Tính tổng S = a + b + c

Nguyên hàm | tích phân | nguyên hàm và tích phân |
Tính Nguyên Hàm Và Tích Phân Bằng Phương Pháp đổi Biến Số
Biết rằng \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{co{s^3}x + {\mathop{\rm sinx}\nolimits} }}{{{\mathop{\rm sinx}\nolimits} }}} dx = a.\pi + b + c\ln 2\left( {a,b,c \in \mathbb{Q}} \right)\). Tính tổng S = a + b + c.
A. \(S = \frac{{23}}{{24}}.\)
B. \(S = 1.\)
C. \(S = \frac{{13}}{{24}}.\)
D. \(S = \frac{7}{{24}}.\)

\(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{co{s^3}x + {\mathop{\rm sinx}\nolimits} }}{{{\mathop{\rm sinx}\nolimits} }}} dx = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\frac{{{{\cos }^3}x}}{{\sin x}} + 1} \right)dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\cos }^3}x}}{{\sin x}}dx} + \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {dx} = \frac{\pi }{3} + \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\cos }^3}x}}{{\sin x}}dx} \)
Tính tích phân \(I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\cos }^3}x}}{{\sin x}}dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)\cos x}}{{\sin x}}dx} \)
Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\\x = \frac{\pi }{6} \Rightarrow t = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)
Vậy: \(I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{{(1 - {t^2})}}{t}} dt = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{1}{t}} dt - \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 t dt = \left. {\ln \left| t \right|} \right|_{\frac{1}{2}}^1 - \left. {\frac{1}{2}{t^2}} \right|_{\frac{1}{2}}^1 = - \ln \left( {\frac{1}{2}} \right) - \frac{3}{8} = \ln 2 - \frac{3}{8}\)
Vậy: \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{co{s^3}x + {\mathop{\rm sinx}\nolimits} }}{{{\mathop{\rm sinx}\nolimits} }}} dx = \frac{1}{3}\pi - \frac{3}{8} + \ln 2\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{3}\\b = - \frac{3}{8},c = 1\end{array} \right. \Rightarrow S = \frac{{23}}{{24}}.\)