Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{x\ln {\rm{x}}}}\) và \(F\left( e \right) = 3.\) Tính \(F\left(

Nguyên hàm | tích phân | nguyên hàm và tích phân |
Tính Nguyên Hàm Và Tích Phân Bằng Phương Pháp đổi Biến Số
Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{x\ln {\rm{x}}}}\) và \(F\left( e \right) = 3.\) Tính \(F\left( {\frac{1}{e}} \right).\)
A. \(F\left( {\frac{1}{e}} \right) = \frac{1}{3}.\)
B. \(F\left( {\frac{1}{e}} \right) = 3.\)
C. \(F\left( {\frac{1}{e}} \right) = \ln 3.\)
D. \(F\left( {\frac{1}{e}} \right) = 1 - \ln 3.\)

Xét nguyên hàm: \(\int {f(x)dx} = \int {\frac{1}{{x\ln x}}dx} \)
Đặt \(t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{1}{x}dx\)
Khi đó: \(\int {f(x)dx} = \int {\frac{1}{t}dt} = \ln \left| t \right| + C = \ln \left| {\ln x} \right| + C\)
Ta có: \(F\left( e \right) = 3 = \ln \left| {\ln e} \right| + C \Rightarrow C = 2\)
Vậy: \(F\left( {\frac{1}{e}} \right) = \ln \left| {\ln \left( {\frac{1}{e}} \right)} \right| + 2 = 3.\)