Câu 1:
Với các số thực dương a, b bất kỳ và khác 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. \(\log {a^b} = \frac{1}{b}\log a\)
B. \(\log \frac{a}{b} = \frac{{\log a}}{{\log b}}\)
C. \(\log a.\log b = \log \left( {ab} \right)\)
D. \({\log _a}b = \frac{{\ln b}}{{\ln a}}\)
Câu 2:
Cho a là số thực dương nhỏ hơn 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \({\log _a}\frac{2}{3} > {\log _a}3\)
B. \({\log _a}\sqrt 5 > {\log _a}2\)
C. \({\log _a}2 > 0\)
D. \({\log _2}a > 0\)
Câu 3:
Với các số thực dương a, b tùy ý. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. \({\log _3}\left( {\frac{{3{a^4}}}{{{b^2}}}} \right) = 3 + 2.{\log _3}a - 2.{\log _3}b\)
B. \({\log _3}\left( {\frac{{3{a^4}}}{{{b^2}}}} \right) = 1 - 4.{\log _3}a + 2.{\log _3}b\)
C. \({\log _3}\left( {\frac{{3{a^4}}}{{{b^2}}}} \right) = 1 + 4.lo{g_3}a - 2.{\log _3}b\)
D. \({\log _3}\left( {\frac{{3{a^4}}}{{{b^2}}}} \right) = 1 + 4.{\log _3}a + 2.{\log _3}b\)
Câu 4:
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn b = \log a + 1,c = \log b + 2. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(\log \frac{a}{b} = b + c + 1\)
B. \(\log \left( {ab} \right) = b + c - 3\)
C. \(\log \left( {ab} \right) = \left( {b - 1} \right)\left( {c - 2} \right)\)
D. \(\log \left( {ab} \right) = \frac{{b - 1}}{{c - 2}}\)
Câu 5:
Đặt \(a = {\log _2}3,b = lo{g_3}7\) . Hãy biểu diễn \({\log _6}21\) theo a và b.
A. \({\log _6}21 = \frac{{a - ab}}{{1 + a}}\)
B. \({\log _6}21 = \frac{{a + b}}{{1 + a}}\)
C. \({\log _6}21 = \frac{{a + ab}}{{1 + a}}\)
D. \({\log _6}21 = \frac{{a + ab}}{{1 - a}}\)
Câu 6:
Rút gọn biểu thức \(P = \frac{1}{{{{\log }_2}x}} + \frac{1}{{{{\log }_4}x}} + \frac{1}{{{{\log }_8}x}}\) với x là số thực dương khác 1.
A. \(P = \frac{{11}}{6}.{\log _2}x\)
B. \(P = 6.{\log _2}x\)
C. \(P = 6{\log _x}2\)
D. \(P = \frac{{11}}{6}{\log _x}2\)
Câu 7:
Cho các số thực dương \(1 > a > b > 0\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = - 3{\log _{{a^4}}}\frac{a}{b} + \log _b^2\left( {ab} \right)\)
A. \({P_{\min }} = 3\)
B. \({P_{\min }} = 4\)
C. \({P_{\min }} = \frac{5}{2}\)
D. \({P_{\min }} = \frac{3}{2}\)
Câu 8:
Tìm điều kiện xác định của hàm số \(f\left( x \right) = {\log _{\sqrt 3 }}\sqrt {2x + 1} - 6{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {3 - x} \right) - 12{\log _8}{\left( {x - 1} \right)^3}.\)
A. \(- \frac{1}{2} < x < 1\)
B. \(x<3\)
C. \(1<x<3\)
D. \(x>1\)
Câu 9:
Cho \({\log _3}15 = a\). Tính \(A = {\log _{25}}15\) theo a.
A. \(A = \frac{a}{{2\left( {1 - a} \right)}}\)
B. \(A = \frac{{2a}}{{a - 1}}\)
C. \(A = \frac{a}{{2\left( {a - 1} \right)}}\)
D. \(A = \frac{a}{{a - 1}}\)
Câu 10:
Cho các số thực a < b < 0. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. \(\ln {\left( {\frac{a}{b}} \right)^2} = \ln \left( {{a^2}} \right) - \ln \left( {{b^2}} \right)\)
B. \(\ln \left( {\sqrt {ab} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\ln a + \ln b} \right)\)
C. \(\ln \left( {\frac{a}{b}} \right) = \ln \left| a \right| - \ln \left| b \right|\)
D. \(\ln {\left( {ab} \right)^2} = \ln ({a^2}) + \ln ({b^2})\)
Câu 11:
Cho hàm số \(f(x) = \ln \left( {{x^4} + 1} \right).\) Tính đạo hàm f'(1).
