Dạng 1: Tìm ảnh của một hình qua một phép vị tự

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
BÀI TOÁN: TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA MỘT PHÉP VỊ TỰ
Sử dụng định nghĩa và các tính chất của phép vị tự . Từ định nghía nếu tâm vị tự là I(a;b) , điểm M(x;y) điểm M’(x’;y’) thì ta có :
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {IM'} = k\overrightarrow {IM} \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x' - a = k\left( {x - a} \right)}\\ {y' - b = k\left( {y - b} \right)} \end{array}} \right.\\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x' = k\left( {x - a} \right) + a}\\ {y' = k\left( {y - b} \right) + b} \end{array}} \right.\left( * \right) \end{array}$
Chính là biểu thức tọa độ của phép vị tự tâm I tỉ số vị tự là k.

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng d: 3x+2y-6=0 . Hãy viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm I(1;2) tỉ số vị tự k=-2 ?
Giải​
Gọi M(x;y) thuộc d ,M’(x’;y’) là một điểm bát kỳ thuộc d’ thì theo biểu thức tọa độ của phép vị tự ta có :
$\begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x' - 1 = - 2\left( {x - 1} \right)}\\ {y' - 2 = - 2\left( {y - 2} \right)} \end{array}} \right.\\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{{x' - 1}}{{ - 2}} + 1 = \frac{{x' - 3}}{{ - 2}}}\\ {y = \frac{{y' - 2}}{{ - 2}} + 2 = \frac{{y' - 6}}{{ - 2}}} \end{array}} \right. \end{array}$
Thay vào phương trình của đường thẳng d:
$\begin{array}{l} 3\left( {\frac{{x' - 3}}{{ - 2}}} \right) + 2\left( {\frac{{y' - 6}}{{ - 2}}} \right) - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 3{{\rm{x}}^\prime } + 2y' - 9 = 0 \end{array}$
Do vậy d’: 3x+2y-9=0 .

Ví dụ 2 .( Bài 1.23-tr33-BTHH11CB)
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: 2x+y-4=0
a/ Hãy viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm O tỉ số vị tự k=3 .
b/ Hãy viết phương trình đường thẳng d’’ là ảnh của d qua phép vị tự tâm I (-1;2) tỉ số vị tự k=-2
Giải​
a/ Từ công thức tọa độ :
$\begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x' - 0 = 3\left( {x - 0} \right)}\\ {y' - 0 = 3\left( {y - 0} \right)} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{{x'}}{3}}\\ {y = \frac{{y'}}{3}} \end{array}} \right.\\ \Rightarrow 2\left( {\frac{{x'}}{3}} \right) + \left( {\frac{{y'}}{3}} \right) - 4 = 0\\ \Leftrightarrow 2x' + y' - 12 = 0 \end{array}$
Do đó đường thẳng d’: 2x+y-12=0 .

b/ Tương tự :
$\begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x' + 1 = - 2\left( {x + 1} \right)}\\ {y' - 2 = - 2\left( {y - 2} \right)} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{{x' + 1}}{{ - 2}} - 1 = \frac{{x' + 3}}{{ - 2}}}\\ {y = \frac{{y' - 2}}{{ - 2}} + 2 = \frac{{y' - 6}}{{ - 2}}} \end{array}} \right.\\ \Rightarrow 2\left( {\frac{{x' + 3}}{{ - 2}}} \right) + \left( {\frac{{y' - 6}}{{ - 2}}} \right) - 4 = 0\\ \Leftrightarrow 2{{\rm{x}}^\prime } + y' + 8 = 0 \end{array}$
Do đó đường thẳng d’’: 2x+y+8=0 .

Ví dụ 3. ( Bài 1.24-tr33-BTHH11-CB)
Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ): \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 9\). Hãy viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C ) qua phép vị tự tâm I(1;2) tỉ số k=-2 .
Giải​
Đường tròn (C ) có tâm O(3;-1) bán kính R=3. Gọi O’ (x’;y’) là tâm của (C’) ,R’ là bán kính của (C’) . Ta có tọa độ của O’ thỏa mãn biểu thực tọa độ của phép vị tự :
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x' - 1 = - 2\left( {x - 1} \right)}\\ {y' - 2 = - 2\left( {y - 2} \right)}\\ {\frac{{R'}}{R} = 2} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{{x' - 1}}{{ - 2}} + 1 = \frac{{x' - 3}}{{ - 2}}}\\ {y = \frac{{y' - 2}}{{ - 2}} + 2 = \frac{{y' - 4}}{{ - 2}}}\\ {R' = 2.3 = 6} \end{array}} \right.\\ \Rightarrow {\left( {\frac{{x' - 3}}{{ - 2}} - 3} \right)^2} + {\left( {\frac{{y' - 4}}{{ - 2}} + 1} \right)^2} = 9 \end{array}$
\( \Leftrightarrow {\left( {x' + 3} \right)^2} + {\left( {y' - 6} \right)^2} = 36\).
Vậy (C’) : \( \Leftrightarrow {\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} = 36\)

Xem thêm:
 
Sửa lần cuối: