Khi gặp dạng toán bất đẳng thức hình học, các em học sinh thường lúng túng. Có lẽ lúng túng vì khó là ít mà lúng túng vì chưa gặp hoặc rất ít gặp và được thày cô dạy phổ biến như bất đẳng thức đại số. Nói nó khó cũng không sai vì đây là dạng toàn ăn điểm tuyệt đối trong đề thi vào 10 nên nó dành đề phân loại học sinh giúp nhà trường phân loại thí sinh đầu ra sau mỗi kì thi. Muốn giải được một bài toán về bất đẳng thức hình học cần thiết phải biết vận dụng các kiến thức hình học và đại số một cách thích hợp và nhạy bén.
Bài viết dưới đây sẽ trình bày chi tiết từ lý thuyết tới bài tập vận dụng. Mỗi đơn vị kiến thức được sắp xếp từ căn bản tới nâng cao. Bây giờ mới các em và quý thầy cô vào bài viết ngày hôm nay
A. Lý thuyết
Bất đẳng thức liên hệ giữa độ dài các cạnh một tam giác.
$MA+MB=MA'+MB\ge A'B$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $M$ là giao điểm cuả $A'B$ và đường thẳng $(d)$.( $M$ trùng với ${{M}_{0}}$)
$\left| MA-MB \right|\le AB$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $M$ là giao điểm cuả $AB$ và đường thẳng $(d)$( $M$ trùng với ${{M}_{1}}$).
e) Trong quá trình giải toán ta cần lưu ý tính chất: Đường vuông góc luôn nhỏ hơn hoặc bằng đường xiên.
Trong một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất
Cho đường tròn $(O;R)$ và một điểm $A$. Đường thẳng \[AO\] cắt đường tròn tại hai điểm ${{M}_{1}},{{M}_{2}}$. Giả sử $A{{M}_{1}}\le A{{M}_{2}}$. Khi đó với mọi điểm $M$ nằm trên đường tròn ta luôn có: $A{{M}_{1}}\le AM\le AM{{}_{2}}$
B. Bài tập vận dụng
Ví dụ 1: Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ nằm trong tam giác . Chứng minh rằng:
a) $MB+MC<AB+AC$
b) $\frac{1}{2}\left( AB+BC+CA \right)<MA+MB+MC<AB+BC+CA$
c) $BM+MN+NC<AB+AC$ trong đó điểm $N$ nằm trong tam giác sao cho $MN$ cắt hai cạnh $AB,AC$
b) Theo trên ta có:
$AB<MA+MB<AC+BC$. Cộng theo từng vế các BĐT trên ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 2: Cho đường tròn $(O;R)$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn đó. Một đường thẳng $\Delta $ thay đổi quanh $A$ cắt $(O;R)$ tại hai điểm $M,N$. Tìm vị trí $\Delta $ để $AM+AN$ lớn nhất.
Ta có: $O{{K}^{2}}+K{{A}^{2}}=O{{A}^{2}}$ không đổi . Như vậy $AK$ lớn nhất khi và chỉ khi $OK$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow OK=0\Leftrightarrow A,M,N,O$ nhỏ nhất.
Ví dụ 3: Cho đường tròn $(O;R)$ và dây cung $AB$ cố định $(AB<2R)$. Trên cung lớn $AB$ lấy điểm $M$. Tìm vị trí điểm $M$ để chu vi tam giác $MAB$ lớn nhất.
Do $AB$ không đổi nên chu vi tam giác $MAB$ lớn nhất khi và chỉ khi $AN$ lớn nhất.
Tam giác $BMN$ cân tại $M$ và $MH$ là phân giác của góc $\widehat{BMN}$ đồng thời cũng là phân giác ngoài của góc $\widehat{AMB}$.
Phân giác trong của góc $\widehat{AMB}$ là $MI$ với $I$ là trung điểm cung lớn $AB$. Suy ra $MI\bot MH$.
Do đó $MH$ cắt đường tròn $(O;R)$tại điểm $J$ và $IJ$ là đường kính của $(O;R)$.
Tam giác $MBN$ cân tại $M$ nên $MJ$ là đường trung trực của $BN$.
Từ đó ta có: $JA=JB=JN$. Hay điểm $N$ thuộc đường tròn tâm $J$ cố định bán kính $JA$.