A. \(f'(1) = \frac{{\ln 2}}{2}\)
B. \(f'(1) = 1\)
C. \(f'(1) = \frac{1}{2}\)
D. \(f'(1) = 2\)
Câu 12:
Tính giá trị của biểu thức: \(P = \ln \left( {\tan {1^0}} \right) + \ln \left( {\tan {2^0}} \right) + \ln \left( {\tan {3^0}} \right) + ... + \ln \left( {\tan {{89}^0}} \right).\)
A. P=1
B. \(P = \frac{1}{2}\)
C. P=0
D. P=2
Câu 13:
Cho a là một số thực dương khác 1. Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
1. Hàm số y = {\log _a}x có tập xác định là D = \left( {0; + \infty } \right).
2. Hàm số y = {\log _a}x là hàm đơn điệu trên khoảng \left( {0; + \infty } \right).
3. Đồ thị hàm số y = {\log _a}x và đồ thị hàm số y = {a^x} đối xứng nhau qua đường thẳng y=x.
4. Đồ thị hàm số y = {\log _a}x nhận trục Ox làm một tiệm cận.
A. 3
B. 4
C. 2
D. 1
Câu 14:
Cho số thực x thỏa mãn \(\log x = \frac{1}{2}\log 3a - 2\log b + 3\log \sqrt c\) (a, b, c là các số thực dương). Hãy biểu diễn x theo a, b, c.
A. \(x = \frac{{\sqrt {3a{c^3}} }}{{{b^2}}}\)
B. \(x = \frac{{\sqrt {3a} }}{{{b^2}{c^3}}}\)
C. \(x = \frac{{\sqrt {3a} .{c^3}}}{{{b^2}}}\)
D. \(x = \frac{{\sqrt {3ac} }}{{{b^2}}}\)
Câu 15:
Cho \(a = {\log _2}20.\) Tính \({\log _{20}}5\) theo a.
A. \({\log _{20}}5 = \frac{{5a}}{2}\)
B. \({\log _{20}}5 = \frac{{a + 1}}{a}\)
C. \({\log _{20}}5 = \frac{{a - 2}}{a}\)
D. \({\log _{20}}5 = \frac{{a + 1}}{{a - 2}}\)
Câu 16:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \ln \left( {4x - {x^2}} \right).\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(f'\left( 3 \right) = - 1,5\)
B. \(f'\left( 2 \right) = 0\)
C. \(f'\left( 5 \right) = 1,2\)
D. \(f'\left( -1 \right) =- 1,2\)
Câu 17:
Với \(a,b,c > 0;a \ne 1;\alpha \ne 0\) bất kì. Khẳng định nào sau đây sai?
A. \({\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c\)
B. \({\log _a}\frac{b}{c} = {\log _a}b - {\log _a}c\)
C. \({\log _{{\alpha ^a}}}b = \alpha {\log _a}b\)
D. \({\log _a}b.{\log _c}a = {\log _c}b\)
Câu 18:
Cho 3 số thực dương a, b, c khác 1. Đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x;y = {\log _b}x\)như hình vẽ.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(b<a<c\)
B. \(a<b<c\)
C. \(a<c<b\)
D. \(c<a<b\)
Câu 19:
Tập xác định D của hàm số \(y = \sqrt {\ln \left( {x - 1} \right) + \ln \left( {x + 1} \right)} .\)
A. \(D = \left( {1; + \infty } \right).\)
B. \(D = \left( { - \infty ;\sqrt 2 } \right).\)
C. \(D = \emptyset .\)
D. \(D = \left[ {\sqrt 2 ; + \infty } \right).\)
Câu 20:
Tính đạo hàm của hàm số \(y = {\log _5}\left( {{x^2} + x + 1} \right).\)
A. \(y' = \frac{{2x + 1}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\ln 5}}.\)
B. \(y' = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}.\)
C. \(y' = \left( {2x + 1} \right)\ln 5.\)
D. \(y' = \frac{1}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\ln 5}}.\)
Với các số thực dương a, b bất kỳ và khác 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. \(\log {a^b} = \frac{1}{b}\log a\)
B. \(\log \frac{a}{b} = \frac{{\log a}}{{\log b}}\)
C. \(\log a.\log b = \log \left( {ab} \right)\)
D. \({\log _a}b = \frac{{\ln b}}{{\ln a}}\)
Với \(a,b > 0,a \ne 1,b \ne 1\), ta có:
\(\log {a^b} = b\log a \Rightarrow\) A sai
\(\log \frac{a}{b} = \log a - \log b \Rightarrow\) B sai
\(\log \left( {ab} \right) = \log a + \log b \Rightarrow\) C sai.
