Toán 12 Cho a, b là độ dài hai cạnh góc vuông, c là độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông

Cho a, b là độ dài hai cạnh góc vuông, c là độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông, trong đó \(c - b \ne 1\) và \(c + b \ne 1\). Kết luận nào sau đây là đúng?
A. \({\log _{c + b}}a + {\log _{c - b}}a = 2{\log _{c + b}}a.{\log _{c - b}}a\)
B. \({\log _{c + b}}a + {\log _{c - b}}a = - 2{\log _{c + b}}a.{\log _{c - b}}a\)
C. \({\log _{c + b}}a + {\log _{c - b}}a = {\log _{c + b}}a.{\log _{c - b}}a\)
D. \({\log _{c + b}}a + {\log _{c - b}}a = - {\log _{c + b}}a.{\log _{c - b}}a\)

Tam giác vuông nên: \({a^2} + {b^2} = {c^2}\)
\({a^2} = {c^2} - {b^2} = \left( {c - b} \right)\left( {c + b} \right).{\rm{ }}\left( * \right)\)
Ta có: \({\log _{c + b}}a + {\log _{c - b}}a = \frac{1}{{{{\log }_a}\left( {c + b} \right)}} + \frac{1}{{{{\log }_a}\left( {c - b} \right)}}\)
\(= \frac{{{{\log }_a}\left( {c - b} \right) + {{\log }_a}\left( {c + b} \right)}}{{{{\log }_a}\left( {c + b} \right).{{\log }_a}\left( {c - b} \right)}}\)\(= \frac{{{{\log }_a}\left( {\left( {c - b} \right)\left( {c + b} \right)} \right)}}{{{{\log }_a}\left( {c + b} \right).{{\log }_a}\left( {c - b} \right)}}\)
\(= {\log _a}\left( {{a^2}} \right).{\log _{c + b}}a.{\log _{c - b}}a\)\(= 2{\log _{c + b}}a.{\log _{c - b}}a\)
(Áp dụng công thức \({\log _\alpha }\beta = \frac{1}{{{{\log }_\beta }\alpha }}\) )
Vậy đáp án đúng là đáp án A