Trong trung tâm công viên có một khuôn viên hình elíp có độ dài trục lớn bằng 16m, độ dài trục bé bằng 10m

Nguyên hàm | tích phân | nguyên hàm và tích phân |
Ứng Dụng Của Tích Phân Và Nguyên Hàm
Trong trung tâm công viên có một khuôn viên hình elíp có độ dài trục lớn bằng 16m, độ dài trục bé bằng 10m. Giữa khuôn viên là một đài phun nước hình tròn có đướng kính 8m, phần còn lại của khuôn viên người ta thả cá. Số cá thả vào khuôn viên đó gần nhất với số nào dưới đây, biết rằng mật độ thả cá là 5 con trên \(1{m^2}\)mặt nước.
A. 376
B. 378
C. 377
D. 375

Diện tích thả cá chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi elip \(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\) bớt đi diện tích hình tròn bán kính bằng 4. Do tính đối xứng của elip nên ta có diện tích elip bằng:
\({S_1} = 4\int\limits_0^8 {\frac{5}{8}\sqrt {64 - {x^2}} d{\rm{x}}} = \frac{5}{2}\int\limits_0^8 {\sqrt {64 - {x^2}} d{\rm{x}}} .\)
Đặt \(x = 8\sin t,t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow d{\rm{x}} = 8\cos tdt;\,\,khi\,\,x = 0 \Rightarrow t = 0;\,\,x = 8 \Rightarrow t = \frac{\pi }{2}.\)
\({S_1} = \frac{5}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {64{{\cos }^2}t} dt = 80\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 + \cos 2t} \right)} dt = 80\left. {\left( {t + \frac{1}{2}\sin 2t} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 40\pi .\)
Diện tích hình tròn có bán kính bằng 4 là \({S_2} = 16\pi \) nên diện tích thả cá là \(S = {S_1} - {S_2} = 24\pi .\)
Số cá thả vào khuôn viên là \(5S = 5.24\pi \approx 377.\)