Câu 1:
Cho \({\log _2}14 = a\). Tính \({\log _{49}}32\) theo a.
A. \({\log _{49}}32 = \frac{{10}}{{a - 1}}\)
B. \({\log _{49}}32 = \frac{2}{{5\left( {a - 1} \right)}}\)
C. \({\log _{49}}32 = \frac{5}{{2a - 2}}\)
D. \({\log _{49}}32 = \frac{5}{{2a + 1}}\)
Câu 2:
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\log _2}\left( {{x^2} - 2x - 3} \right)\).
A. \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)
B. \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\)
C. \(D = \left[ { - 1;3} \right]\)
D. \(D = \left( { - 1;3} \right)\)
Câu 3:
Đặt \(a = {\log _2}3,b = {\log _5}3\). Hãy biểu diễn \({\log _6}45\) theo a và b.
A. \({\log _6}45 = \frac{{2{a^2} - 2ab}}{{ab}}\)
B. \({\log _6}45 = \frac{{2{a^2} - 2ab}}{{ab + b}}\)
C. \({\log _6}45 = \frac{{a + 2ab}}{{ab + b}}\)
D. \({\log _6}45 = \frac{{a + 2ab}}{{ab}}\)
Câu 4:
Tập xác định của hàm số \(y = \ln \frac{{{{\left( {2x - 5} \right)}^3}{{\left( {x - 7} \right)}^2}}}{{12 - x}}\) chứa bao nhiêu số nguyên?
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
Câu 5:
Cho \({\log _{12}}8 = a\). Biểu diễn \({\log _2}3\) theo a.
A. \({\log _2}3 = \frac{{1 - a}}{{a - 2}}\)
B. \({\log _2}3 = \frac{{2a - 1}}{{a - 2}}\)
C. \({\log _2}3 = \frac{{a - 1}}{{2a - 2}}\)
D. \({\log _2}3 = \frac{{1 - 2a}}{{a - 2}}\)
Câu 6:
Cho các số thực dương a, b với \(a \ne 1\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. \({\log _{{a^2}}}\left( {ab} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}{\log _a}b\)
B. \({\log _{{a^2}}}\left( {ab} \right) = 2 + {\log _a}b\)
C. \({\log _{{a^2}}}\left( {ab} \right) = \frac{1}{4}{\log _a}b\)
D. \({\log _{{a^2}}}\left( {ab} \right) = \frac{1}{2}{\log _a}b\)
Câu 7:
Tính đạo hàm của hàm số f(x)= log3x tại \(x_0=5\).
A. \(f'({x_0}) = \frac{{\ln 3}}{5}\)
B. \(f'({x_0}) = \frac{1}{{5\ln 3}}\)
C. \(f'({x_0}) = \frac{5}{{\ln 3}}\)
D. \(f'({x_0}) = 5\ln 3\)
Câu 8:
Cho 0<x<1; a, b, c là các số thực dương khác 1 và \({\log _c}x > 0 > {\log _b}x > {\log _a}x\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. a>b>c
B. c>a>b
C. c>b>a
D. b>a>c
Câu 9:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = {\log _7}\left[ {\left( {m - 1} \right){x^2} + 2(m - 3)x + 1} \right]\) xác định trên \(\mathbb{R}\).
A. \(m \ge 2\)
B. \(2 \le m \le 5\)
C. \(2 < m < 5\)
D. \(1 < m < 5\)
Cho \({\log _2}14 = a\). Tính \({\log _{49}}32\) theo a.
A. \({\log _{49}}32 = \frac{{10}}{{a - 1}}\)
B. \({\log _{49}}32 = \frac{2}{{5\left( {a - 1} \right)}}\)
C. \({\log _{49}}32 = \frac{5}{{2a - 2}}\)
D. \({\log _{49}}32 = \frac{5}{{2a + 1}}\)
\(\begin{array}{l} {\log _{49}}32 = {\log _{{7^2}}}32 = \frac{1}{2}{\log _7}32\\ = \frac{1}{2}\frac{{{{\log }_2}32}}{{{{\log }_2}7}} = \frac{5}{2}.\frac{1}{{{{\log }_2}\frac{{14}}{2}}} = \frac{5}{2}.\frac{1}{{{{\log }_2}14 - 1}} = \frac{5}{{2(a - 1)}} \end{array}\)
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\log _2}\left( {{x^2} - 2x - 3} \right)\).
