Dạng 3: Tìm điểm đối xứng với một điểm qua một đường thẳng

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Bài toán: Cho điểm A(x;y) và một đường thẳng d : ax+by+c=0 . Tìm tọa độ điểm B đối xứng với điểm A qua đường thẳng d ?
Cách giải​
Bước 1: Gọi B(x’;y’) là điểm đối xứng với A qua d và H là trung điểm của AB thì điều kiện : \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow U = 0\quad \left( 1 \right)\\H \in d\quad \quad \left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Bước 2: Giải hai điều kiện (1) và (2) suy ra tọa độ của B

Ví dụ 1. Cho điểm M(2;3) tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua đường thẳng d : y=x
Giải​
- Gọi N(x;y) là điểm đối xứng với M qua d và H là trung điểm của MN thì M,N đối xứng nhau qua d thì điều kiện là : \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow U = 0\quad \left( 1 \right)\\H \in d\quad \quad \left( 2 \right)\end{array} \right.\)
- Ta có : \(\overrightarrow {MN} = \left( {x - 2;y - 3} \right)\quad \overrightarrow U = \left( {1;1} \right)\quad H = \left( {\frac{{x + 2}}{2};\frac{{y + 3}}{2}} \right)\).
- Điều kiện (*) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 2} \right).1 + \left( {y - 3} \right).1 = 0\\\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y + 3}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 5\\x = y + 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2\\x = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow N = \left( {3;2} \right)\)

Ví dụ 2. Cho điểm M(2;-3) . Tìm ảnh của điểm M qua phép đối xứng trục d: y-2x=0
Giải​
- Gọi N(x;y) là điểm đối xứng với M qua d và H là trung điểm của MN thì M,N đối xứng nhau qua d thì điều kiện là : \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow U = 0\quad \left( 1 \right)\\H \in d\quad \quad \left( 2 \right)\end{array} \right.\)
- Ta có : \(\overrightarrow {MN} = \left( {x - 2;y + 3} \right)\quad \overrightarrow U = \left( {1;2} \right)\quad H = \left( {\frac{{x + 2}}{2};\frac{{y - 3}}{2}} \right)\).
- Điều kiện (*) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 2} \right).1 + \left( {y + 3} \right).2 = 0\\\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 3}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y + 4 = 0\\y = x + 5\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{1}{3}\\x = - \frac{{14}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow N = \left( { - \frac{{14}}{3};\frac{1}{3}} \right)\)