Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = 3.\) Tính ...

Nguyên hàm | tích phân | nguyên hàm và tích phân |
Tính Nguyên Hàm Và Tích Phân Bằng Phương Pháp đổi Biến Số
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = 3.\) Tính \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( {\left| {2{\rm{x}}} \right|} \right)d{\rm{x}}} .\)
A. 3
B. 6
C. \(\frac{3}{2}.\)
D. 0

Ta có: \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left| {2{\rm{x}}} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left| {2{\rm{x}}} \right|dx} + \int\limits_0^1 {f\left| {2{\rm{x}}} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( { - 2{\rm{x}}} \right)dx} + \int\limits_0^1 {f\left( {2{\rm{x}}} \right)dx} .\)
\(t = - 2{\rm{x}} \Rightarrow dt = - 2{\rm{dx}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1,t = 2\\x = 0,t = 0\end{array} \right. \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( { - 2{\rm{x}}} \right)dx} = - \frac{1}{2}\int\limits_2^0 {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \)
\(t = 2{\rm{x}} \Rightarrow dt = 2{\rm{dx}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1,t = 2\\x = 0,t = 0\end{array} \right. \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( {2{\rm{x}}} \right)dx} = \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \)
\(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left| {2{\rm{x}}} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left| {2{\rm{x}}} \right|dx} + \int\limits_0^1 {f\left| {2{\rm{x}}} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( { - 2{\rm{x}}} \right)dx} + \int\limits_0^1 {f\left( {2{\rm{x}}} \right)dx} = \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} + \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = 3.\)