Dạng 4: Tìm ảnh của một hình bằng phép quay và phép đối xứng tâm

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
BÀI TOÁN: TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH BẰNG PHÉP QUAY VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
CÁCH GIẢI​
Sử dụng các định nghĩa , tính chất của phép quay và phép đối xứng tâm cùng với biểu thức tọa độ của chúng.

Ví dụ 1. ( Bài 1-tr15-HH11CB)
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(-1;3) và đường thẳng d có phương trình : x-2y+3=0 . Tìm ảnh của A và d qua phép đối xứng tâm O
Giải​
- Gọi A’(x;y) là ảnh của A qua phép đối xứng tâm O(0;0) . Theo công thức tọa độ của phép đối xứng ta có :
\(\left\{ \begin{array}{l}x' = 0 - x\\y' = 0 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - x'\\y = - y'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 1\\y' = - 3\end{array} \right. \Rightarrow A' = \left( {1; - 3} \right)\)
- Tương tự Gọi M(x;y) là một điểm bất kỳ thuộc d và M’(x’;y’) là một điểm bất kỳ thuộc d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O . Theo công thức tọa độ của phép đối xứng ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}x' = 0 - x\\y' = 0 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - x'\\y = - y'\end{array} \right. \Rightarrow \left( { - x'} \right) - 2\left( { - y'} \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow x' - 2y' - 3 = 0\). Do đó d’ có phương trình là : x-2y-3=0 .

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (O;R) : \({x^2} + {y^2} + 2{\rm{x}} - 6y + 6 = 0\)và (E) : \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) điểm I(1;2) . Tìm ảnh của (O;R) và (E’) qua phép đối xứng tâm I
Giải​
Gọi M(x;y) là điểm bất kỳ thuộc (O;R) và (E) . Từ công thức chuyển trục ta có :
\(\left\{ \begin{array}{l}x' = 2.1 - x\\y' = 2.2 - y\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - x'\\y = 4 - y'\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {2 - x'} \right)^2} + {\left( {4 - y'} \right)^2} + 2\left( {2 - x'} \right) - 6\left( {4 - y'} \right) + 6 = 0\\\frac{{{{\left( {2 - x'} \right)}^2}}}{9} + \frac{{{{\left( {4 - y'} \right)}^2}}}{4} = 1\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 6{\rm{x}} - 2y + 6 = 0\\\frac{{{{\left( {2 - x} \right)}^2}}}{9} + \frac{{{{\left( {4 - y} \right)}^2}}}{4} = 1\end{array} \right.\)
*Chú ý : (O;R) : \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow J( - 1;6),R = 2\).
Ta chỉ tìm J’(x;y) là ảnh của J qua phép đối xứng tâm I(1;2) bằng công thức chuyển trục tọa độ : \(\left\{ \begin{array}{l}x' = 2 - ( - 1)\\y' = 4 - (3)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 3\\y' = 1\end{array} \right. \Rightarrow J' = \left( {3;1} \right)\) .
Do đó (O’) : \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\) là ảnh của (O;R) qua phép đối xứng tâm I .

Ví dụ 3.( Bài 1.13-BTHH11CB)
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: x-2y+2=0 và d’: x-2y-8=0 . Tìm phép đối xứng tâm biến d thành d’ và biến trục Ox thành chính nó .
Giải​
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì ta làm như sau :
- Gọi M(x’y) thuộc d , M’(x’;y’) thuộc d’ . Giả sử tâm đối xứng là I(a;b) , thì theo công thức chuyển trục : \(\left\{ \begin{array}{l}x' = 2{\rm{a}} - x\\y' = 2b - y\end{array} \right. \Rightarrow \left( {2{\rm{a}} - x} \right) - 2\left( {2b - y} \right) - 8 = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 4b - 2{\rm{a}} + 8 = 0\).
- Để trục Ox thành chính nó thì tâm đối xứng phải có dạng : I(a;0) tức là b=0
- Từ hai kết quả trên ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}4b - 2{\rm{a}} + 8 = 2\\b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 0\end{array} \right. \Rightarrow I = \left( {3;0} \right)\).

Ví dụ 4. ( Bài 1.14 –tr-21-BTHH11CB)
Cho ba điểm không thẳng hàng I,J,K . Hãy dựng tam giác ABC nhận I,J,K lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,CA,AB .
Giải​
- Phân tích : Giả sử tam giác ABC đã dựng xong thỏa mãn điều kiện đầu bài . Vì I,J,K là trung diểm cho nên Ị là đường trung bình suy ra Ị=KB , tương tự KJ=IC . Từ đó suy ra cách dựng :
+/ Tìm điểm P là ảnh của J qua phép đối xứng tâm I
+/ Kẻ Px //KJ và đặt PQ=KJ . Từ Q kẻ Qy //Ị và đặt QC=IP.
+/ Tìm B đối xứng với C qua I và A đối xứng với B qua K . Như vậ tam giác ABC đã dựng xong .
* Chú ý : Ngoài cách trên ta còn có cách khác như sau
+/ Lấy một điểm N bất kỳ . Tìm các điểm M đối xứng với N qua I , P đối xứng với N qua J và Q đối xứng với P qua K . ( Vẽ hình )
+/ Từ đó suy ra : \(\overrightarrow {CM} = - \overrightarrow {BN} = \overrightarrow {AP} = - \overrightarrow {CQ} \). Do đó C là trung điểm của MQ . Từ đó suy ra cách dựng .

Ví dụ 5 ( Bài 1-tr19-HH11NC)
Cho hình vuông ABCD
a/ Tìm ảnh của điểm C qua phép quay tâm A góc quay \({90^0}\)
b/ Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm O góc quay \({90^0}\).
Giải​
a/ Từ hình vẽ ta thấy ảnh của C qua phép quay tâm A góc\({90^0}\) là C’ hoặc C’’ sao cho các tam giác ACC’ và ACC’’ là các tam giác vuông cân
b/ Ta nhận thấy ảnh của C qua phép quay tâm O góc quay \({90^0}\) là B hoặc D . Còn ảnh của B qua phép quay tâm O góc quay \({90^0}\) là A hoặc C , do đó ảnh của BC là AB hoặc DC .

Ví dụ 6 .( Bài 2-tr19-HH11-NC) .
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A (2;0) và đường thẳng d : x+y-2=0 . Tìm ảnh của điểm A và d qua phép quay tâm O góc quay \({90^0}\).
Giải​
- Vẽ hình . Từ hình vẽ ta thấy A thuộc d . Ảnh của A qua phép quay tâm O góc quay \({90^0}\). Là B(0;-2) hoặc B’(0;2) . Điểm B’ có ảnh qua phép quay là A(2;0) hoặc A’(-2;0)
- Vì B’ và A nằm trên d cho nên ảnh của d qua phép quay này sẽ là (AB) hoặc (A’B’) lần lượt có phưng trình : \(\frac{x}{2} - \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow x - y - 2 = 0;\quad \frac{{ - x}}{2} + \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow x - y + 2 = 0\).