Trước khi nói về tổng hợp dao động là gì? Chúng ta nhắc lại một số kiến thức.
Biểu diễn một dao động điều hòa bằng một vectơ
Xét dao động \(x = A\cos (\omega t + \varphi )\) được biểu diễn thành vectơ \(\overrightarrow{OM}\)
Với \(\overrightarrow{OM} \left\{\begin{matrix} |\overrightarrow{OM}| = A \ \ \ \ \\ (\overrightarrow{OM},\Delta ) = \varphi \end{matrix}\right.\)
VD: \(x = 5 \cos (2 \pi t + \frac{\pi}{4}) \ (cm)\)
Xét 2 dao động: \(\left\{\begin{matrix} x_1 = A_1 \cos (\omega t + \varphi _1)\\ x_2 = A_2 \cos (\omega t + \varphi _2) \end{matrix}\right.\)
Độ lệch pha: \(\Delta \varphi = (\omega t + \varphi _2) - (\omega t + \varphi _1)\)\(\Rightarrow \Delta \varphi = \varphi _2 - \varphi _1\)
Xét 2 dao động cùng phương, cùng tần số: \(\left\{\begin{matrix} x_1 = A_1 \cos (\omega t + \varphi _1)\\ x_2 = A_2 \cos (\omega t + \varphi _2) \end{matrix}\right.\)
Dao động tổng hợp \(x =x_1 + x_2 = A \cos (\omega t + \varphi )\) \(\Rightarrow \overrightarrow{A} = \overrightarrow{A_1} + \overrightarrow{A_2}\ (*)\)
Chiếu (*) lên: \(\left\{\begin{matrix} Ox: A_x = A_{1x} + A_{2x} \\ Oy: A_y = A_{1y} + A_{2y} \end{matrix}\right.\) Với \(A_x = A\cos \varphi ;\ Ay = A\sin \varphi\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} A\cos \varphi = A_1 \cos \varphi _1 + A_2 \cos \varphi _2\\ A\sin \varphi = A_1 \sin \varphi _1 + A_2 \sin \varphi _2 \end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow A = \sqrt{A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + 2A_1A_2\cos (\varphi _2 - \varphi _1)}\)
\(\Rightarrow \tan \varphi = \frac{A_1 \sin \varphi _1 + A_2 \sin \varphi _2}{A_1 \cos \varphi _1 + A_2 \cos \varphi _2}\)
Các trường hợp đặc biệt
\(+\ \Delta \varphi = \varphi _2 - \varphi _1 = k2 \pi\): x1, x2 cùng pha \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} A = A_1 + A_2\\ \varphi = \varphi _1 = \varphi _2 \end{matrix}\right.\)
\(+\ \Delta \varphi = \varphi _2 - \varphi _1 = (2k + 1) \pi\): x1, x2 ngược pha \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} A = |A_1 - A_2| \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \varphi = \varphi _1 \ neu\ A_1 > A_2 \end{matrix}\right.\)
\(+\ \Delta \varphi = (2k + 1) \frac{\pi}{2} \Rightarrow x_1 \perp x_2 \Rightarrow A = \sqrt{A_{1}^{2} + A_{2}^{2}}\)
NHỚ: \(|A_1 - A_2| \leq A \leq A_1 + A_2\)
Câu 1: Tổng hợp các dao động sau:
$a)\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = 2\cos (2\pi t - \pi )}\\ {{x_2} = 3\cos (2\pi t + \pi )} \end{array}} \right.$
$b)\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = 5\cos (\pi t - \frac{\pi }{3})}\\ {{x_2} = \cos (\pi t + \frac{{2\pi }}{3})} \end{array}} \right.$
