Dạng 11: Năng lượng của vật dao động điều hoà

Một vật dao động điều hòa với biên độ A, tần số góc ω thì

• Phương trình dao động x = Acos(ωt + φ)
• Phương trình vận tốc là v = -ωAsin(ωt + φ)

Khi đó năng lượng dao động của con lắc lò xo gồm thế năng đàn hồi (bỏ qua thế năng hấp dẫn) và động năng chuyển động. Chọn mốc thế năng đàn hồi ở vị trí cân bằng của vật ta có:

• Thế năng đàn hồi: ${{\rm{W}}_t} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2}{\cos ^2}(\omega t + \varphi )$
• Động năng: ${{\rm{W}}_d} = \frac{1}{2}m{v^2}\,\, = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2}{\sin ^2}(\omega t + \varphi )$
• Cơ năng: ${\rm{W}} = {{\rm{W}}_d} + {W_t} = \frac{1}{2}mv_{\max }^2 = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2}$

Câu 1[HL]: Một vật nhỏ khối lượng 100g dao động theo phương trinh x = 8cos10t ( x tính bằng cm; t tính bằng s). Động năng cực đại của vật là:
W = $\frac{1}{2}$ mω$^2$A$^2$ = $\frac{1}{2}$.0,1.10$^2$.0,08$^2$ = 0,032J = 32mJ.

Câu 2[HL]: Một vật có khối lượng 50 g, dao động điều hòa với biên độ 4 cm và tần số góc 3 rad/s. Động năng cực đại của vật là
${{\rm{W}}_{d\left( {\max } \right)}} = W = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} = 3,{6.10^{ - 4}}\left( J \right)$

Câu 3[HL]: Một vật nhỏ có khối lượng 100g dao động điều hòa với chu kì 0,5$\pi $s và biên độ 3cm. Chọn mốc thế năng tại vi trí cân bằng, cơ năng của vật là
\({\rm{W}} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} = \frac{1}{2}m{\left( {\frac{{2\pi }}{T}} \right)^2}{A^2} = \frac{1}{2}.0,1.{\left( {\frac{{2\pi }}{{0,5\pi }}} \right)^2}.0,{03^2} = 7,{2.10^{ - 4}}\left( J \right) = 0,72\left( {mJ} \right).\)

Câu 4[HL]: Một vật nhỏ khối lượng 100g dao động điều hòa với chu kì 0,2 s và cơ năng là 0,18 J (mốc thế năng tại vị trí cân bằng); lấy π$^2$ = 10. Tại li độ 3√2 cm, tỉ số động năng và thế năng là
\(\frac{{{{\rm{W}}_d}}}{{{{\rm{W}}_t}}} = \frac{W}{{{{\rm{W}}_t}}} - 1 = \frac{{0,18}}{{\frac{1}{2}.0,1.{{\left( {10\pi } \right)}^2}{{\left( {3\sqrt 2 {{.10}^{ - 2}}} \right)}^2}}} - 1 = 1,026.\)

Câu 5[HL]: Một vật dao động điều hòa với biên độ A và cơ năng W. Mốc thế năng của vật ở vị trí cân bằng. Khi vật đi qua vị trí có li độ 2A/3 thì động năng của vật là
$\left\{ \begin{array}{l}{W_d} = W - {W_t}\\{\rm{W}} = \frac{{m{\omega ^2}{A^2}}}{2}\\{{\rm{W}}_t} = \frac{{m{\omega ^2}{x^2}}}{2}\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{{\rm{W}}_t}}}{{\rm{W}}} = \frac{{{x^2}}}{{{A^2}}}\\x = \frac{2}{3}A\end{array} \right. \to {{\rm{W}}_t} = \frac{4}{9}{\rm{W}} \to {W_d} = \frac{5}{9}W.$

Câu 6[HL]: Hai con lắc lò xo A và B có cùng khối lượng m ddang dao động điều hòa. Chu kì và biên độ của hai con lắc có mối quan hệ T$_B$ = 3T$_A$ ; A$_B$= 2A$_A$. Tỉ số cơ năng của con lắc B và con lắc A là
\({\rm{W}} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} = \frac{1}{2}m{\left( {\frac{{2\pi }}{T}} \right)^2}{A^2} = 2\frac{{m{\pi ^2}.{A^2}}}{{{T^2}}} \to \frac{{{{\rm{W}}_B}}}{{{{\rm{W}}_A}}} = \frac{{2\frac{{{m_B}{\pi ^2}.A_B^2}}{{T_B^2}}}}{{2\frac{{{m_A}{\pi ^2}.A_A^2}}{{T_A^2}}}} = \frac{{A_B^2}}{{A_A^2}}.\frac{{T_A^2}}{{T_B^2}} = \frac{4}{9}\)