Dạng 2: Sử dụng phép vị tự để giải các bài toán hình học

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
BÀI TOÁN: Sử dụng phép vị tự để giải các bài toán hình học
Để xác định một điểm M ta xem nó như là ảnh của một điểm A nào đó đã biết qua phép vị tự , hoặc xem M như là giao của của một đường cố định với ảnh của một đường đã biết qua một phép vị tự.

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có hai góc B,C đều nhọn . Dựng hình chữ nhật DEEG có EF=2DE với hai đỉnh D,E nằm trên BC và hai đỉnh F,G nẵm trên hai cạnh AC và AB .
Giải​
- Vẽ hình ( đã thỏa mãn yêu cầu bài toán ).
* Phân tích : + Giả sử hình chữ nhật đã dựng xong , trên AB lấy một điểm G’ bất kỳ , dựng hình chữ nhật G’F’E’F’ có E’F’=2D’E’ và hai đỉnh D’,E’ thuộc BC , nối BF’ cắt AC tại F , khi đó ta có : \(\frac{{BG}}{{BG'}} = \frac{{G{\rm{D}}}}{{G{\rm{D}}'}} = \frac{{2GF}}{{2G'F'}} = \frac{{GF}}{{G'F'}}\). Chứng tỏ B,F’F thẳng hàng .Ta có thể xem hình chữ nhật DEFG là ảnh của hình chữ nhật D’E’F’G’ qua phép vị tự tâm B tỉ số vị tự : \(\frac{{BG}}{{BG'}} = k\). Từ đó suy ra cách dựng .
* Cách dựng :
- Lấy điểm G’ tùy ý trên AB , sau đó dựng hình chữ nhật G’F’E’D’ có E’F’=2 D’E’, hai đỉnh D’E’ nẵm trên BC .
- Nối BF’ cắt AC tại F , đường thẳng qua F song song với BC cắt AB tại G . Gọi D và E là hình chiếu của G và F trên BC . Thì hình chữ nhật DEFG là hình chữ nhật cần dựng
* Chứng minh :
Thật vậy : Vì GF //G’F’ , GD//G’D’ nên : \(\frac{{GF}}{{G'F'}} = \frac{{BG}}{{BG'}} = \frac{{G{\rm{D}}}}{{G'D'}}.\)Từ đó suy ra :
\(\frac{{G{\rm{D}}}}{{GF}} = \frac{{G'D'}}{{G'F'}} = 2\). Như vậy hình chữ nhật đã dựng thỏa mãn yêu cầu bài toán .

Ví dụ 2. ( Bài 1.25-tr33-BTHH11CB).
Cho nửa đường tròn đường kính AB . Hãy dựng hình vuông có hai đỉnh nằm trên nửa đường tròn , hai đỉnh còn lại nằm trên đường kính AB của nửa đường tròn đó .
Giải​
Vẽ hình , từ hình vẽ ta có các bước sau .
* Phân tích .
Giả sử hình vuông MNPQ đã dựng xong thỏa mãn yêu cầu bài toán ( với M,N nẵm trên AB , còn P,Q nằm trên nửa đường tròn ).Gọi O là trung điểm của AB
Nối OQ và OP, dựng hình vuông M’N’P’Q’ sao cho M’,N’ nằm trên AB và O là trung điểm của M’N’ . Khi đó ta có :
\( \Leftrightarrow \frac{{OQ}}{{OQ'}} = \frac{{OP}}{{OP'}} = \frac{{PQ}}{{P'Q'}} = k\). Ta xem như MNPQ là ảnh của M’N’P’Q’ qua phép vị tự tâm O tỉ số k=\(\frac{{PQ}}{{P'Q'}}\). Từ đó suy ra :
* Cách dựng .
- Dựng hình vuông M’N’P’Q’ ( có M’N’ thuộc AB và O là trung điểm của M’N’ )
- Nối OP’ và OQ’ chúng cắt (O,AB) tại P và Q
- Hình chiếu của P và Q trên AB là N và M . Khi đó MNPQ chính là hình vuông cần dựng .
* Chứng minh : Do M’N’P’Q’ là hình vuông , cho nên M’N’//AB . Tam giác OM’N’ đồng dạng với tam giác OPQ suy ra : \(\frac{{PQ}}{{P'Q'}} = \frac{{OP}}{{OP'}} = \frac{{OQ}}{{OQ'}} = k = \frac{{PN}}{{P'N'}} = \frac{{QM}}{{Q'M'}}\).