\(\frac{{\ln b}}{{\ln a}} = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}} = {\log _a}b \Rightarrow\) D đúng.
\(\log {a^b} = b\log a \Rightarrow\) A sai
\(\log \frac{a}{b} = \log a - \log b \Rightarrow\) B sai
\(\log \left( {ab} \right) = \log a + \log b \Rightarrow\) C sai.
\(\frac{{\ln b}}{{\ln a}} = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}} = {\log _a}b \Rightarrow\) D đúng.
Cho a là số thực dương nhỏ hơn 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \({\log _a}\frac{2}{3} > {\log _a}3\)
B. \({\log _a}\sqrt 5 > {\log _a}2\)
C. \({\log _a}2 > 0\)
D. \({\log _2}a > 0\)
Do a < 1 nên hàm số \({\log _a}x\) nghịch biến.
Do đó \({\log _a}\frac{2}{3} > {\log _a}3\)
Do đó \({\log _a}\frac{2}{3} > {\log _a}3\)
Với các số thực dương a, b tùy ý. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. \({\log _3}\left( {\frac{{3{a^4}}}{{{b^2}}}} \right) = 3 + 2.{\log _3}a - 2.{\log _3}b\)
B. \({\log _3}\left( {\frac{{3{a^4}}}{{{b^2}}}} \right) = 1 - 4.{\log _3}a + 2.{\log _3}b\)
C. \({\log _3}\left( {\frac{{3{a^4}}}{{{b^2}}}} \right) = 1 + 4.lo{g_3}a - 2.{\log _3}b\)
D. \({\log _3}\left( {\frac{{3{a^4}}}{{{b^2}}}} \right) = 1 + 4.{\log _3}a + 2.{\log _3}b\)
Với a, b > 0 ta có: \({\log _3}\left( {\frac{{3{a^4}}}{{{b^2}}}} \right) = {\log _3}3 + {\log _3}{a^4} - {\log _3}{b^2} = 1 + 4{\log _3}a - 2{\log _3}b\)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn b = \log a + 1,c = \log b + 2. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(\log \frac{a}{b} = b + c + 1\)
B. \(\log \left( {ab} \right) = b + c - 3\)
C. \(\log \left( {ab} \right) = \left( {b - 1} \right)\left( {c - 2} \right)\)
D. \(\log \left( {ab} \right) = \frac{{b - 1}}{{c - 2}}\)
Với a,b,c > 0 ta có:
\(\log \frac{a}{b} = b + c + 1 \Leftrightarrow {\log _a} - {\log _b} = b + c + 1 \Leftrightarrow \left( {b - 1} \right) - \left( {c - 2} \right) = b + c + 1 \Rightarrow A\) sai
\(\log \left( {ab} \right) = b + c - 3 \Leftrightarrow \log a + \log b = b + c - 3\)
\(\Leftrightarrow \left( {b - 1} \right) + \left( {c - 2} \right) = b + c - 3 \Rightarrow B\) đúng.
\(\log \left( {ab} \right) = \left( {b - 1} \right)\left( {c - 2} \right) \Leftrightarrow \log a + \log b = bc - 2b - c + 2\)
\(\Leftrightarrow \left( {b - 1} \right) + \left( {c - 2} \right) = bc - 2b - c + 2 \Rightarrow C\) Sai
\(\log \left( {ab} \right) = \frac{{b - 1}}{{c - 2}} \Leftrightarrow \log a + \log b = \frac{{b - 1}}{{c - 2}} \Leftrightarrow \left( {b - 1} \right) + \left( {c - 1} \right) = \frac{{b - 1}}{{c - 2}} \Rightarrow D\)sai.
