Tóm tắt công thức nguyên hàm

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
I. Khái niệm nguyên hàm
  • Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu: $F'(x)=f(x)$, ∀x ∈ K
  • Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là: $\int{f(x)}dx=F(x)+C$, C ∈ R.
  • Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
II. Tính chất
  • $\int{f'(x)}dx=f(x)+C$
  • $\int{\left[ f(x)\pm g(x) \right]}dx=\int{f(x)}dx\pm \int{g(x)}dx$
  • $\int{kf(x)}dx=k\int{f(x)}dx(k\ne 0)$
III. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

1) $\int{k.dx=k.x+C}$

2) $\int{{{x}^{n}}dx=\frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}+C}$

3) $\int{\frac{1}{{{x}^{2}}}dx=-\frac{1}{x}+C}$

4) $\int{\frac{1}{x}dx=\ln \left| x \right|+C}$

5) $\int{\frac{1}{{{(ax+b)}^{n}}}dx=-\frac{1}{a(n-1){{(ax+b)}^{n-1}}}+C}$;

6) $\int{\frac{1}{(ax+b)}dx=\frac{1}{a}\ln \left| ax+b \right|+C}$

7) $\int{\sin x.dx=-\cos x+C}$

8) $\int{\cos x.dx=\sin x+C}$

9) $\int{\sin (ax+b)dx=-\frac{1}{a}\cos (ax+b)+C}$

10) $\int{\cos (ax+b)dx=\frac{1}{a}\sin (ax+b)+C}$

11) $\int{\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}dx=\int{(1+}t{{g}^{2}}x).dx=tgx+C}$

12) $\int{\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}dx=\int{\left( 1+\cot {{g}^{2}}x \right)dx=}-\cot gx+C}$

13) $\int{\frac{1}{{{\cos }^{2}}(ax+b)}dx=\frac{1}{a}tg(ax+b)+C}$

14) $\int{\frac{1}{{{\sin }^{2}}(ax+b)}dx=-\frac{1}{a}\cot g(ax+b)+C}$

15) $\int{{{e}^{x}}dx={{e}^{x}}+C}$ 16) $\int{{{e}^{-x}}dx=-{{e}^{-x}}+C}$

17) $\int{{{e}^{(ax+b)}}dx=\frac{1}{a}{{e}^{(ax+b)}}+C}$

18) $\int{{{(ax+b)}^{n}}.dx=\frac{1}{a}.\frac{{{(ax+b)}^{n+1}}}{n+1}+C}$ (n$\ne $1)

19) $\int{{{a}^{x}}dx=\frac{{{a}^{x}}}{\ln a}+C}$ 20) $\int{\frac{1}{{{x}^{2}}+1}dx=arctgx+C}$

21) $\int{\frac{1}{{{x}^{2}}-1}dx=\frac{1}{2}\ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right|+C}$

22) $\int{\frac{1}{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}dx=\frac{1}{a}arctg\frac{x}{a}+C}$

23) $\int{\frac{1}{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}dx=\frac{1}{2a}\ln \left| \frac{x-a}{x+a} \right|+C}$

24) $\int{\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx=\arcsin x+C}$

25) $\int{\frac{1}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}dx=\arcsin \frac{x}{a}+C}$

26) $\int{\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}\pm 1}}dx=\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}\pm 1} \right|+C}$

27) $\int{\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}\pm {{a}^{2}}}}dx=\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}\pm {{a}^{2}}} \right|+C}$

28) $\int{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}dx=\frac{x}{2}\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}+\frac{{{a}^{2}}}{2}\arcsin \frac{x}{a}+C}$

29) $\int{\sqrt{{{x}^{2}}\pm {{a}^{2}}}dx=\frac{x}{2}\sqrt{{{x}^{2}}\pm {{a}^{2}}}\pm \frac{{{a}^{2}}}{2}\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}\pm {{a}^{2}}} \right|+C}$