Ví dụ 3. ( Bài 1.26-tr33-BTHH11CB).
Cho góc nhọn Oxy và điểm C nằm trong góc đó . Tìm trên Oy một điểm A sao cho khoảng cách từ A đến trục Ox = AC .
Giải​
- Vẽ hình . Căn cứ vào hình vẽ ta có phân tích sau
* Phân tích : Gọi B là hình chiếu của A trên Ox . theo đầu bài thì tam giác ABC là tam giác cân đỉnh A ( AB=AC ) . Giả sử tam giác A’B’C là một tam giác cân đỉnh là A’ có A’B’ vuông góc với Ox . Dễ dàng nhận thấy hai tam giác này đồng dạng vì thế ta có :
\(\frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{OC}}{{OC'}} = k = \frac{{AB}}{{A'B'}}\). Ta coi tam giác ABC là ảnh của tam giác A’B’C’ qua phép vị tự tâm OP tỉ số vị tự là k . Từ đó suy ra cách dựng :
* Cách dựng :
- Nối OC , sau đó trên Oy lấy điểm A’ , tìm B’ là hình chiếu của A’ trên Ox ( kẻ A’B’ vuông góc với Ox) .
- Dùng com pa lấy A’ làm tâm , quay cung tròn có bán kính bằng A’B’ cắt OC tại C’ .
- Từ C kẻ hai đường thẳng song song với hai cạnh A’C’ và C’B’ chúng cắt hai cạnh Oy và Ox tại A và B . Tam giác ABC là tam giác cần tìm
* Chứng minh : Giống cách phân tích

Ví dụ 4. ( Bài tập O.11-tr76-BTHH10 –T6-2000)
Cho tam giác nhọn ABC . Hãy dựng hình vuông MNPQ sao cho M,N nằm trên cạnh BC , P,Q nằm trên hai cạnh còn lại của tam giác .
Giải​
- Vẽ hình . Từ hình vẽ ta có cách phân tích :
Gọi một hình vuông M’N’P’Q’ có cạnh M’N’ thuộc BC và M’N’=N’P’=P’Q’=Q’M’ và bằng a cố định Nếu ta coi hình vuông MNPQ là ảnh của một phép vị tự tâm B với tỉ số vị tự nào đó thì : \(\frac{{PQ}}{{P'Q'}} = \frac{{PM}}{{P'N'}} \Leftrightarrow \frac{{PQ}}{{PM}} = \frac{{P'Q'}}{{P'N'}} = 1 \Rightarrow PQ = PM\). Suy ra cách dựng .
- Trên AB lấy một điểm Q’ bất kỳ , kẻ đường thẳng qua Q’ vuông góc với BC cắt BC tại M’ . Sau đó đặt M’N’=A’M’ , dựng hình vuông M’N’P’Q’ .
- Nối BP’ cắt AC tại P , kẻ hai đường thẳng qua P // với N’P’ và M’N’ chúng cắt BC và AB tại N và Q . Cuối cùng kẻ qua Q một đường thẳng vuông góc với BC cắt BC tại M ta được hình vuông MNPQ cần dựng .
* Chú ý : Ta còn có cách khác .
- Dựng hình vuông BCM’N’ nằm ngoài tam giác ABC . Gọi B’C’ lần lượt là giao của AB và AC với M’N’ . Như vậy phép vị tự tâm A tỉ số vị tự : k=\(\frac{{AB}}{{AB'}}\) biến tam giác AB’C’ thành tam giác ABC , Cho nên biến hình vuông BCPQ thành hình vuông MNPQ cần tìm .
Vì thế ta chỉ cần kẻ qua B’ và C’ hai đường thẳng vuông góc với BC chúng cắt các cạnh Ac và AB tại các điểm P và Q , cắt BC tại N và M . Hình vuông MNPQ tìm được

Ví dụ 5. Gọi A là giao hai đường đường tròn cắt nhau O và O’ Hãy dựng qua A một đường thẳng cắt hai đường tròn tại B và C sao cho AC=2AB
Giải​
Vẽ hình minh họa . Từ hình vẽ ta có phân tích sau
- Từ giả thiết , ta có : \(\overrightarrow {AC} = - 2\overrightarrow {AB} \Rightarrow V_A^{ - 2}:B \to C\). Như vậy phép vị tự tâm A đã biến B thành C . Từ đó ta có cách dựng :
- Dựng đường tròn ảnh của đường tròn (O) qua phép vị tự tâm A tỉ số k=-2. Giao của đường tròn ảnh với đường tròn (O’) là C . Đường thẳng AC chính là đường thẳng d cần dựng .
- Chứng minh : Do C là ảnh của B qua phép vị tự tâm A tỉ số k=-2 cho nên AC=2AB .

Ví dụ 6. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A( có bán kính khác nhau ) .Một điểm M nằm trên đường tròn (O) . Dựng đường tròn đi qua M và tiếp xúc với O và O’.
Giải​
- Vẽ hình minh họa cho học sinh . Từ đó có phân tích ..
- Gọi S là tâm vị tự ngoài của (O) và (O’) ,N là ảnh của M qua phép vị tự tâm S M’ là giao điểm thứ hai của AN với (O’) , Gọi O’’ là giao của OM với O’M’ ( Chú ý : OM//O’N ) ta có : \(\frac{{O''M}}{{O'N}} = \frac{{O''M'}}{{M'O'}}\left( {O'N = O'M'} \right)\)nên O’’M=O’’M’ . Chứng tỏ (O’’) tiếp xúc với (O) và (O’) tại M và M’ .
- Cách dựng : Tìm tâm S ( kẻ tiếp tuyến chung của O và O’ cắt OO’ tại S .
Nối SA cắt (O’) tại N và M’. O’ chính là giao của OM với O’M’ .