Câu 1:
Đặt \(a = {\log _7}11,\,b = {\log _2}7\). Hãy biểu diễn \({\log _{\sqrt[3]{7}}}\frac{{121}}{8}\) theo a và b
A. \({\log _{\sqrt[3]{7}}}\frac{{121}}{8} = 6{\rm{a}} - \frac{9}{b}\)
B. \({\log _{\sqrt[3]{7}}}\frac{{121}}{8} = \frac{2}{3}a - \frac{9}{b}\)
C. \({\log _{\sqrt[3]{7}}}\frac{{121}}{8} = 6a + \frac{9}{b}\)
D. \({\log _{\sqrt[3]{7}}}\frac{{121}}{8} = 6a - 9b\)
Câu 2:
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = \sqrt {\ln x + 2}\).
A. \(D=\left[ {{e^2}; + \infty } \right)\)
B. \(D=\left[ {\frac{1}{{{e^2}}}; + \infty } \right)\)
C. \(D=\left( {0; + \infty } \right)\)
D. D=8
Câu 3:
Cho hai hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\log _a}x\) (với \(a > 0,a \ne 1\)). Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hàm số \(y = {\log _a}x\) có tập xác định là \(\left( {0; + \infty } \right)\)
B. Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) nhận trục Ox làm đường tiệm cận ngang
C. Hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\log _a}x\) nghịch biến trên mỗi tập xác định tương ứng của nó khi \(0 < a < 1\)
D. Đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\) nằm phía trên trục Ox.
Câu 4:
Cho a, b là các số thực thỏa mãn \({a^{\frac{{\sqrt 3 }}{3}}} > {a^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}\) và \({\log _b}\frac{3}{4} < {\log _b}\frac{4}{5}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(0 < a < 1,b > 1\)
B. \(0 < a < 1,0 < b < 1\)
C. \(a > 1,b > 1\)
D. \(a > 1,0 < b < 1\)
Câu 5:
Tính giá trị của biểu thức \(P = {\log _a}a\sqrt[3]{{a\sqrt[3]{{a\sqrt a }}}}\) với \(0 < a \ne 1.\)
A. \(P = \frac{3}{{10}}\)
B. \(P = 4\)
C. \(P = \frac{1}{2}\)
D. \(P = \frac{1}{4}\)
Câu 6:
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.
A. \(lnx > 0 \Leftrightarrow x > 1\)
B. \(log_{2}x < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 1.\)
C. \({\log _{\frac{1}{2}}}x < {\log _{\frac{1}{2}}}y \Leftrightarrow x > y > 0.\)
D. \({\log _{\frac{1}{3}}}x > {\log _{\frac{1}{3}}}y \Leftrightarrow x > y > 0.\)
Câu 7:
Cho hàm số \(f(x) = \log \left[ {100(x - 3)} \right]\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Hàm số đồng biến trên \((3; + \infty )\).
B. \(f(x) = 2 + \log (x - 3)\) với x>3.
C. Đồ thị của hàm số đi qua điểm (4;2).
D. Tập xác định của hàm số là \(D = \left[ {3; + \infty } \right)\)
Câu 8:
Cho \({\log _{27}}5 = a,\,{\log _8}7 = b,{\log _2}3 = c\). Biểu diễn \({\log _{12}}35\) theo a, b, c.
A. \({\log _{12}}35 = \frac{{3b + 3ac}}{{c + 2}}\)
B. \({\log _{12}}35 = \frac{{3b + 2ac}}{{c + 2}}\)
C. \({\log _{12}}35 = \frac{{3b + 2ac}}{{c + 3}}\)
D. \({\log _{12}}35 = \frac{{3b + 3ac}}{{c + 1}}\)
Câu 9:
Tính đạo hàm của hàm số \(y = {\log _{2017}}\left( {{x^2} + 1} \right)\).
A. \(y' = \frac{1}{{{x^2} + 1}}\)
B. \(y' = \frac{1}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2017}}\)
C. \(y' = \frac{{2x}}{{2017}}\)
D. \(y' = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2017}}\)
Đặt \(a = {\log _7}11,\,b = {\log _2}7\). Hãy biểu diễn \({\log _{\sqrt[3]{7}}}\frac{{121}}{8}\) theo a và b
A. \({\log _{\sqrt[3]{7}}}\frac{{121}}{8} = 6{\rm{a}} - \frac{9}{b}\)
B. \({\log _{\sqrt[3]{7}}}\frac{{121}}{8} = \frac{2}{3}a - \frac{9}{b}\)
C. \({\log _{\sqrt[3]{7}}}\frac{{121}}{8} = 6a + \frac{9}{b}\)
D. \({\log _{\sqrt[3]{7}}}\frac{{121}}{8} = 6a - 9b\)
Ta có :
\({\log _{\sqrt[3]{7}}}\frac{{121}}{8} = {\log _{{7^{\frac{1}{3}}}}}\frac{{121}}{8} = 6{\log _7}11 - 3{\log _7}8\)
\(= 6{\log _7}11 - 9{\log _7}2 = 6{\log _7}11 - \frac{9}{{{{\log }_2}7}}\)
Nên: \({\log _{\sqrt[3]{7}}}\frac{{121}}{8} = 6a - \frac{9}{b}\)
\({\log _{\sqrt[3]{7}}}\frac{{121}}{8} = {\log _{{7^{\frac{1}{3}}}}}\frac{{121}}{8} = 6{\log _7}11 - 3{\log _7}8\)
\(= 6{\log _7}11 - 9{\log _7}2 = 6{\log _7}11 - \frac{9}{{{{\log }_2}7}}\)
Nên: \({\log _{\sqrt[3]{7}}}\frac{{121}}{8} = 6a - \frac{9}{b}\)
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = \sqrt {\ln x + 2}\).