$c)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = 6\cos 4\pi t\;\;\;\;\;\;\;}\\ {{x_2} = 6\cos (4\pi t + \frac{\pi }{3})} \end{array}} \right.$
$d)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = 4\cos (5\pi t + \frac{\pi }{6})\;\;\;\;}\\ {{x_2} = 4\sqrt 3 \cos (5\pi t - \frac{\pi }{3})} \end{array}} \right.$
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} A = A_1 + A_2 = 2 + 3 = 5 \ cm\\ \varphi = \pi ;\ \varphi =- \pi \hspace{2,3cm} \end{matrix}\right.\)
\(\rightarrow x = 5\cos (2 \pi t \pm \pi )\ (cm)\)
b/ \(\Delta \varphi = \frac{2 \pi}{3} - \frac{\pi }{3} = \pi\): x1, x2 ngược pha
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} A = |A_1 - A_2| = |5-1| = 4 \ cm\\ \varphi = \varphi _1 = -\frac{\pi }{3}\ (Vi\ A_1 > A_2) \ \ \ \ \end{matrix}\right.\)
\(\rightarrow x = 4 \cos (\pi t - \frac{\pi}{3}) \ (cm)\)
c/ \(\left\{\begin{matrix} x_1 = 6 \cos 4 \pi t \ (cm) \ \ \ \ \ \ \ \rightarrow \left\{\begin{matrix} A_1 = 6 \ cm\\ \varphi _1 = 0 \ \ \ \ \end{matrix}\right.\\ x_2 = 6 \cos (4 \pi t + \frac{\pi}{3}) \ (cm) \rightarrow \left\{\begin{matrix} A_2 = 6\ cm\\ \varphi _2 = \frac{\pi }{3} \ \ \ \ \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\)
\(\cdot \ A = \sqrt{6^2 + 6^2 + 2.6.6 \cos \frac{\pi}{3}} = 6\sqrt{3}\ cm\)
\(\cdot \ \tan \varphi = \frac{6.\sin 0 + 6. \sin \frac{\pi }{3}}{6. \cos 0 + 6.\cos \frac{\pi }{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{9} = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow \varphi = \frac{\pi }{6}\)
d/ \(\left\{\begin{matrix} x_1 = 4\cos (4\pi t + \frac{\pi}{6})\ (cm)\ \ \ \ \\ x_2 = 4\sqrt{3} \cos (5 \pi t - \frac{\pi }{3})\ (cm) \end{matrix}\right.\)
\(\Delta \varphi = \frac{\pi }{2} - \left ( - \frac{\pi}{3} \right ) = \frac{\pi }{2}\)
\(A = \sqrt{A_{1}^{2} + A_{2}^{2}} = 8 \ (cm)\)
\(\tan \varphi = \frac{4 \sin \frac{\pi}{6} + 4\sqrt{3} \sin -\left ( - \frac{\pi}{3} \right )}{4 \cos \frac{\pi}{6} + 4\sqrt{3} \cos -\left ( - \frac{\pi}{3} \right )} = \frac{-4}{4\sqrt{3}}\)
\(\rightarrow \tan \varphi = -\frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \varphi = -\frac{\pi }{6}\)
\(\rightarrow x = 8\cos (5 \pi t - \frac{\pi }{6})\ (cm)\)
* Tổng hợp dao động điều hòa bằng máy tính
Cài đặt:
\(x = x_1 + x_2 = A\cos (\omega t + \varphi )\)
\(A_1 < \varphi _1 + A_2 < \varphi _2 \ \ \ \ \ Shift \rightarrow 2 \rightarrow 3 \ \ \ = A < \varphi\)
Câu 2: Cho 2 dao động cùng phương, cùng tần số có phương trình \(\left\{\begin{matrix} x_1 = A_1 \cos (\omega t + \frac{\pi }{3})\ (cm)\\ x_2 = A_2 \cos (\omega t - \frac{\pi }{2})\ (cm) \end{matrix}\right.\)
Dao động tổng hợp \(x = x_1 + x_2 = 6\sqrt{3}\cos (\omega t + \varphi )\). Tìm giá trị lớn nhất của A2 khi thay đổi A1?