\(\log \frac{a}{b} = b + c + 1 \Leftrightarrow {\log _a} - {\log _b} = b + c + 1 \Leftrightarrow \left( {b - 1} \right) - \left( {c - 2} \right) = b + c + 1 \Rightarrow A\) sai
\(\log \left( {ab} \right) = b + c - 3 \Leftrightarrow \log a + \log b = b + c - 3\)
\(\Leftrightarrow \left( {b - 1} \right) + \left( {c - 2} \right) = b + c - 3 \Rightarrow B\) đúng.
\(\log \left( {ab} \right) = \left( {b - 1} \right)\left( {c - 2} \right) \Leftrightarrow \log a + \log b = bc - 2b - c + 2\)
\(\Leftrightarrow \left( {b - 1} \right) + \left( {c - 2} \right) = bc - 2b - c + 2 \Rightarrow C\) Sai
\(\log \left( {ab} \right) = \frac{{b - 1}}{{c - 2}} \Leftrightarrow \log a + \log b = \frac{{b - 1}}{{c - 2}} \Leftrightarrow \left( {b - 1} \right) + \left( {c - 1} \right) = \frac{{b - 1}}{{c - 2}} \Rightarrow D\)sai.
Đặt \(a = {\log _2}3,b = lo{g_3}7\) . Hãy biểu diễn \({\log _6}21\) theo a và b.
A. \({\log _6}21 = \frac{{a - ab}}{{1 + a}}\)
B. \({\log _6}21 = \frac{{a + b}}{{1 + a}}\)
C. \({\log _6}21 = \frac{{a + ab}}{{1 + a}}\)
D. \({\log _6}21 = \frac{{a + ab}}{{1 - a}}\)
Ta có:
\({\log _6}21 = \frac{{{{\log }_2}21}}{{{{\log }_2}6}} = \frac{{{{\log }_2}3 + {{\log }_2}7}}{{1 + {{\log }_2}3}} = \frac{{1 + {{\log }_2}3.{{\log }_3}7}}{{1 + a}} = \frac{{a + ab}}{{1 + a}}\)
\({\log _6}21 = \frac{{{{\log }_2}21}}{{{{\log }_2}6}} = \frac{{{{\log }_2}3 + {{\log }_2}7}}{{1 + {{\log }_2}3}} = \frac{{1 + {{\log }_2}3.{{\log }_3}7}}{{1 + a}} = \frac{{a + ab}}{{1 + a}}\)
Rút gọn biểu thức \(P = \frac{1}{{{{\log }_2}x}} + \frac{1}{{{{\log }_4}x}} + \frac{1}{{{{\log }_8}x}}\) với x là số thực dương khác 1.
A. \(P = \frac{{11}}{6}.{\log _2}x\)
B. \(P = 6.{\log _2}x\)
C. \(P = 6{\log _x}2\)
D. \(P = \frac{{11}}{6}{\log _x}2\)
Ta có
\(P = \frac{1}{{{{\log }_2}x}} + \frac{1}{{{{\log }_4}x}} + \frac{1}{{{{\log }_8}x}} = {\log _x}2 + {\log _x}4 + {\log _x}8 = {\log _x}64 = 6.{\log _x}2\)
\(P = \frac{1}{{{{\log }_2}x}} + \frac{1}{{{{\log }_4}x}} + \frac{1}{{{{\log }_8}x}} = {\log _x}2 + {\log _x}4 + {\log _x}8 = {\log _x}64 = 6.{\log _x}2\)
Cho các số thực dương \(1 > a > b > 0\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = - 3{\log _{{a^4}}}\frac{a}{b} + \log _b^2\left( {ab} \right)\)
A. \({P_{\min }} = 3\)
B. \({P_{\min }} = 4\)
C. \({P_{\min }} = \frac{5}{2}\)
D. \({P_{\min }} = \frac{3}{2}\)
Ta có: \(P = - \frac{3}{4}{\log _a}\frac{a}{b} + {\left( {{{\log }_b}\left( {ab} \right)} \right)^2} = - \frac{3}{4}\left( {1 - {{\log }_a}b} \right) + {\left( {{{\log }_b}a + 1} \right)^2}\)
Đặt \(t = {\log _b}a\left( {0 < t < 1} \right)\) ta có: \(P = \frac{{ - 3}}{4}\left( {1 - \frac{1}{t}} \right) + {\left( {t + 1} \right)^2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{{4t}} + {t^2} + 2t = f\left( t \right)\)
Khi đó \(f'\left( t \right) = - \frac{3}{{4{t^2}}} + 2t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}\)
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại \(t = \frac{1}{2}\)
Giá trị nhỏ nhất: \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 3\)
Do đó \({P_{\min }} = 3\) khi \(t = \frac{1}{2}\)
Đặt \(t = {\log _b}a\left( {0 < t < 1} \right)\) ta có: \(P = \frac{{ - 3}}{4}\left( {1 - \frac{1}{t}} \right) + {\left( {t + 1} \right)^2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{{4t}} + {t^2} + 2t = f\left( t \right)\)
Khi đó \(f'\left( t \right) = - \frac{3}{{4{t^2}}} + 2t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}\)
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại \(t = \frac{1}{2}\)
Giá trị nhỏ nhất: \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 3\)
Do đó \({P_{\min }} = 3\) khi \(t = \frac{1}{2}\)
Tìm điều kiện xác định của hàm số \(f\left( x \right) = {\log _{\sqrt 3 }}\sqrt {2x + 1} - 6{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {3 - x} \right) - 12{\log _8}{\left( {x - 1} \right)^3}.\)
A. \(- \frac{1}{2} < x < 1\)
B. \(x<3\)
C. \(1<x<3\)
D. \(x>1\)
Tập xác định:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {2x + 1 > 0}\\ {3 - x > 0} \end{array}}\\ {x - 1 > 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {x > - \frac{1}{2}}\\ {x < 3} \end{array}}\\ {x > 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow 1 < x < 3\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {2x + 1 > 0}\\ {3 - x > 0} \end{array}}\\ {x - 1 > 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {x > - \frac{1}{2}}\\ {x < 3} \end{array}}\\ {x > 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow 1 < x < 3\)
Cho \({\log _3}15 = a\). Tính \(A = {\log _{25}}15\) theo a.
A. \(A = \frac{a}{{2\left( {1 - a} \right)}}\)
B. \(A = \frac{{2a}}{{a - 1}}\)
C. \(A = \frac{a}{{2\left( {a - 1} \right)}}\)
D. \(A = \frac{a}{{a - 1}}\)
Ta có: \(a = {\log _3}15 \Rightarrow {\log _3}5 + {\log _3}3 = a \Rightarrow {\log _3}5 = a - 1\)
\({\log _{25}}15 = \frac{{{{\log }_3}15}}{{{{\log }_3}25}} = \frac{{{{\log }_3}\left( {3.5} \right)}}{{{{\log }_3}{5^2}}} = \frac{{1 + {{\log }_3}5}}{{2.{{\log }_3}5}} = \frac{{1 + a - 1}}{{2.\left( {a - 1} \right)}} = \frac{a}{{2.\left( {a - 1} \right)}}.\)
\({\log _{25}}15 = \frac{{{{\log }_3}15}}{{{{\log }_3}25}} = \frac{{{{\log }_3}\left( {3.5} \right)}}{{{{\log }_3}{5^2}}} = \frac{{1 + {{\log }_3}5}}{{2.{{\log }_3}5}} = \frac{{1 + a - 1}}{{2.\left( {a - 1} \right)}} = \frac{a}{{2.\left( {a - 1} \right)}}.\)
Cho các số thực a < b < 0. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. \(\ln {\left( {\frac{a}{b}} \right)^2} = \ln \left( {{a^2}} \right) - \ln \left( {{b^2}} \right)\)
B. \(\ln \left( {\sqrt {ab} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\ln a + \ln b} \right)\)
C. \(\ln \left( {\frac{a}{b}} \right) = \ln \left| a \right| - \ln \left| b \right|\)
D. \(\ln {\left( {ab} \right)^2} = \ln ({a^2}) + \ln ({b^2})\)
Ta có: \(\ln \left( {\sqrt {ab} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\ln a + \ln b} \right)\) sai, sửa lại đúng là: \(\ln \left( {\sqrt {ab} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\ln \left| a \right| + \ln \left| b \right|} \right).\)
Cho hàm số \(f(x) = \ln \left( {{x^4} + 1} \right).\) Tính đạo hàm f'(1).