A. \(D=\left[ {{e^2}; + \infty } \right)\)
B. \(D=\left[ {\frac{1}{{{e^2}}}; + \infty } \right)\)
C. \(D=\left( {0; + \infty } \right)\)
D. D=8
Điều kiện xác đinh của hàm số \(y = \sqrt {\ln x + 2}\) là \(\ln x + 2 \ge 0 \Rightarrow \ln x \ge - 2 \Rightarrow x \ge \frac{1}{{{e^2}}}\)
Cho hai hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\log _a}x\) (với \(a > 0,a \ne 1\)). Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hàm số \(y = {\log _a}x\) có tập xác định là \(\left( {0; + \infty } \right)\)
B. Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) nhận trục Ox làm đường tiệm cận ngang
C. Hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\log _a}x\) nghịch biến trên mỗi tập xác định tương ứng của nó khi \(0 < a < 1\)
D. Đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\) nằm phía trên trục Ox.
Hàm số \(y = {\log _a}x\) có tập xác định là \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) nhận Ox làm tiệm cận ngang vì \(\mathop {\lim {a^x}}\limits_{x \to - \infty } = 0\) nếu a>1 và \(\mathop {\lim {a^x}}\limits_{x \to + \infty } = 0\) nếu 0<a<1.
Hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\log _a}x\) nghịch biến trên tập xác định khi 0<a<1 vì \(({a^x})' = {a^x}\ln a < 0,\forall a \in \left( {0;1} \right)\) và \(\left( {{{\log }_a}x} \right)' = \frac{1}{{x\ln a}} < 0,\forall x > 0,a \in \left( {0;1} \right)\).
Đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\) có hai phần nằm phía trên và phía dưới Ox, nên D sai.
Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) nhận Ox làm tiệm cận ngang vì \(\mathop {\lim {a^x}}\limits_{x \to - \infty } = 0\) nếu a>1 và \(\mathop {\lim {a^x}}\limits_{x \to + \infty } = 0\) nếu 0<a<1.
Hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\log _a}x\) nghịch biến trên tập xác định khi 0<a<1 vì \(({a^x})' = {a^x}\ln a < 0,\forall a \in \left( {0;1} \right)\) và \(\left( {{{\log }_a}x} \right)' = \frac{1}{{x\ln a}} < 0,\forall x > 0,a \in \left( {0;1} \right)\).
Đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\) có hai phần nằm phía trên và phía dưới Ox, nên D sai.
Cho a, b là các số thực thỏa mãn \({a^{\frac{{\sqrt 3 }}{3}}} > {a^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}\) và \({\log _b}\frac{3}{4} < {\log _b}\frac{4}{5}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(0 < a < 1,b > 1\)
B. \(0 < a < 1,0 < b < 1\)
C. \(a > 1,b > 1\)
D. \(a > 1,0 < b < 1\)
\(\left\{ \begin{array}{l} \frac{{\sqrt 3 }}{3} < \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ {a^{\frac{{\sqrt 3 }}{3}}} > {a^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} \end{array} \right. \Rightarrow 0 < a < 1\)
\(\left\{ \begin{array}{l} \frac{3}{4} < \frac{4}{5}\\ {\log _b}\frac{3}{4} < {\log _b}\frac{4}{5} \end{array} \right. \Rightarrow b > 1\)
\(\left\{ \begin{array}{l} \frac{3}{4} < \frac{4}{5}\\ {\log _b}\frac{3}{4} < {\log _b}\frac{4}{5} \end{array} \right. \Rightarrow b > 1\)
Tính giá trị của biểu thức \(P = {\log _a}a\sqrt[3]{{a\sqrt[3]{{a\sqrt a }}}}\) với \(0 < a \ne 1.\)
A. \(P = \frac{3}{{10}}\)
B. \(P = 4\)
C. \(P = \frac{1}{2}\)
D. \(P = \frac{1}{4}\)
\(a\sqrt[5]{{a\sqrt[3]{{a\sqrt a }}}} = a.{a^{\frac{1}{5}}}.{a^{\frac{1}{{15}}}}.{a^{\frac{1}{{30}}}} = {a^{\frac{3}{{10}}}}\)
\(\Rightarrow P = {\log _a}{a^{\frac{3}{{10}}}} = \frac{3}{{10}}.\)
\(\Rightarrow P = {\log _a}{a^{\frac{3}{{10}}}} = \frac{3}{{10}}.\)
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.