Vì $AN$ là dây cung của đường tròn $\left( J \right)$ nên $AN$ lớn nhất khi và chỉ khi $AN$ là đường kính của $\left( J \right)$$\Leftrightarrow M\equiv J$.
Như vậy chu vi tam giác $MAB$ lớn nhất khi và chỉ khi $M$ trùng với trung điểm $J$ của cung nhỏ $AB$.
Ví dụ 4: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB<AC$ ngoại tiếp đường tròn tâm $O$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là tiếp điểm của $\left( O \right)$ với các cạnh $AB,AC,BC$; $M$ là điểm di chuyển trên đoạn $CE$. Gọi $N$ là giao điểm của $BM$ với cung nhỏ $EF$ của $\left( O \right)$, $P$ và $Q$ lần lượt là hình chiếu của $N$ trên các đường thẳng $DE,DF$. Xác định vị trí của điểm $M$ để $PQ$ lớn nhất.
Ta có tứ giác $PNQD$ , $EDFN$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{QPN}=\widehat{QDN}=\widehat{FEN}$.
Tương tự có ta có: $\widehat{NQP}=\widehat{NDP}=\widehat{NFE}$.
$\Rightarrow \Delta NEF\sim \Delta NPQ$Suy ra $\frac{PQ}{EF}=\frac{NQ}{NF}$.
Trong tam giác vuông $NQF$ ta có: $NQ\le NF$ do đó $\frac{PQ}{EF}\le 1$.
Ví dụ 5: Cho hình thoi $ABCD$. Đường chéo $AC$ không nhỏ hơn đường chéo $BD$. $M$ là một điểm tùy ý trên $AC$. Đường thẳng qua $M$ song song với $AB$ cắt $AD$ tại $E,$ cắt $BC$ tại $G$Đường thẳng qua $M$ song song với $AD$ cắt $AB$ tại $F$cắt $CD$ tại $H$. Biết hình thoi $ABCD$ có độ dài hai đường chéo là ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$. Xác định $M$ sao cho chu vi tứ giác $EFGH$ là nhỏ nhất?Tính chu vi đó theo ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$.
Ta dễ dàng chứng minh được $EFGH$ là hình thang cân, $AFME$, $MGCH$ là hình thoi, Các tứ giác $BFMG,EDHM$ là hình bình hành. Do đó các đường chéo $AM,\text{EF}$ cắt nhau tại $L$, $MC,GH$ cắt nhau tại $J$, $BM,FG$ cắt nhau tại $I$, $DM,EH$ cắt nhau tại $K$ thì $L,I,J,K$ lần lượt là trung điểm của $EF,FG,GH,HE$.
Áp dụng bài toán (*) ta có chu vi tứ giác $EFGH$ là
Nhưng $LJ=LM+MJ=\frac{1}{2}AC\Rightarrow 2p\ge AC+BD$
Ví dụ 6: Cho tam giác $ABC$ và một điểm $M$ tùy ý trong tam giác đó. Gọi khoảng cách từ $M$ đến các cạnh $BC,CA,AB$ theo thứ tự là $m,n,p$ và các đường cao hạ từ các đỉnh $A,B,C$ là ${{h}_{a}},{{h}_{b}},{{h}_{c}}$. Chứng minh: $\frac{{{h}_{a}}}{m}+\frac{{{h}_{b}}}{n}+\frac{{{h}_{c}}}{p}\ge 9$
Trước hết ta chứng minh kết quả sau: $\frac{m}{{{h}_{a}}}+\frac{n}{{{h}_{b}}}+\frac{p}{{{h}_{c}}}=1$
ta có:$\frac{{{S}_{a}}}{S}=\frac{m}{{{h}_{a}}},\frac{{{S}_{b}}}{S}=\frac{n}{{{h}_{b}}},\frac{{{S}_{c}}}{S}=\frac{p}{{{h}_{c}}}$
suy ra $\frac{m}{{{h}_{a}}}+\frac{n}{{{h}_{b}}}+\frac{p}{{{h}_{c}}}=\frac{{{S}_{a}}+{{S}_{b}}+{{S}_{c}}}{S}=1$
Sử dụng bất đẳng thức Cô si ta dễ chứng minh được kết quả sau(với $(x,y,z>0)$: $\left( x+y+z \right)\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right)\ge 9$.