A. \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)
B. \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\)
C. \(D = \left[ { - 1;3} \right]\)
D. \(D = \left( { - 1;3} \right)\)
Điều kiện: \({x^2} - 2x - 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < - 1\\ x > 3 \end{array} \right. \Rightarrow D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)
Đặt \(a = {\log _2}3,b = {\log _5}3\). Hãy biểu diễn \({\log _6}45\) theo a và b.
A. \({\log _6}45 = \frac{{2{a^2} - 2ab}}{{ab}}\)
B. \({\log _6}45 = \frac{{2{a^2} - 2ab}}{{ab + b}}\)
C. \({\log _6}45 = \frac{{a + 2ab}}{{ab + b}}\)
D. \({\log _6}45 = \frac{{a + 2ab}}{{ab}}\)
\({\log _6}45 = \frac{{{{\log }_2}45}}{{{{\log }_2}6}} = \frac{{{{\log }_2}\left( {5.9} \right)}}{{{{\log }_2}\left( {2.3} \right)}} = \frac{{{{\log }_2}5 + 2{{\log }_2}3}}{{1 + {{\log }_2}3}}\)
\(= \frac{{{{\log }_2}3.{{\log }_3}5 + 2{{\log }_2}3}}{{1 + {{\log }_2}3}} = \frac{{{{\log }_2}3.\frac{1}{{{{\log }_3}5}} + 2.{{\log }_2}3}}{{1 + {{\log }_2}3}}\)
\(= \frac{{\frac{a}{b} + 2{\rm{a}}}}{{1 + a}} = \frac{{a + 2ab}}{{ab + b}}\)
\(= \frac{{{{\log }_2}3.{{\log }_3}5 + 2{{\log }_2}3}}{{1 + {{\log }_2}3}} = \frac{{{{\log }_2}3.\frac{1}{{{{\log }_3}5}} + 2.{{\log }_2}3}}{{1 + {{\log }_2}3}}\)
\(= \frac{{\frac{a}{b} + 2{\rm{a}}}}{{1 + a}} = \frac{{a + 2ab}}{{ab + b}}\)
Tập xác định của hàm số \(y = \ln \frac{{{{\left( {2x - 5} \right)}^3}{{\left( {x - 7} \right)}^2}}}{{12 - x}}\) chứa bao nhiêu số nguyên?
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
Hàm số đã cho xác định khi:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{{\left( {2x - 5} \right)}^3}{{\left( {x - 7} \right)}^2}}}{{12 - x}} > 0}\\ {x \ne 12} \end{array}} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \ne 7;x \ne \frac{5}{2};x \ne 12}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{5}{2} < x < 12}\\ {x > 12;x < \frac{5}{2}\left( l \right)} \end{array}} \right.} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \ne 7}\\ {\frac{5}{2} < x < 12} \end{array}} \right.} \right.\)
Trong khoảng đó có 8 số nguyên.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{{\left( {2x - 5} \right)}^3}{{\left( {x - 7} \right)}^2}}}{{12 - x}} > 0}\\ {x \ne 12} \end{array}} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \ne 7;x \ne \frac{5}{2};x \ne 12}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{5}{2} < x < 12}\\ {x > 12;x < \frac{5}{2}\left( l \right)} \end{array}} \right.} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \ne 7}\\ {\frac{5}{2} < x < 12} \end{array}} \right.} \right.\)
Trong khoảng đó có 8 số nguyên.
Cho \({\log _{12}}8 = a\). Biểu diễn \({\log _2}3\) theo a.
