Câu 21:
Một học sinh giải bài toán: “Biết \({\log _{27}}5 = a;{\log _8}7 = b;{\log _2}3 = c\) . Tính \({\log _6}35\) lần lượt như sau:
I. Ta có \(a = {\log _{27}}5 = {\log _{{3^3}}}5 = \frac{1}{3}{\log _3}5.\) Suy ra \({\log _3}5 = 3a\) nên \({\log _2}5 = {\log _2}3.{\log _3}5 = 3ac\)
II. Tương tự \(b = {\log _8}7 = {\log _{{2^3}}}7 = \frac{1}{3}{\log _2}7 \Rightarrow {\log _2}7 = 3b\)
III. Từ đó: \({\log _6}35 = {\log _6}2.{\log _2}\left( {5.7} \right) = \frac{1}{{{{\log }_2}6}}\left( {{{\log }_2}5 + {{\log }_2}7} \right)\)\(= \frac{{3ac + 3b}}{{{{\log }_2}2 + {{\log }_2}3}} = \frac{{3ac + 3b}}{{1 + c}}\)
Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Lời giải trên sai từ giai đoạn I.
B. Lời giải trên sai từ giai đoạn II.
C. Lời giải trên sau từ giai đoạn III.
D. Lời giải trên đúng.
Câu 2:
Cho a, b là độ dài hai cạnh góc vuông, c là độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông, trong đó \(c - b \ne 1\) và \(c + b \ne 1\). Kết luận nào sau đây là đúng?
A. \({\log _{c + b}}a + {\log _{c - b}}a = 2{\log _{c + b}}a.{\log _{c - b}}a\)
B. \({\log _{c + b}}a + {\log _{c - b}}a = - 2{\log _{c + b}}a.{\log _{c - b}}a\)
C. \({\log _{c + b}}a + {\log _{c - b}}a = {\log _{c + b}}a.{\log _{c - b}}a\)
D. \({\log _{c + b}}a + {\log _{c - b}}a = - {\log _{c + b}}a.{\log _{c - b}}a\)
Câu 3:
Cho các số thực dương a, b thỏa mãn \({\log _9}a = {\log _{12}}b = {\log _{16}}\left( {a + b} \right)\). Tính tỉ số \(T = \frac{a}{b}.\)
A. \(T = \frac{4}{3}\)
B. \(T = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}\)
C. \(T = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\)
D. \(T = \frac{8}{5}\)
Câu 4:
Cường độ một trận động đất được xác định bởi công thức \(M = \log A - \log {A_0}\) độ Richter, với A là biên độ rung chấn tối đa và A0 là một biên độ chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ 20, một trận động đất ở San Francisco có cường độ đo được 8 độ Richter. Trong cùng năm đó, trận động đất khác ở Nhật Bản có cường độ đo được 6 độ Richer. Hỏi trận động đất ở San Francisco có biên độ gấp bao nhiêu lần biên độ trận động đất ở Nhật bản?
A. 1000 lần
B. 10 lần
C. 2 lần
D. 100 lần
Câu 5:
Gọi \(T = \frac{1}{{\frac{1}{{{{\log }_a}x}} + \frac{1}{{{{\log }_b}x}} + \frac{1}{{{{\log }_c}x}} + \frac{1}{{{{\log }_d}x}}}}\), với a, b, c, x thích hợp để biểu thức có nghĩa. Đẳng thức nào sau đây là sai?
A. \(T = {\log _{abcd}}x\)
B. \(T = loa{g_x}\left ( abcd \right )\)
C. \(T = \frac{1}{{{{\log }_x}\left ( abcd \right )}}\)
D. \(T = \frac{1}{{{{\log }_x}a + {{\log }_x}b + {{\log }_x}c + {{\log }_x}d}}\)
Câu 6:
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Nếu a>1 thì \({\log _a}M > {\log _a}N \Leftrightarrow M > N > 0.\)
B. Nếu 0<a<1 thì \({\log _a}M > {\log _a}N \Leftrightarrow 0 < M < N\).
C. Nếu M,N>0 và \(0 < a \ne 1\) thì \({\log _a}(M.N) = {\log _a}M.{\log _a}N\).
D. Nếu \(0 < a < 1\) thì \({\log _a}2016 > {\log _a}2017.\)
Câu 7:
Đặt \(\log 4 = a\), biểu diễn \(\log 4000\,\) theo a.
A. \(\log 4000\, = 3 + a\)
B. \(\log 4000\, = 4 + a\)
C. \(\log 4000\, = 3 + 2a\)
D. \(\log 4000\, = 4 + 2a\)
Câu 8:
Tìm tập xác định của hàm số \(f(x) = {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt {x + 1} - {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {3 - x} \right) - {\log _8}{\left( {x - 1} \right)^3}\).
A. \(D = \left( {1;3} \right)\)
B. \(D = \left( {-1;1} \right)\)
C. \(D = \left( {-\infty ;3} \right)\)
D. \(D = \left( 1;{+\infty } \right)\)
Câu 9:
Rút gọn biểu thức \(A = {\log _a}\frac{{{a^2}.\sqrt[3]{{{a^2}}}.a.\sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[3]{a}}}\) với \(a > 0;\,\,a \ne 1\).
A. \(A = \frac{{62}}{5}\)
B. \(A = \frac{{16}}{5}\)
C. \(A = \frac{{22}}{5}\)
D. \(A = \frac{{67}}{5}\)
Câu 10:
Tính đạo hàm của hàm số \(f(x) = (3 + \ln x)\ln x\).
A. \(f'(x) = 1\)
B. \(f'(x) = \left( {3 + \frac{1}{x}} \right).\frac{1}{x}\)
C. \(f'(x) = \frac{{3 + 2\ln x}}{x}\)
D. \(f'(x) = \frac{{ - 2 - \ln x}}{x}\)
Câu 11:
Tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\ln ^2}\left( {1 - x} \right)\).
A. \(f'\left( x \right) = \frac{{2\ln \left( {1 - x} \right)}}{{x - 1}}\)
B. \(f'\left( x \right) = \frac{{2\ln \left( {1 - x} \right)}}{{1 - x}}\)
C. \(f'\left( x \right) = 2\ln \left( {1 - x} \right)\)
D. \(f'\left( x \right) = - 2\ln \left( {1 - x} \right)\)
Một học sinh giải bài toán: “Biết \({\log _{27}}5 = a;{\log _8}7 = b;{\log _2}3 = c\) . Tính \({\log _6}35\) lần lượt như sau:
I. Ta có \(a = {\log _{27}}5 = {\log _{{3^3}}}5 = \frac{1}{3}{\log _3}5.\) Suy ra \({\log _3}5 = 3a\) nên \({\log _2}5 = {\log _2}3.{\log _3}5 = 3ac\)
II. Tương tự \(b = {\log _8}7 = {\log _{{2^3}}}7 = \frac{1}{3}{\log _2}7 \Rightarrow {\log _2}7 = 3b\)
III. Từ đó: \({\log _6}35 = {\log _6}2.{\log _2}\left( {5.7} \right) = \frac{1}{{{{\log }_2}6}}\left( {{{\log }_2}5 + {{\log }_2}7} \right)\)\(= \frac{{3ac + 3b}}{{{{\log }_2}2 + {{\log }_2}3}} = \frac{{3ac + 3b}}{{1 + c}}\)
Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Lời giải trên sai từ giai đoạn I.
B. Lời giải trên sai từ giai đoạn II.
C. Lời giải trên sau từ giai đoạn III.
D. Lời giải trên đúng.
Xét giai đoạn thứ nhất: Đây là một giai đoạn đúng.
Ta có \({\log _3}5 = \frac{{{{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3}} \Leftrightarrow {\log _2}5 = {\log _3}5.{\log _2}3\)
Tương tự với giai đoạn II và giai đoạn III đều đúng.
Vậy đáp án cuối cùng là D.
Ta có \({\log _3}5 = \frac{{{{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3}} \Leftrightarrow {\log _2}5 = {\log _3}5.{\log _2}3\)
Tương tự với giai đoạn II và giai đoạn III đều đúng.
Vậy đáp án cuối cùng là D.
Cho a, b là độ dài hai cạnh góc vuông, c là độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông, trong đó \(c - b \ne 1\) và \(c + b \ne 1\). Kết luận nào sau đây là đúng?
A. \({\log _{c + b}}a + {\log _{c - b}}a = 2{\log _{c + b}}a.{\log _{c - b}}a\)
B. \({\log _{c + b}}a + {\log _{c - b}}a = - 2{\log _{c + b}}a.{\log _{c - b}}a\)
C. \({\log _{c + b}}a + {\log _{c - b}}a = {\log _{c + b}}a.{\log _{c - b}}a\)
D. \({\log _{c + b}}a + {\log _{c - b}}a = - {\log _{c + b}}a.{\log _{c - b}}a\)
Tam giác vuông nên: \({a^2} + {b^2} = {c^2}\)
\({a^2} = {c^2} - {b^2} = \left( {c - b} \right)\left( {c + b} \right).{\rm{ }}\left( * \right)\)
Ta có: \({\log _{c + b}}a + {\log _{c - b}}a = \frac{1}{{{{\log }_a}\left( {c + b} \right)}} + \frac{1}{{{{\log }_a}\left( {c - b} \right)}}\)
\(= \frac{{{{\log }_a}\left( {c - b} \right) + {{\log }_a}\left( {c + b} \right)}}{{{{\log }_a}\left( {c + b} \right).{{\log }_a}\left( {c - b} \right)}}\)\(= \frac{{{{\log }_a}\left( {\left( {c - b} \right)\left( {c + b} \right)} \right)}}{{{{\log }_a}\left( {c + b} \right).{{\log }_a}\left( {c - b} \right)}}\)
\(= {\log _a}\left( {{a^2}} \right).{\log _{c + b}}a.{\log _{c - b}}a\)\(= 2{\log _{c + b}}a.{\log _{c - b}}a\)
(Áp dụng công thức \({\log _\alpha }\beta = \frac{1}{{{{\log }_\beta }\alpha }}\) )
Vậy đáp án đúng là đáp án A
\({a^2} = {c^2} - {b^2} = \left( {c - b} \right)\left( {c + b} \right).{\rm{ }}\left( * \right)\)
Ta có: \({\log _{c + b}}a + {\log _{c - b}}a = \frac{1}{{{{\log }_a}\left( {c + b} \right)}} + \frac{1}{{{{\log }_a}\left( {c - b} \right)}}\)
\(= \frac{{{{\log }_a}\left( {c - b} \right) + {{\log }_a}\left( {c + b} \right)}}{{{{\log }_a}\left( {c + b} \right).{{\log }_a}\left( {c - b} \right)}}\)\(= \frac{{{{\log }_a}\left( {\left( {c - b} \right)\left( {c + b} \right)} \right)}}{{{{\log }_a}\left( {c + b} \right).{{\log }_a}\left( {c - b} \right)}}\)
\(= {\log _a}\left( {{a^2}} \right).{\log _{c + b}}a.{\log _{c - b}}a\)\(= 2{\log _{c + b}}a.{\log _{c - b}}a\)
(Áp dụng công thức \({\log _\alpha }\beta = \frac{1}{{{{\log }_\beta }\alpha }}\) )
Vậy đáp án đúng là đáp án A
Cho các số thực dương a, b thỏa mãn \({\log _9}a = {\log _{12}}b = {\log _{16}}\left( {a + b} \right)\). Tính tỉ số \(T = \frac{a}{b}.\)
A. \(T = \frac{4}{3}\)
B. \(T = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}\)
C. \(T = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\)
D. \(T = \frac{8}{5}\)
Đặt \(k = {\log _9}a = {\log _{12}}b = {\log _{16}}\left( {a + b} \right)\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = {9^k}\\b = {12^k}\\a + b = {16^k}\end{array} \right. \Rightarrow {9^k} + {12^k} = {16^k} \Rightarrow \frac{{{9^k}}}{{{{16}^k}}} + \frac{{{3^k}}}{{{4^k}}} = 1\)
Đặt \(t = \frac{{{3^k}}}{{{4^k}}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t^2} + t - 1 = 0\\t > 0\end{array} \right. \Rightarrow t = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\)
\( \Rightarrow T = \frac{b}{a} = \frac{{{4^k}}}{{{3^k}}} = \frac{1}{t} = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}.\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = {9^k}\\b = {12^k}\\a + b = {16^k}\end{array} \right. \Rightarrow {9^k} + {12^k} = {16^k} \Rightarrow \frac{{{9^k}}}{{{{16}^k}}} + \frac{{{3^k}}}{{{4^k}}} = 1\)
Đặt \(t = \frac{{{3^k}}}{{{4^k}}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t^2} + t - 1 = 0\\t > 0\end{array} \right. \Rightarrow t = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\)
\( \Rightarrow T = \frac{b}{a} = \frac{{{4^k}}}{{{3^k}}} = \frac{1}{t} = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}.\)
Cường độ một trận động đất được xác định bởi công thức \(M = \log A - \log {A_0}\) độ Richter, với A là biên độ rung chấn tối đa và A0 là một biên độ chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ 20, một trận động đất ở San Francisco có cường độ đo được 8 độ Richter. Trong cùng năm đó, trận động đất khác ở Nhật Bản có cường độ đo được 6 độ Richer. Hỏi trận động đất ở San Francisco có biên độ gấp bao nhiêu lần biên độ trận động đất ở Nhật bản?
A. 1000 lần
B. 10 lần
C. 2 lần
D. 100 lần
Ta có \(M = \log \frac{{{A_1}}}{{{A_0}}} \Rightarrow \frac{{{A_1}}}{{{A_0}}} = {10^8}\)
Tương tự \(\frac{{{A_2}}}{{{A_0}}} = {10^6} \Rightarrow \frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \frac{{{{10}^8}}}{{{{10}^6}}} = 100\)
Tương tự \(\frac{{{A_2}}}{{{A_0}}} = {10^6} \Rightarrow \frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \frac{{{{10}^8}}}{{{{10}^6}}} = 100\)
Gọi \(T = \frac{1}{{\frac{1}{{{{\log }_a}x}} + \frac{1}{{{{\log }_b}x}} + \frac{1}{{{{\log }_c}x}} + \frac{1}{{{{\log }_d}x}}}}\), với a, b, c, x thích hợp để biểu thức có nghĩa. Đẳng thức nào sau đây là sai?
A. \(T = {\log _{abcd}}x\)
B. \(T = loa{g_x}\left ( abcd \right )\)
C. \(T = \frac{1}{{{{\log }_x}\left ( abcd \right )}}\)
D. \(T = \frac{1}{{{{\log }_x}a + {{\log }_x}b + {{\log }_x}c + {{\log }_x}d}}\)
Các công thức cần nhớ:
\(\frac{1}{{{{\log }_a}b}} = {\log _b}a{\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Công thức \({\log _a}x + {\log _a}y = {\log _a}\left ( xy \right )\left( 2 \right)\)
Áp dụng vào bài toán này.
Ta có \(T = \frac{1}{{{{\log }_x}a + {{\log }_x}b + {{\log }_x}c + {{\log }_x}d}}\) (áp dụng công thức (1)). Vậy ý D đúng.
\(T= \frac{1}{{{{\log }_x}\left ( abcd \right )}}\) (áp dụng công thức (2)). Vậy ý C đúng.
\(T={\log _{abcd}}x\) (áp dụng công thức(1) ). Vậy ý A đúng.
Chỉ còn lại ý B. Vậy chúng ta chọn B.
\(\frac{1}{{{{\log }_a}b}} = {\log _b}a{\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Công thức \({\log _a}x + {\log _a}y = {\log _a}\left ( xy \right )\left( 2 \right)\)
Áp dụng vào bài toán này.
Ta có \(T = \frac{1}{{{{\log }_x}a + {{\log }_x}b + {{\log }_x}c + {{\log }_x}d}}\) (áp dụng công thức (1)). Vậy ý D đúng.
\(T= \frac{1}{{{{\log }_x}\left ( abcd \right )}}\) (áp dụng công thức (2)). Vậy ý C đúng.
\(T={\log _{abcd}}x\) (áp dụng công thức(1) ). Vậy ý A đúng.
Chỉ còn lại ý B. Vậy chúng ta chọn B.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Nếu a>1 thì \({\log _a}M > {\log _a}N \Leftrightarrow M > N > 0.\)
B. Nếu 0<a<1 thì \({\log _a}M > {\log _a}N \Leftrightarrow 0 < M < N\).
C. Nếu M,N>0 và \(0 < a \ne 1\) thì \({\log _a}(M.N) = {\log _a}M.{\log _a}N\).
D. Nếu \(0 < a < 1\) thì \({\log _a}2016 > {\log _a}2017.\)
Mệnh đề C sai, điều chỉnh lại như sau:
Nếu M,N>0 và \(0 < a \ne 1\) thì \({\log _a}(M.N) = {\log _a}M + {\log _a}N\).
Nếu M,N>0 và \(0 < a \ne 1\) thì \({\log _a}(M.N) = {\log _a}M + {\log _a}N\).
Đặt \(\log 4 = a\), biểu diễn \(\log 4000\,\) theo a.
A. \(\log 4000\, = 3 + a\)
B. \(\log 4000\, = 4 + a\)
C. \(\log 4000\, = 3 + 2a\)
D. \(\log 4000\, = 4 + 2a\)
Ta có: \(\log 4000 = \log 4.\log 1000 = \log 4 + \log {10^3} = \log 4 + 3 = a + 3\)
Tìm tập xác định của hàm số \(f(x) = {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt {x + 1} - {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {3 - x} \right) - {\log _8}{\left( {x - 1} \right)^3}\).
A. \(D = \left( {1;3} \right)\)
B. \(D = \left( {-1;1} \right)\)
C. \(D = \left( {-\infty ;3} \right)\)
D. \(D = \left( 1;{+\infty } \right)\)
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x + 1 > 0\\ 3 - x > 0\\ x - 1 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > - 1\\ x < 3\\ x > 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < x < 3\\ \Rightarrow D = \left( {1;3} \right) \end{array}\)
Rút gọn biểu thức \(A = {\log _a}\frac{{{a^2}.\sqrt[3]{{{a^2}}}.a.\sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[3]{a}}}\) với \(a > 0;\,\,a \ne 1\).
A. \(A = \frac{{62}}{5}\)
B. \(A = \frac{{16}}{5}\)
C. \(A = \frac{{22}}{5}\)
D. \(A = \frac{{67}}{5}\)
\(A = {\log _a}\frac{{{a^2}.\sqrt[3]{{{a^2}}}.a.\sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[3]{a}}} = {\log _a}{a^{2 + \frac{2}{3} + 1 + \frac{4}{5} - \frac{1}{3}}} = {\log _a}{a^{\frac{{62}}{{15}}}} = \frac{{62}}{5}.\)
Tính đạo hàm của hàm số \(f(x) = (3 + \ln x)\ln x\).
A. \(f'(x) = 1\)
B. \(f'(x) = \left( {3 + \frac{1}{x}} \right).\frac{1}{x}\)
C. \(f'(x) = \frac{{3 + 2\ln x}}{x}\)
D. \(f'(x) = \frac{{ - 2 - \ln x}}{x}\)
\(f'(x) = \left( {3 + \ln x} \right)'\ln x + \left( {\ln x} \right)'\left( {3 + \ln x} \right) = \frac{1}{x}\ln x + \frac{1}{x}(3 + \ln x) = \frac{{3 + 2\ln x}}{x}\)
Tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\ln ^2}\left( {1 - x} \right)\).
A. \(f'\left( x \right) = \frac{{2\ln \left( {1 - x} \right)}}{{x - 1}}\)
B. \(f'\left( x \right) = \frac{{2\ln \left( {1 - x} \right)}}{{1 - x}}\)
C. \(f'\left( x \right) = 2\ln \left( {1 - x} \right)\)
D. \(f'\left( x \right) = - 2\ln \left( {1 - x} \right)\)
\(f'\left( x \right) = {\left[ {{{\ln }^2}\left( {1 - x} \right)} \right]^'}\)
\(= 2\ln (1 - x).\left[ {\ln (1 - x)} \right]' = 2\ln (1 - x).\frac{{ - 1}}{{1 - x}}\)
\(= \frac{{2\ln (1 - x)}}{{x - 1}}\)
\(= 2\ln (1 - x).\left[ {\ln (1 - x)} \right]' = 2\ln (1 - x).\frac{{ - 1}}{{1 - x}}\)
\(= \frac{{2\ln (1 - x)}}{{x - 1}}\)