Áp dụng vào bài toán ta có: $\frac{{{h}_{a}}}{m}+\frac{{{h}_{b}}}{n}+\frac{{{h}_{c}}}{p}\ge \frac{9}{\frac{m}{{{h}_{a}}}+\frac{n}{{{h}_{b}}}+\frac{p}{{{h}_{c}}}}=9$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\frac{{{h}_{a}}}{m}=\frac{{{h}_{b}}}{n}=\frac{{{h}_{c}}}{n}=3$ . Hay $M$là trọng tâm của tam giác $\Delta ABC$.
Ví dụ 7: Xét tam giác $ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$ với ba đường cao $A{{A}_{1}},B{{B}_{1}},C{{C}_{1}}$ lần lượt cắt đường tròn $\left( O \right)$ lần nữa tại $D,E,F$. Xác định dạng của tam giác $ABC$ sao cho:
a) $\frac{A{{A}_{1}}}{D{{A}_{1}}}+\frac{B{{B}_{1}}}{E{{B}_{1}}}+\frac{C{{C}_{1}}}{F{{C}_{1}}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
b) $\frac{A{{A}_{1}}}{AD}+\frac{B{{B}_{1}}}{BE}+\frac{C{{C}_{1}}}{CF}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
Dễ dàng chứng minh được $H{{A}_{1}}=D{{A}_{1}};H{{B}_{1}}=E{{B}_{1}};H{{C}_{1}}=F{{C}_{1}}$. (Xem phần đường thẳng Ơ le- Đường tròn Ơ le)
$\begin{array}{l} \frac{{AD}}{{A{A_1}}} + \frac{{BE}}{{B{B_1}}} + \frac{{CF}}{{C{C_1}}}\\ = 1 + \frac{{H{A_1}}}{{A{A_1}}} + 1 + \frac{{H{B_1}}}{{B{B_1}}} + 1 + \frac{{H{C_1}}}{{C{C_1}}}\\ = 4 \end{array}$
Áp dụng BĐT: $\left( x+y+z \right)\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right)\ge 9$
suy ra $\frac{A{{A}_{1}}}{AD}+\frac{B{{B}_{1}}}{BE}+\frac{C{{C}_{1}}}{CF}\ge \frac{4}{9}$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $ABC$ là tam giác đều.
Bài viết dưới đây sẽ trình bày chi tiết từ lý thuyết tới bài tập vận dụng. Mỗi đơn vị kiến thức được sắp xếp từ căn bản tới nâng cao. Bây giờ mới các em và quý thầy cô vào bài viết ngày hôm nay
A. Lý thuyết
Bất đẳng thức liên hệ giữa độ dài các cạnh một tam giác.
$\left| AB-AC \right|<BC<AB+BC$
$\left| MA-MB \right|\le AB$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $M$ là giao điểm cuả $AB$ và đường thẳng $(d)$( $M$ trùng với ${{M}_{1}}$).
e) Trong quá trình giải toán ta cần lưu ý tính chất: Đường vuông góc luôn nhỏ hơn hoặc bằng đường xiên.
Trong một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất
Cho đường tròn $(O;R)$ và một điểm $A$. Đường thẳng \[AO\] cắt đường tròn tại hai điểm ${{M}_{1}},{{M}_{2}}$. Giả sử $A{{M}_{1}}\le A{{M}_{2}}$. Khi đó với mọi điểm $M$ nằm trên đường tròn ta luôn có: $A{{M}_{1}}\le AM\le AM{{}_{2}}$
B. Bài tập vận dụng
Ví dụ 1: Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ nằm trong tam giác . Chứng minh rằng:
a) $MB+MC<AB+AC$
b) $\frac{1}{2}\left( AB+BC+CA \right)<MA+MB+MC<AB+BC+CA$
c) $BM+MN+NC<AB+AC$ trong đó điểm $N$ nằm trong tam giác sao cho $MN$ cắt hai cạnh $AB,AC$
Lời giải
a) Đường thẳng $BM$ cắt $AC$ ở $P$b) Theo trên ta có:
$AB<MA+MB<AC+BC$. Cộng theo từng vế các BĐT trên ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 2: Cho đường tròn $(O;R)$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn đó. Một đường thẳng $\Delta $ thay đổi quanh $A$ cắt $(O;R)$ tại hai điểm $M,N$. Tìm vị trí $\Delta $ để $AM+AN$ lớn nhất.
