Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = {x^3} - x\) và \(y = x - {x^2}\)

Nguyên hàm | tích phân | nguyên hàm và tích phân |
Ứng Dụng Của Tích Phân Và Nguyên Hàm
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = {x^3} - x\) và \(y = x - {x^2}\)
A. \(S=\frac{37}{12}\)
B. \(S=\frac{9}{4}\)
C. \(S=\frac{155}{12}\)
D. \(S=\frac{17}{12}\)

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số là:
\({x^3} - x = x - {x^2} \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 2\\ x = 0\\ x = 1 \end{array} \right..\)
Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn cần tính là:
\(\begin{array}{l} S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^3} - x - (x - {x^2})} \right|dx} = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^3} + {x^2} - 2x} \right|dx} \\ = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {{x^3} + {x^2} - 2x} \right)dx} - \int\limits_0^1 {\left( {{x^3} + {x^2} - 2x} \right)dx} = \frac{{37}}{{12}}. \end{array}\)