Toán 12 Nguyên hàm và bảng công thức tính nhanh

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Nguyên hàm của f(x) là một hàm F(x) có đạo hàm bằng f(x), nghĩa là, F′(x) = f(x).
  • Kí hiệu: $\int {f(x)dx} $
  • Vậy ta viết: $\int {f(x)dx} $ = F(x) + C ⇔ F '(x) = f(x)
1. TÍNH CHẤT
  • $\int {f'(x)} dx = f(x) + C$
  • $\int {\left[ {f(x) \pm g(x)} \right]} dx = \int {f(x)} dx \pm \int {g(x)} dx$
  • $\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} $ với k ≠ 0
2. ĐỊNH LÝ 1: Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng I. Khi đó:
  • Với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x).
  • Ngược lại, nếu G(x) là một nguyên hàm bất kì của f(x) thì tồn tại hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc I.
3. ĐỊNH LÝ 2: Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó.

4. MỘT SỐ HÀM SỐ NGUYÊN HÀM THƯỜNG GẶP
cong-thuc-tinh-nguyen-ham-png.2278


5. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lí sau:

Định lí: Giả sử u = u(x) là một hàm số có đạo hàm liên tục trên I sao cho hàm số hợp f[u(x)] xác định trên I. Khi đó, ta có:$\int {f\left[ {u\left( x \right)} \right].u'\left( x \right)dx} = F\left[ {u\left( x \right)} \right] + C\,\left( 1 \right)$ ở đó F(u) là một nguyên hàm của f(u).

Nhận xét rằng: u = u(x) ⇒ du = u'(x)dx và f[u(x)].u'(x)dx = f(u)du do đó, công thức (1) được viết gọn dưới dạng: $\[\int {f(u)du} $\] = F(u) + C. Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) bằng phương pháp đổi biến ta thực hiện theo các bước sau:
  • Bước 1: Chọn u = u(x), trong đó u(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp, rồi xác định x = φ(u) (nếu có thể).
  • Bước 2: Xác định vi phân dx = φ’(u)du.
  • Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo u và du. Giả sử rằng f(x)dx = g(u)du.
  • Bước 4: Khi đó: $\int {f\left( x \right)dx = } \int {g\left( u \right)du} $
Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là

DẤU HIỆU

CÓ THỂ CHỌN

Hàm có mẫu số

u là mẫu số

Hàm f(x, $\sqrt {\varphi (x)} $)

u = φ(x) hoặc u = $\sqrt {\varphi (x)} $

Hàm f(x) =\(\frac{1}{{\sqrt {(x + a)(x + b)} }}\)

⇒Với x + a > 0 và x + b > 0, đặt: u = $\sqrt {x + a} $ + $\sqrt {x + b} $
⇒ Với x + a < 0 và x + b < 0, đặt: u = $\sqrt { - x - a} $ + $\sqrt { - x - b} $

Hàm f(x)=\(\frac{{a.\sin x + b.\cos x}}{{c.\sin x + d.\cos x + e}}\)

u = tan$\frac{x}{2}$ (với cos$\frac{x}{2}$ ≠ 0)



6. PHƯƠNG PHÁP LẤY NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
Cơ sở của phương pháp là định lí sau:

Định lí: Nếu u(x), v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I thì: $\int {u\left( x \right)v'\left( x \right)dx} = u\left( x \right).v\left( x \right) - \int {v\left( x \right)u'\left( x \right)dx} $ hoặc viết $\int {u.dv} = uv - \int {v.du} $.

Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) bằng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần ta thực hiện theo các bước sau:
  • Bước 1: Biến đổi: $\int {f\left( x \right)dx} = \int {f\left( {{x_1}} \right).f\left( {{x_2}} \right)dx} $.
  • Bước 2: Đặt: $\left\{ \begin{array}{l} u = {f_1}(x)\\ dv = {f_2}(x)dx \end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l} du\\ v \end{array} \right.$
  • Bước 3: Khi đó: $\int {f\left( x \right)} dx = uv - \int v du$.
Lưu ý: Khi sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm chúng ta cần tuân thủ các nguyên tắc sau:
  • a. Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng.
  • b. Tích phân bất định $\int {vdu} $ được xác định một cách dễ dàng hơn so với tích phân ban đầu.

Xem thêm bài tập trắc nghiệm
 
Sửa lần cuối:

Bình luận bằng Facebook