A. \(lnx > 0 \Leftrightarrow x > 1\)
B. \(log_{2}x < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 1.\)
C. \({\log _{\frac{1}{2}}}x < {\log _{\frac{1}{2}}}y \Leftrightarrow x > y > 0.\)
D. \({\log _{\frac{1}{3}}}x > {\log _{\frac{1}{3}}}y \Leftrightarrow x > y > 0.\)
Xét phương án D:
Do cơ số \(a = \frac{1}{3}<1\) nên \({\log _{\frac{1}{3}}}x > {\log _{\frac{1}{3}}}y \Leftrightarrow 0 < x < y.\)+ \(f(x) = \left[ {\log 100(x - 3)} \right]\) có cơ số 10>1, nên hàm số đồng biến trên \((3; + \infty )\).
+ \(\log \left[ {100(x - 3)} \right] = log100 + log(x - 3) = 2 + log(x - 3)\) với x>3.
+ Khi \(x = 4 \Rightarrow \log \left[ {100(x - 3)} \right] = 2\), vậy đồ thị hàm số đi qua điểm (4;2).
+ \(f(x) = \log \left[ {100(x - 3)} \right]\) có tập xác định \(D = \left( {3; + \infty } \right)\).
Do cơ số \(a = \frac{1}{3}<1\) nên \({\log _{\frac{1}{3}}}x > {\log _{\frac{1}{3}}}y \Leftrightarrow 0 < x < y.\)+ \(f(x) = \left[ {\log 100(x - 3)} \right]\) có cơ số 10>1, nên hàm số đồng biến trên \((3; + \infty )\).
+ \(\log \left[ {100(x - 3)} \right] = log100 + log(x - 3) = 2 + log(x - 3)\) với x>3.
+ Khi \(x = 4 \Rightarrow \log \left[ {100(x - 3)} \right] = 2\), vậy đồ thị hàm số đi qua điểm (4;2).
+ \(f(x) = \log \left[ {100(x - 3)} \right]\) có tập xác định \(D = \left( {3; + \infty } \right)\).
Cho hàm số \(f(x) = \log \left[ {100(x - 3)} \right]\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Hàm số đồng biến trên \((3; + \infty )\).
B. \(f(x) = 2 + \log (x - 3)\) với x>3.
C. Đồ thị của hàm số đi qua điểm (4;2).
D. Tập xác định của hàm số là \(D = \left[ {3; + \infty } \right)\)
Câu 8:
Cho \({\log _{27}}5 = a,\,{\log _8}7 = b,{\log _2}3 = c\). Biểu diễn \({\log _{12}}35\) theo a, b, c.
A. \({\log _{12}}35 = \frac{{3b + 3ac}}{{c + 2}}\)
B. \({\log _{12}}35 = \frac{{3b + 2ac}}{{c + 2}}\)
C. \({\log _{12}}35 = \frac{{3b + 2ac}}{{c + 3}}\)
D. \({\log _{12}}35 = \frac{{3b + 3ac}}{{c + 1}}\)
Ta có:
\({\log _{12}}35 = \frac{{{{\log }_2}35}}{{{{\log }_2}12}} = \frac{{{{\log }_2}7 + {{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3 + {{\log }_2}4}}\)
Mặt khác:
\({\log _{27}}5 = a \Leftrightarrow \frac{1}{3}{\log _3}5 = a \Leftrightarrow {\log _3}5 = 3a \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3}} = 3a \Rightarrow {\log _2}5 = 3ac.\)
\({\log _8}7 = b \Leftrightarrow \frac{1}{3}{\log _2}7 = b \Rightarrow {\log _2}7 = 3b\).
Suy ra:
\({\log _{12}}35 = \frac{{3b + 3ac}}{{c + 2}}\).
\({\log _{12}}35 = \frac{{{{\log }_2}35}}{{{{\log }_2}12}} = \frac{{{{\log }_2}7 + {{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3 + {{\log }_2}4}}\)
Mặt khác:
\({\log _{27}}5 = a \Leftrightarrow \frac{1}{3}{\log _3}5 = a \Leftrightarrow {\log _3}5 = 3a \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3}} = 3a \Rightarrow {\log _2}5 = 3ac.\)
\({\log _8}7 = b \Leftrightarrow \frac{1}{3}{\log _2}7 = b \Rightarrow {\log _2}7 = 3b\).
Suy ra:
\({\log _{12}}35 = \frac{{3b + 3ac}}{{c + 2}}\).
Tính đạo hàm của hàm số \(y = {\log _{2017}}\left( {{x^2} + 1} \right)\).
A. \(y' = \frac{1}{{{x^2} + 1}}\)
B. \(y' = \frac{1}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2017}}\)
C. \(y' = \frac{{2x}}{{2017}}\)
D. \(y' = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2017}}\)
\(y = {\log _{2017}}\left( {{x^2} + 1} \right) \Rightarrow y' = \frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)'}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2017}} = \frac{{2{\rm{x}}}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2017}}\)