A. \({\log _2}3 = \frac{{1 - a}}{{a - 2}}\)
B. \({\log _2}3 = \frac{{2a - 1}}{{a - 2}}\)
C. \({\log _2}3 = \frac{{a - 1}}{{2a - 2}}\)
D. \({\log _2}3 = \frac{{1 - 2a}}{{a - 2}}\)
Ta có: \({\log _{12}}18 = \frac{{{{\log }_2}18}}{{{{\log }_2}12}} = \frac{{{{\log }_2}\left( {{{2.3}^2}} \right)}}{{{{\log }_2}({2^2}.3)}} = \frac{{1 + 2{{\log }_2}3}}{{2 + {{\log }_2}3}}\)
Đặt \(t = {\log _2}3\), ta có:
\({\log _{12}}18 = a = \frac{{1 + 2x}}{{2 + x}}\)
\(\Rightarrow a(2 + x) = 1 + 2x \Rightarrow x(a - 2) = 1 - 2a\)
\(\Rightarrow {\log _2}3 = x = \frac{{1 - 2a}}{{a - 2}}\)
Đặt \(t = {\log _2}3\), ta có:
\({\log _{12}}18 = a = \frac{{1 + 2x}}{{2 + x}}\)
\(\Rightarrow a(2 + x) = 1 + 2x \Rightarrow x(a - 2) = 1 - 2a\)
\(\Rightarrow {\log _2}3 = x = \frac{{1 - 2a}}{{a - 2}}\)
Cho các số thực dương a, b với \(a \ne 1\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. \({\log _{{a^2}}}\left( {ab} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}{\log _a}b\)
B. \({\log _{{a^2}}}\left( {ab} \right) = 2 + {\log _a}b\)
C. \({\log _{{a^2}}}\left( {ab} \right) = \frac{1}{4}{\log _a}b\)
D. \({\log _{{a^2}}}\left( {ab} \right) = \frac{1}{2}{\log _a}b\)
\({\log _{{a^2}}}(ab) = \frac{1}{2}{\log _a}(ab) = \frac{1}{2}\left( {{{\log }_a}a + {{\log }_a}b} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 + {{\log }_a}b} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}{\log _a}b\)
Tính đạo hàm của hàm số f(x)= log3x tại \(x_0=5\).
A. \(f'({x_0}) = \frac{{\ln 3}}{5}\)
B. \(f'({x_0}) = \frac{1}{{5\ln 3}}\)
C. \(f'({x_0}) = \frac{5}{{\ln 3}}\)
D. \(f'({x_0}) = 5\ln 3\)
\(\begin{array}{l} f(x) = {\log _3}x \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{{x\ln 3}}\\ \Rightarrow f'(5) = \frac{1}{{5\ln 3}} \end{array}\)
Cho 0<x<1; a, b, c là các số thực dương khác 1 và \({\log _c}x > 0 > {\log _b}x > {\log _a}x\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. a>b>c
B. c>a>b
C. c>b>a
D. b>a>c
Vì \(0 < x < 1 \Rightarrow \ln x < 0\). Do đó:
\(\begin{array}{l} {\log _c}x > 0 > {\log _b}x > {\log _a}x\\ \Leftrightarrow \frac{{\ln x}}{{{\mathop{\rm lnc}\nolimits} }} > 0 > \frac{{\ln x}}{{\ln b}} > \frac{{\ln x}}{{\ln a}} \Rightarrow \ln c < 0 < \ln a < \ln b \end{array}\)
Mà hàm số \(y=lnx\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên ta suy ra: \(c < a < b\).
\(\begin{array}{l} {\log _c}x > 0 > {\log _b}x > {\log _a}x\\ \Leftrightarrow \frac{{\ln x}}{{{\mathop{\rm lnc}\nolimits} }} > 0 > \frac{{\ln x}}{{\ln b}} > \frac{{\ln x}}{{\ln a}} \Rightarrow \ln c < 0 < \ln a < \ln b \end{array}\)
Mà hàm số \(y=lnx\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên ta suy ra: \(c < a < b\).
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = {\log _7}\left[ {\left( {m - 1} \right){x^2} + 2(m - 3)x + 1} \right]\) xác định trên \(\mathbb{R}\).
A. \(m \ge 2\)
B. \(2 \le m \le 5\)
C. \(2 < m < 5\)
D. \(1 < m < 5\)
Hàm số đã cho xác định \(\forall x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi:
\(\begin{array}{l} \left( {m - 1} \right){x^2} + 2(m - 3)x + 1 > 0,\forall x \in\mathbb{R} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m - 1 > 0\\ \Delta ' = {(m - 3)^2} - (m - 1) < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 1\\ {m^2} - 7m + 10 < 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 1\\ 2 < m < 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow 2 < m < 5 \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \left( {m - 1} \right){x^2} + 2(m - 3)x + 1 > 0,\forall x \in\mathbb{R} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m - 1 > 0\\ \Delta ' = {(m - 3)^2} - (m - 1) < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 1\\ {m^2} - 7m + 10 < 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 1\\ 2 < m < 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow 2 < m < 5 \end{array}\)