\(x=x_1 + x_2 \Rightarrow \overrightarrow{A} = \overrightarrow{A_1} + \overrightarrow{A_2}\)
Ta có: \(\frac{A_2}{\sin \alpha } = \frac{A}{\sin \frac{\pi }{6}} \Rightarrow A_2 = \frac{A}{\sin \frac{\pi }{6}}. \sin \alpha\)
\(\Rightarrow A_2 = \frac{6\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}.\sin \alpha = 12\sqrt{3}.\sin \alpha\)
\(\Rightarrow (A_2)_{max} = 12 \sqrt{3}\ (cm) \Leftrightarrow \sin \alpha = 1 \Rightarrow \alpha = \frac{\pi }{2}\)
Biểu diễn một dao động điều hòa bằng một vectơ
Xét dao động \(x = A\cos (\omega t + \varphi )\) được biểu diễn thành vectơ \(\overrightarrow{OM}\)
Với \(\overrightarrow{OM} \left\{\begin{matrix} |\overrightarrow{OM}| = A \ \ \ \ \\ (\overrightarrow{OM},\Delta ) = \varphi \end{matrix}\right.\)
VD: \(x = 5 \cos (2 \pi t + \frac{\pi}{4}) \ (cm)\)
Xét 2 dao động: \(\left\{\begin{matrix} x_1 = A_1 \cos (\omega t + \varphi _1)\\ x_2 = A_2 \cos (\omega t + \varphi _2) \end{matrix}\right.\)
Độ lệch pha: \(\Delta \varphi = (\omega t + \varphi _2) - (\omega t + \varphi _1)\)\(\Rightarrow \Delta \varphi = \varphi _2 - \varphi _1\)
- Nếu \(\Delta \varphi > 0 \Leftrightarrow \varphi _2 > \varphi _1\): x2 sớm pha hơn x1
- Nếu \(\Delta \varphi < 0 \Leftrightarrow \varphi _2 < \varphi _1\): x2 trễ pha hơn x1
Xét 2 dao động cùng phương, cùng tần số: \(\left\{\begin{matrix} x_1 = A_1 \cos (\omega t + \varphi _1)\\ x_2 = A_2 \cos (\omega t + \varphi _2) \end{matrix}\right.\)
Dao động tổng hợp \(x =x_1 + x_2 = A \cos (\omega t + \varphi )\) \(\Rightarrow \overrightarrow{A} = \overrightarrow{A_1} + \overrightarrow{A_2}\ (*)\)
Chiếu (*) lên: \(\left\{\begin{matrix} Ox: A_x = A_{1x} + A_{2x} \\ Oy: A_y = A_{1y} + A_{2y} \end{matrix}\right.\) Với \(A_x = A\cos \varphi ;\ Ay = A\sin \varphi\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} A\cos \varphi = A_1 \cos \varphi _1 + A_2 \cos \varphi _2\\ A\sin \varphi = A_1 \sin \varphi _1 + A_2 \sin \varphi _2 \end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow A = \sqrt{A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + 2A_1A_2\cos (\varphi _2 - \varphi _1)}\)
\(\Rightarrow \tan \varphi = \frac{A_1 \sin \varphi _1 + A_2 \sin \varphi _2}{A_1 \cos \varphi _1 + A_2 \cos \varphi _2}\)
Các trường hợp đặc biệt
\(+\ \Delta \varphi = \varphi _2 - \varphi _1 = k2 \pi\): x1, x2 cùng pha \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} A = A_1 + A_2\\ \varphi = \varphi _1 = \varphi _2 \end{matrix}\right.\)
\(+\ \Delta \varphi = \varphi _2 - \varphi _1 = (2k + 1) \pi\): x1, x2 ngược pha \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} A = |A_1 - A_2| \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \varphi = \varphi _1 \ neu\ A_1 > A_2 \end{matrix}\right.\)
\(+\ \Delta \varphi = (2k + 1) \frac{\pi}{2} \Rightarrow x_1 \perp x_2 \Rightarrow A = \sqrt{A_{1}^{2} + A_{2}^{2}}\)
NHỚ: \(|A_1 - A_2| \leq A \leq A_1 + A_2\)
Câu 1: Tổng hợp các dao động sau:
$a)\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = 2\cos (2\pi t - \pi )}\\ {{x_2} = 3\cos (2\pi t + \pi )} \end{array}} \right.$
$b)\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = 5\cos (\pi t - \frac{\pi }{3})}\\ {{x_2} = \cos (\pi t + \frac{{2\pi }}{3})} \end{array}} \right.$