Lời giải
Ta có: $O{{K}^{2}}+K{{A}^{2}}=O{{A}^{2}}$ không đổi . Như vậy $AK$ lớn nhất khi và chỉ khi $OK$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow OK=0\Leftrightarrow A,M,N,O$ nhỏ nhất.
Ví dụ 3: Cho đường tròn $(O;R)$ và dây cung $AB$ cố định $(AB<2R)$. Trên cung lớn $AB$ lấy điểm $M$. Tìm vị trí điểm $M$ để chu vi tam giác $MAB$ lớn nhất.
Lời giải
Trên tia đối của $AM$ lấy điểm $N$ sao cho $MN=MB$. Khi đó chu vi tam giác $MAB$ là $2p=MA+MB+AB=AN+AB$.Do $AB$ không đổi nên chu vi tam giác $MAB$ lớn nhất khi và chỉ khi $AN$ lớn nhất.
Tam giác $BMN$ cân tại $M$ và $MH$ là phân giác của góc $\widehat{BMN}$ đồng thời cũng là phân giác ngoài của góc $\widehat{AMB}$.
Phân giác trong của góc $\widehat{AMB}$ là $MI$ với $I$ là trung điểm cung lớn $AB$. Suy ra $MI\bot MH$.
Do đó $MH$ cắt đường tròn $(O;R)$tại điểm $J$ và $IJ$ là đường kính của $(O;R)$.
Tam giác $MBN$ cân tại $M$ nên $MJ$ là đường trung trực của $BN$.
Từ đó ta có: $JA=JB=JN$. Hay điểm $N$ thuộc đường tròn tâm $J$ cố định bán kính $JA$.
Vì $AN$ là dây cung của đường tròn $\left( J \right)$ nên $AN$ lớn nhất khi và chỉ khi $AN$ là đường kính của $\left( J \right)$$\Leftrightarrow M\equiv J$.
Như vậy chu vi tam giác $MAB$ lớn nhất khi và chỉ khi $M$ trùng với trung điểm $J$ của cung nhỏ $AB$.
Ví dụ 4: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB<AC$ ngoại tiếp đường tròn tâm $O$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là tiếp điểm của $\left( O \right)$ với các cạnh $AB,AC,BC$; $M$ là điểm di chuyển trên đoạn $CE$. Gọi $N$ là giao điểm của $BM$ với cung nhỏ $EF$ của $\left( O \right)$, $P$ và $Q$ lần lượt là hình chiếu của $N$ trên các đường thẳng $DE,DF$. Xác định vị trí của điểm $M$ để $PQ$ lớn nhất.
Lời giải
Ta có tứ giác $PNQD$ , $EDFN$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{QPN}=\widehat{QDN}=\widehat{FEN}$.
Tương tự có ta có: $\widehat{NQP}=\widehat{NDP}=\widehat{NFE}$.
$\Rightarrow \Delta NEF\sim \Delta NPQ$Suy ra $\frac{PQ}{EF}=\frac{NQ}{NF}$.
Trong tam giác vuông $NQF$ ta có: $NQ\le NF$ do đó $\frac{PQ}{EF}\le 1$.
Ví dụ 5: Cho hình thoi $ABCD$. Đường chéo $AC$ không nhỏ hơn đường chéo $BD$. $M$ là một điểm tùy ý trên $AC$. Đường thẳng qua $M$ song song với $AB$ cắt $AD$ tại $E,$ cắt $BC$ tại $G$Đường thẳng qua $M$ song song với $AD$ cắt $AB$ tại $F$cắt $CD$ tại $H$. Biết hình thoi $ABCD$ có độ dài hai đường chéo là ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$. Xác định $M$ sao cho chu vi tứ giác $EFGH$ là nhỏ nhất?Tính chu vi đó theo ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$.
Lời giải
Ta dễ dàng chứng minh được $EFGH$ là hình thang cân, $AFME$, $MGCH$ là hình thoi, Các tứ giác $BFMG,EDHM$ là hình bình hành. Do đó các đường chéo $AM,\text{EF}$ cắt nhau tại $L$, $MC,GH$ cắt nhau tại $J$, $BM,FG$ cắt nhau tại $I$, $DM,EH$ cắt nhau tại $K$ thì $L,I,J,K$ lần lượt là trung điểm của $EF,FG,GH,HE$.
