm thì chu kỳ của nó tăng 20%. Tìm chiều dài ban đầu của con lắc này?
Giải
\(T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}} \ (1)\)\(T' = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell '}{g}} \Rightarrow T + 0,2T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell '}{g}}\)
\(\Rightarrow 1,2T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell + \Delta \ell }{g}} \ (2)\)
Lấy \(\frac{(2)}{(1)} \Rightarrow \frac{1,2T}{T} = \sqrt{\frac{\ell + \Delta \ell }{\ell}}\)
\(\Rightarrow \frac{\ell + \Delta \ell }{\ell} = 1,2^2 = 1,44\)
\(\Rightarrow \ell = \frac{\Delta \ell }{0,44} = \frac{44}{0,44} = 100 \ (cm)\)
Sửa lần cuối: