Toán 11 Dạng 2: Tìm điểm M thuộc d sao cho MA + MB nhỏ nhất

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
BÀI TOÁN: TÌM ĐIỂM CHO ĐƯỜNG THẲNG d VÀ HAI ĐIỂM A,B. TÌM ĐIỂM M THUỘC d SAO CHO MA+MB NHỎ NHẤT. ( Khi A,B là hai điểm nằm về một phía của d ), \(\left| {MA - MB} \right|\) ĐẠT GIÁ TRỊ LỚN NHẤT( A,B nằm về hai phía của d )
Cách giải​
  • Bước 1: Tìm điẻm A’ đối xứng với A qua đường thẳng d
  • Bước 2: Nối A’B , đường thẳng này cắt d tại M . Là điểm cần tìm
  • Bước 3: Chứng minh M là điểm duy nhất .

Ví dụ 1. (Bài 9-tr13- HH11NC)
Cho góc nhọn xOy và một điểm A nằm trong góc đó . Hãy tìm điểm B trên Ox , điểm C trên Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất .
Giải​
- Tìm A’ đối xứng với A qua Oy , B’ đối xứng với A qua Ox
- Nối A’B’ cắt Ox tại B , cắt Oy tại C . Đó chính là hai điểm cần tìm
- Chứng minh B,C là hai điểm duy nhất cần tìm .
Thật vậy : Do A’ đối xứng với A qua Oy , cho nên CA=CA’ (1) . Mặt khác : B’ đối xứng với A qua Ox cho nên ta có BA=BB’ (2) . Gọi P là chu vi tam giác ABC thì P=CA+CB+BA =CA’+CB+BB’=A’B’ ( do từ (1) và (2) ).

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d và hai điểm A,B nằm cùng phía với d . Tìm điểm M trên d sao cho MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất ?
Giải​
- Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d
- Nối A’B cắt d tại M . M chính là điểm cần tìm .
- Thật vậy : Vì A’ đối xứng với A qua d cho nên MA=MA’ (1). Do đó : MA+MB=MA’+MB=A’B .
- Giả sử tồn tại M’ khác M thuộc d thì : M’A+M’B=M’A’+M’B\( \ge A'B\). Dấu bằng chỉ xảy ra khi A’M’B thẳng hàng . Nghĩa là M trùng với M’ .

Ví dụ 3. Cho đường thẳng d và hai điểm A,B ( nằm về hai phía của d ). Tìm điểm M trên d sao cho \(\left| {MA - MB} \right|\) đạt GTLN .
Giải​
- Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua d
- Nối A’B cắt d tại M . M chính là điểm cần tìm .
- Thật vậy : \(\left| {MA - MB} \right| = \left| {MA' - MB} \right| = A'B\). Giả sử tồn tại một điểm M’ khác với M trên d , khi đó : \(\left| {M'A - M'B} \right| = \left| {M'A' - M'B} \right| \le A'B\). Dấu bằng chỉ xảy ra khi M’A’B thẳng hàng , nghĩa là M trùng với M’.

Ví dụ 4. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) và một đường thẳng d
a/ Hãy tìm hai điểm M và M’ lần lượt nằm trên hai đường tròn đó sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’
b/ Hãy xác định điểm I trên d sao cho tiếp tuyến IT với (O;R) và tiếp tuyến IT’ với (O’;R’) tạo thành một góc TIT’ nhận đường thẳng d là đường phân giác trong hoặc ngoài.
Giải​
Vẽ hình :
a/ Giả sử M nằm trên (O;R) và M’ nằm trên (O’;R’) tỏa mãn yêu cầu bài toán
- Vì d là trung trực của MM’ cho nên M’ nằm trên đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (O;R) qua phép đối xứng trục d . Mặt khác M’ lại nằm trên (O’;R’) do vậy M’ là giao của (C’) với (O’;R’)
- Từ đó suy ra cách tìm :
Tìm hai đường tròn ảnh của hai đường tròn đã cho qua phép đối xứng trục d ( Lần lượt là (C’) và (C’’)
Hai đường tròn này cắt hai đường tròn đã cho tại \({M_1},{M_2}\). Sau đó kẻ hai đường thẳng d’’ và d’’’ qua \({M_1},{M_2}\) cắt (O;R) và (O’;R’) tại \(M{'_1};M{'_2}\)
Các điểm cần tìm là \(\left( {{M_1}M{'_1}} \right)\) và \(\left( {{M_2}M{'_2}} \right)\)

b/ Nếu MT và MT’ nhận d là phân giác trong hoặc ngoài của góc TIT’ thì MT và MT’ đối xứng nhau qua d . Từ đó suy ra cách tìm :
- Gọi d’ là ảnh của MT qua phép đối xứng d nghĩa là d’ là tiếp tuyến của đường tròn (C ) là ảnh của (O;R) qua phép đối xứng trục d. Mặt khác d’ là tiếp tuyến của (O’;R’) . Cho d’ là tiếp tuyến chung của (C ) với (O’;R’) . Từ đó ta suy ra cách tìm M :
Tìm (C ) là ảnh của (O;R) qua phép đối xứng trục d
Kẻ d’ là tiếp tuyến chung của (C ) và (O’;R’) . Khi đó d’ cắt d tại M . Chính là điểm cần tìm .
Tương tự áp dụng cho (O’;R’)
Số nghiệm hình bằng số giao điểm của các tiếp tuyến chung cắt d .