Áp dụng bài toán (*) ta có chu vi tứ giác $EFGH$ là
Nhưng $LJ=LM+MJ=\frac{1}{2}AC\Rightarrow 2p\ge AC+BD$
Ví dụ 6: Cho tam giác $ABC$ và một điểm $M$ tùy ý trong tam giác đó. Gọi khoảng cách từ $M$ đến các cạnh $BC,CA,AB$ theo thứ tự là $m,n,p$ và các đường cao hạ từ các đỉnh $A,B,C$ là ${{h}_{a}},{{h}_{b}},{{h}_{c}}$. Chứng minh: $\frac{{{h}_{a}}}{m}+\frac{{{h}_{b}}}{n}+\frac{{{h}_{c}}}{p}\ge 9$
Lời giải
Trước hết ta chứng minh kết quả sau: $\frac{m}{{{h}_{a}}}+\frac{n}{{{h}_{b}}}+\frac{p}{{{h}_{c}}}=1$
ta có:$\frac{{{S}_{a}}}{S}=\frac{m}{{{h}_{a}}},\frac{{{S}_{b}}}{S}=\frac{n}{{{h}_{b}}},\frac{{{S}_{c}}}{S}=\frac{p}{{{h}_{c}}}$
suy ra $\frac{m}{{{h}_{a}}}+\frac{n}{{{h}_{b}}}+\frac{p}{{{h}_{c}}}=\frac{{{S}_{a}}+{{S}_{b}}+{{S}_{c}}}{S}=1$
Sử dụng bất đẳng thức Cô si ta dễ chứng minh được kết quả sau(với $(x,y,z>0)$: $\left( x+y+z \right)\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right)\ge 9$.
Áp dụng vào bài toán ta có: $\frac{{{h}_{a}}}{m}+\frac{{{h}_{b}}}{n}+\frac{{{h}_{c}}}{p}\ge \frac{9}{\frac{m}{{{h}_{a}}}+\frac{n}{{{h}_{b}}}+\frac{p}{{{h}_{c}}}}=9$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\frac{{{h}_{a}}}{m}=\frac{{{h}_{b}}}{n}=\frac{{{h}_{c}}}{n}=3$ . Hay $M$là trọng tâm của tam giác $\Delta ABC$.
Ví dụ 7: Xét tam giác $ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$ với ba đường cao $A{{A}_{1}},B{{B}_{1}},C{{C}_{1}}$ lần lượt cắt đường tròn $\left( O \right)$ lần nữa tại $D,E,F$. Xác định dạng của tam giác $ABC$ sao cho:
a) $\frac{A{{A}_{1}}}{D{{A}_{1}}}+\frac{B{{B}_{1}}}{E{{B}_{1}}}+\frac{C{{C}_{1}}}{F{{C}_{1}}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
b) $\frac{A{{A}_{1}}}{AD}+\frac{B{{B}_{1}}}{BE}+\frac{C{{C}_{1}}}{CF}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
Lời giải
Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.Dễ dàng chứng minh được $H{{A}_{1}}=D{{A}_{1}};H{{B}_{1}}=E{{B}_{1}};H{{C}_{1}}=F{{C}_{1}}$. (Xem phần đường thẳng Ơ le- Đường tròn Ơ le)
$\begin{array}{l} \frac{{AD}}{{A{A_1}}} + \frac{{BE}}{{B{B_1}}} + \frac{{CF}}{{C{C_1}}}\\ = 1 + \frac{{H{A_1}}}{{A{A_1}}} + 1 + \frac{{H{B_1}}}{{B{B_1}}} + 1 + \frac{{H{C_1}}}{{C{C_1}}}\\ = 4 \end{array}$
Áp dụng BĐT: $\left( x+y+z \right)\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right)\ge 9$
suy ra $\frac{A{{A}_{1}}}{AD}+\frac{B{{B}_{1}}}{BE}+\frac{C{{C}_{1}}}{CF}\ge \frac{4}{9}$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $ABC$ là tam giác đều.
Sửa lần cuối:
