Dạng 3: Viết phương trình dao động điều hòa của vật

Để viết phương trình dao động điều hòa có dang \(x = A.cos(\omega t + \varphi )\) thì ta cần:
Bước 1: Tìm A:

• \(\cdot \ A = \frac{\ell_{max} - \ell_{min}}{2} = \frac{\ell}{2}\)
• \(\cdot \ A = \frac{v_{max}}{\omega } = \frac{a_{max}}{\omega ^2} = \sqrt{x^2 + \left ( \frac{v}{\omega } \right )^2}\)

Bước 2: Tìm \(\omega\): \(\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f\)
Lưu ý: Vật thực hiện được n dao động trong thời gian ∆t ⇒ \(T = \frac{\Delta t}{n}\)

Bước 3: Tìm \(\varphi\):

• Tại \(t = 0: \left\{\begin{matrix} x = x_0\\ v_0\ ? \ \ \ \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_0 = A.cos (\omega .0 + \varphi )\\ sin(\omega .0 + \varphi ) \hspace{1,4cm} \end{matrix}\right.\)
• NHỚ: v0 trái dấu với \(sin(\omega .0 + \varphi )\) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} cos \varphi = \frac{x_0}{A} \Rightarrow \varphi = \pm \varphi _0\\ sin\varphi ?\Rightarrow Chon\ \varphi _0 \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\)
• Tại t = t0: =>\(x_0 = A.cos(\omega t + \varphi )\) và v0 (v0 trái dấu với \(sin(\omega t + \varphi )\))

Câu 1[HL]: Vật dao động điều hòa với biên độ bằng 10 cm, chu kì T = 1 s. Viết phương trình đao động của vật biết t = 0 vật đang tại vị trí biên dương?
$\left. \begin{array}{l} \omega = \frac{{2\pi }}{T} = 2\pi \left( {rad/s} \right)\\ A = 10\left( {cm} \right)\\ t = 0 \to x = + 10\left( {cm} \right) \to 10 = 10\cos \left( {\omega .0 + \varphi } \right) \to \varphi = 0 \end{array} \right\} \to x = 10\cos \left( {2\pi t} \right)\left( {cm} \right)$

Câu 2[HL]: Vật dao động trên quỹ đạo dài 8 cm, tần số dao động của vật là f = 10 Hz. Xác định phương trình dao động của vật biết rằng tại t = 0 vật đi qua vị trí x = - 2cm theo chiều âm.
\(\left\{ \begin{array}{l} A = \frac{L}{2} = 4\left( {cm} \right)\\ \omega = 2\pi f = 10\pi \left( {\frac{{rad}}{s}} \right)\\ t = 0 \to \left\{ \begin{array}{l} x = - 2\\ v < 0 \end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l} - 2 = 4\cos \left( {10\pi .0 + \varphi } \right)\\ - 5.8\pi .\sin \left( {10\pi .0 + \varphi } \right) < 0 \end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l} \cos \varphi = \frac{{ - 1}}{2}\\ \sin \varphi > 0 \end{array} \right. \to \varphi = \frac{{2\pi }}{3} \end{array} \right.\)

Câu 3[HL]: Một vật dao động điều hòa có vận tốc cực đại bằng 16 cm/s và gia tốc cực đại 128cm/s2. Chọn gốc thời gian lúc vật có li độ + 1 cm và đang đi về vị trí cân bằng. Lập phương trình dao động
\(\left\{ \begin{array}{l} \left. \begin{array}{l} {v_{\max }} = \omega A\\ {a_{\max }} = {\omega ^2}A \end{array} \right\} \to \omega = \frac{{{a_{\max }}}}{{{v_{\max }}}} = 8\left( {\frac{{rad}}{s}} \right) \to A = \frac{{{v_{\max }}}}{\omega } = 2\left( {cm} \right)\\ t = 0 \to \left\{ \begin{array}{l} x = + 1\left( {cm} \right)\\ v < 0 \end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l} 1 = 2\cos \varphi \\ - 2.8.\sin \varphi < 0 \end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l} \cos \varphi = \frac{1}{2}\\ \sin \varphi > 0 \end{array} \right. \to \varphi = \frac{\pi }{3} \end{array} \right.\)