A. \(f'(1) = \frac{{\ln 2}}{2}\)
B. \(f'(1) = 1\)
C. \(f'(1) = \frac{1}{2}\)
D. \(f'(1) = 2\)
\(f'(x) = \frac{{4{x^3}}}{{{x^4} + 1}} \Rightarrow f'(1) = 2.\)
Tính giá trị của biểu thức: \(P = \ln \left( {\tan {1^0}} \right) + \ln \left( {\tan {2^0}} \right) + \ln \left( {\tan {3^0}} \right) + ... + \ln \left( {\tan {{89}^0}} \right).\)
A. P=1
B. \(P = \frac{1}{2}\)
C. P=0
D. P=2
Ta có \(P = \ln \left( {\tan {1^0}.\tan {2^0}.\tan {3^0}...\tan {{89}^0}} \right).\)
Mặt khác
\(\tan x = \cot \left( {{{90}^0} - x} \right) \Rightarrow \tan x.\tan \left( {{{90}^0} - x} \right) = 1\)
\(\Rightarrow P = \ln \left( {\left( {\tan {1^0}.\tan {{89}^0}} \right) \left( {\tan {2^0}.\tan {{88}^0}} \right)...\tan {{45}^0}} \right) \Rightarrow P = \ln 1 = 0.\)
Mặt khác
\(\tan x = \cot \left( {{{90}^0} - x} \right) \Rightarrow \tan x.\tan \left( {{{90}^0} - x} \right) = 1\)
\(\Rightarrow P = \ln \left( {\left( {\tan {1^0}.\tan {{89}^0}} \right) \left( {\tan {2^0}.\tan {{88}^0}} \right)...\tan {{45}^0}} \right) \Rightarrow P = \ln 1 = 0.\)
Cho a là một số thực dương khác 1. Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
1. Hàm số y = {\log _a}x có tập xác định là D = \left( {0; + \infty } \right).
2. Hàm số y = {\log _a}x là hàm đơn điệu trên khoảng \left( {0; + \infty } \right).
3. Đồ thị hàm số y = {\log _a}x và đồ thị hàm số y = {a^x} đối xứng nhau qua đường thẳng y=x.
4. Đồ thị hàm số y = {\log _a}x nhận trục Ox làm một tiệm cận.
A. 3
B. 4
C. 2
D. 1
Xét hàm số \(y = {\log _a}x\) có tập xác định \(D = \left( {0; + \infty } \right).\) Ta có \(y' = \frac{1}{{x.\ln a}},\forall x > 0\)
+) Hàm số đồng biến trên \(D = \left( {0; + \infty } \right)\) khi a>1 và nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) khi \(0 < a \ne 1\)
+) Đồ thị qua điểm M(1;0), nằm bên phải trục tung và nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
+) Đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\) và đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) đối xứng với nhau qua đường thẳng y=x.
+) Đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\) nhận trục Oy làm tiệm cận đứng.
Do đó các mệnh đề 1, 2, 3 đúng, 4 sai.
+) Hàm số đồng biến trên \(D = \left( {0; + \infty } \right)\) khi a>1 và nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) khi \(0 < a \ne 1\)
+) Đồ thị qua điểm M(1;0), nằm bên phải trục tung và nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
+) Đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\) và đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) đối xứng với nhau qua đường thẳng y=x.
+) Đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\) nhận trục Oy làm tiệm cận đứng.
Do đó các mệnh đề 1, 2, 3 đúng, 4 sai.
Cho số thực x thỏa mãn \(\log x = \frac{1}{2}\log 3a - 2\log b + 3\log \sqrt c\) (a, b, c là các số thực dương). Hãy biểu diễn x theo a, b, c.
A. \(x = \frac{{\sqrt {3a{c^3}} }}{{{b^2}}}\)
B. \(x = \frac{{\sqrt {3a} }}{{{b^2}{c^3}}}\)
C. \(x = \frac{{\sqrt {3a} .{c^3}}}{{{b^2}}}\)
D. \(x = \frac{{\sqrt {3ac} }}{{{b^2}}}\)
Ta có|:
\(\log x = \frac{1}{2}\log 3a - 2\log b + 3\log \sqrt c = \log \sqrt {3a} - \log {b^2} + \log \left( {c\sqrt c } \right)\)
\(= \log \frac{{\sqrt {3a} .c.\sqrt c }}{{{b^2}}} \Rightarrow x = \frac{{\sqrt {3a{c^3}} }}{{{b^2}}}.\)
\(\log x = \frac{1}{2}\log 3a - 2\log b + 3\log \sqrt c = \log \sqrt {3a} - \log {b^2} + \log \left( {c\sqrt c } \right)\)
\(= \log \frac{{\sqrt {3a} .c.\sqrt c }}{{{b^2}}} \Rightarrow x = \frac{{\sqrt {3a{c^3}} }}{{{b^2}}}.\)
Cho \(a = {\log _2}20.\) Tính \({\log _{20}}5\) theo a.