$c)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = 6\cos 4\pi t\;\;\;\;\;\;\;}\\ {{x_2} = 6\cos (4\pi t + \frac{\pi }{3})} \end{array}} \right.$
$d)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = 4\cos (5\pi t + \frac{\pi }{6})\;\;\;\;}\\ {{x_2} = 4\sqrt 3 \cos (5\pi t - \frac{\pi }{3})} \end{array}} \right.$
Lời giải chi tiết
a/ \(\Delta \varphi = \pi - (- \pi) = 2 \pi\): x1, x2 cùng pha\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} A = A_1 + A_2 = 2 + 3 = 5 \ cm\\ \varphi = \pi ;\ \varphi =- \pi \hspace{2,3cm} \end{matrix}\right.\)
\(\rightarrow x = 5\cos (2 \pi t \pm \pi )\ (cm)\)
b/ \(\Delta \varphi = \frac{2 \pi}{3} - \frac{\pi }{3} = \pi\): x1, x2 ngược pha
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} A = |A_1 - A_2| = |5-1| = 4 \ cm\\ \varphi = \varphi _1 = -\frac{\pi }{3}\ (Vi\ A_1 > A_2) \ \ \ \ \end{matrix}\right.\)
\(\rightarrow x = 4 \cos (\pi t - \frac{\pi}{3}) \ (cm)\)
c/ \(\left\{\begin{matrix} x_1 = 6 \cos 4 \pi t \ (cm) \ \ \ \ \ \ \ \rightarrow \left\{\begin{matrix} A_1 = 6 \ cm\\ \varphi _1 = 0 \ \ \ \ \end{matrix}\right.\\ x_2 = 6 \cos (4 \pi t + \frac{\pi}{3}) \ (cm) \rightarrow \left\{\begin{matrix} A_2 = 6\ cm\\ \varphi _2 = \frac{\pi }{3} \ \ \ \ \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\)
\(\cdot \ A = \sqrt{6^2 + 6^2 + 2.6.6 \cos \frac{\pi}{3}} = 6\sqrt{3}\ cm\)
\(\cdot \ \tan \varphi = \frac{6.\sin 0 + 6. \sin \frac{\pi }{3}}{6. \cos 0 + 6.\cos \frac{\pi }{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{9} = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow \varphi = \frac{\pi }{6}\)
d/ \(\left\{\begin{matrix} x_1 = 4\cos (4\pi t + \frac{\pi}{6})\ (cm)\ \ \ \ \\ x_2 = 4\sqrt{3} \cos (5 \pi t - \frac{\pi }{3})\ (cm) \end{matrix}\right.\)
\(\Delta \varphi = \frac{\pi }{2} - \left ( - \frac{\pi}{3} \right ) = \frac{\pi }{2}\)
\(A = \sqrt{A_{1}^{2} + A_{2}^{2}} = 8 \ (cm)\)
\(\tan \varphi = \frac{4 \sin \frac{\pi}{6} + 4\sqrt{3} \sin -\left ( - \frac{\pi}{3} \right )}{4 \cos \frac{\pi}{6} + 4\sqrt{3} \cos -\left ( - \frac{\pi}{3} \right )} = \frac{-4}{4\sqrt{3}}\)
\(\rightarrow \tan \varphi = -\frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \varphi = -\frac{\pi }{6}\)
\(\rightarrow x = 8\cos (5 \pi t - \frac{\pi }{6})\ (cm)\)
* Tổng hợp dao động điều hòa bằng máy tính
Cài đặt:
- Shift → mode → 4: R
- mode → 2: CMPLX
\(x = x_1 + x_2 = A\cos (\omega t + \varphi )\)
\(A_1 < \varphi _1 + A_2 < \varphi _2 \ \ \ \ \ Shift \rightarrow 2 \rightarrow 3 \ \ \ = A < \varphi\)
Câu 2: Cho 2 dao động cùng phương, cùng tần số có phương trình \(\left\{\begin{matrix} x_1 = A_1 \cos (\omega t + \frac{\pi }{3})\ (cm)\\ x_2 = A_2 \cos (\omega t - \frac{\pi }{2})\ (cm) \end{matrix}\right.\)
Dao động tổng hợp \(x = x_1 + x_2 = 6\sqrt{3}\cos (\omega t + \varphi )\). Tìm giá trị lớn nhất của A2 khi thay đổi A1?
Lời giải chi tiết
Định lý sin: \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\)Ta có: \(\frac{A_2}{\sin \alpha } = \frac{A}{\sin \frac{\pi }{6}} \Rightarrow A_2 = \frac{A}{\sin \frac{\pi }{6}}. \sin \alpha\)
\(\Rightarrow A_2 = \frac{6\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}.\sin \alpha = 12\sqrt{3}.\sin \alpha\)
\(\Rightarrow (A_2)_{max} = 12 \sqrt{3}\ (cm) \Leftrightarrow \sin \alpha = 1 \Rightarrow \alpha = \frac{\pi }{2}\)