Câu 4[HL]: Một vật dao động điều hòa thực hiện 50 dao động trong khoảng thời gian 1phút 40 giây. Tại thời điểm t = 1 s thì x = -1,5 cm và v = $ - 1,5\sqrt 3 $ cm. Hãy viết phương trình dao động của vật?
$\left\{ \begin{array}{l} \omega = 2\pi \frac{N}{{\Delta t}} = 2\pi \frac{{50}}{{1.60 + 40}} = \pi \left( {\frac{{rad}}{s}} \right) \to A = \sqrt {{x^2} + {{\left( {\frac{v}{\omega }} \right)}^2}} = 3\left( {cm} \right)\\ t = 1\left( s \right) \to \left\{ \begin{array}{l} x = - 1,5\left( {cm} \right)\\ v = - 1,5\sqrt 3 \left( {cm/s} \right) \end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l} - 15 = 3\cos \left( {\pi .1 + \varphi } \right)\\ - 1,5\sqrt 3 = - 3\pi \sin \left( {\pi .1 + \varphi } \right) \end{array} \right. \to \varphi = \frac{{ - \pi }}{3} \end{array} \right.$

Câu 5[HL]:Một vật dao động điều hòa trên quỹ đạo 16 cm. Trong \(\frac{2}{3}\) phút vật thực hiện được 40 dao động. Chọn gốc tọa độ tại VTCB, gốc thời gian là lúc vật có li độ \(4\sqrt{3}\)(cm) và đang ra xa VTCB. Viết phương trình dao động?
\(\cdot \ \ell = 16cm \rightarrow A = \frac{\ell }{2} = 8cm\)
\(\cdot \ \left\{\begin{matrix} n = 40\ dao \ dong\\ \Delta t = \frac{2}{3}\ phut = 10s \end{matrix}\right. \Rightarrow T = \frac{\Delta t}{n} = 1s\)
\(\Rightarrow \omega = \frac{2\pi}{T} = 2 \pi (\frac{rad}{s})\)
\(t = 0 \left\{\begin{matrix} x = 4\sqrt{3} \hspace{2,5cm}\\ ra \ xa \ VTCB \Rightarrow v > 0 \end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 4\sqrt{3} = 8.cos \varphi \\ v>0 \hspace{1,6cm} \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} cos \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}\\ sin \varphi < 0 \end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} cos \varphi = cos \left ( \frac{\pi}{6} \right ) \Rightarrow \varphi = \pm \frac{\pi}{6}\\ sin \varphi < 0 \Rightarrow Chon\ \varphi = -\frac{\pi}{6} \end{matrix}\right.\)
Vậy \(x = 8.cos (2\pi t - \frac{\pi}{6})(cm)\)

Câu 6[HL]:Một vât dao động điều hòa với tần số 2Hz. Tại thời điểm \(\frac{1}{12}\)s vật có li độ -2,5 cm và vận tốc \(-10\pi \sqrt{3} \ \frac{cm}{s}\). Viết phương trình dao động?
\(\cdot \ f = 2Hz \Rightarrow \omega = 2 \pi f = 4 \pi \frac{rad}{s}\)
\(\cdot \ t = \frac{1}{12}s \left\{\begin{matrix} x= -2,5 cm\\ v = -10 \pi \sqrt{3}\frac{cm}{s} \end{matrix}\right.\)
\(A = \sqrt{x^2 + \left ( \frac{v}{\omega } \right )^2}\)
\(\Rightarrow A = \sqrt{(-2,5)^2 + \left ( \frac{-10\pi \sqrt{3}}{4 \pi } \right )^2} = 5 cm\)
\(\cdot \ t = \frac{1}{12}s \left\{\begin{matrix} x = -2,5\\ v < 0 \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} -2,5 = 5coss(4\pi . \frac{1}{12} + \varphi )\\ v < 0 \hspace{3,5cm} \end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} cos(4 \pi \frac{1}{12} + \varphi ) = - \frac{1}{12}\\ sin (4 \pi \frac{1}{12} + \varphi ) > 0 \ \ \ \end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} cos( \frac{\pi}{3} + \varphi ) = cos (\frac{2\pi}{3})\\ sin (\frac{\pi}{3} + \varphi ) > 0 \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{\pi}{3} + \varphi = \pm \frac{2\pi}{3} \ \ \ \\ sin (\frac{\pi}{3} + \varphi ) > 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow \frac{\pi}{3} + \varphi = \frac{2\pi}{3}\)
\(\Rightarrow \varphi = \frac{\pi}{3}\)
Vậy PTDĐ: \(x = 5.cos(4 \pi t + \frac{\pi}{3})\)