A. \({\log _{20}}5 = \frac{{5a}}{2}\)
B. \({\log _{20}}5 = \frac{{a + 1}}{a}\)
C. \({\log _{20}}5 = \frac{{a - 2}}{a}\)
D. \({\log _{20}}5 = \frac{{a + 1}}{{a - 2}}\)
\({\log _{20}}5 = \frac{{{{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}20}} = \frac{1}{a}\left( {{{\log }_2}\left( {20.\frac{1}{4}} \right)} \right) = \frac{{{{\log }_2}20 - {{\log }_2}\frac{1}{4}}}{a} = \frac{{a - 2}}{a}.\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \ln \left( {4x - {x^2}} \right).\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(f'\left( 3 \right) = - 1,5\)
B. \(f'\left( 2 \right) = 0\)
C. \(f'\left( 5 \right) = 1,2\)
D. \(f'\left( -1 \right) =- 1,2\)
Điều kiện: \(4x - {x^2} > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 4.\) Loại C và D.
\(y' = \frac{{4 - 2x}}{{4x - {x^2}}} \Rightarrow f'\left( 2 \right) = 0.\)
\(y' = \frac{{4 - 2x}}{{4x - {x^2}}} \Rightarrow f'\left( 2 \right) = 0.\)
Với \(a,b,c > 0;a \ne 1;\alpha \ne 0\) bất kì. Khẳng định nào sau đây sai?
A. \({\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c\)
B. \({\log _a}\frac{b}{c} = {\log _a}b - {\log _a}c\)
C. \({\log _{{\alpha ^a}}}b = \alpha {\log _a}b\)
D. \({\log _a}b.{\log _c}a = {\log _c}b\)
\({\log _{{\alpha ^a}}}b = \alpha {\log _a}b\) là công thức sai, đúng là: \({\log _{{\alpha ^a}}}b = \frac{1}{\alpha }{\log _a}b.\)
Cho 3 số thực dương a, b, c khác 1. Đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x;y = {\log _b}x\)như hình vẽ.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(b<a<c\)
B. \(a<b<c\)
C. \(a<c<b\)
D. \(c<a<b\)
Dựa vào đồ thị ta có \(a < 1;b > 1;c > 1.\)
Hơn nữa với cùng giá trị x thì \({\log _c}x < {\log _b}x \Rightarrow c > b.\)
Hơn nữa với cùng giá trị x thì \({\log _c}x < {\log _b}x \Rightarrow c > b.\)
Tập xác định D của hàm số \(y = \sqrt {\ln \left( {x - 1} \right) + \ln \left( {x + 1} \right)} .\)
A. \(D = \left( {1; + \infty } \right).\)
B. \(D = \left( { - \infty ;\sqrt 2 } \right).\)
C. \(D = \emptyset .\)
D. \(D = \left[ {\sqrt 2 ; + \infty } \right).\)
Điều kiện xác định:
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x - 1 > 0\\ x + 1 > 0\\ \ln \left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \right] \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 1\\ {x^2} - 1 \ge 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 1\\ x \le - \sqrt 2 \vee x \ge \sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge \sqrt 2 . \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x - 1 > 0\\ x + 1 > 0\\ \ln \left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \right] \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 1\\ {x^2} - 1 \ge 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 1\\ x \le - \sqrt 2 \vee x \ge \sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge \sqrt 2 . \end{array}\)
Tính đạo hàm của hàm số \(y = {\log _5}\left( {{x^2} + x + 1} \right).\)
A. \(y' = \frac{{2x + 1}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\ln 5}}.\)
B. \(y' = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}.\)
C. \(y' = \left( {2x + 1} \right)\ln 5.\)
D. \(y' = \frac{1}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\ln 5}}.\)
Ta có: \(y' = \frac{{{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^\prime }}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right).\ln 5}} = \frac{{2x + 1}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right).\ln 5}}.\)