Tìm \({z_3} \in C\) sao cho các điểm biểu diển của tạo thành tam giác đều.

Số Phức| Môđun Và Biểu Diễn Hình Học Của Số Phức |
Cho \({z_1} = 1 + i\); \({z_2} = - 1 - i\). Tìm \({z_3} \in C\) sao cho các điểm biểu diển của tạo thành tam giác đều.
A. Có hai số phức thỏa yêu cầu bài toán là \({z_3} = \sqrt 3 - \sqrt 3 i\) và \({z_3} = - \sqrt 3 + \sqrt 3 i\).
B. Có hai số phức thỏa yêu cầu bài toán là \({z_3} = \sqrt 3 - \sqrt 3 i\) và \({z_3} = - \sqrt 3 - \sqrt 3 i\).
C. Có hai số phức thỏa yêu cầu bài toán là \({z_3} = 2-2i\) và \({z_3} = 2+2i\).
D. Có hai số phức thỏa yêu cầu bài toán là \({z_3} = 2-2i\) và \({z_3} = -2-2i\).

Áp dụng công thức sau:
Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z1 trên mặt phẳng phức.
N là điểm biểu diễn của số phức z2 trên mặt phẳng phức.
Khi đó khoảng cách giữa M và N tính bằng công thức sau:
\(MN = \left| {{z_1} - {z_2}} \right|\)
Gọi \({z_3} = x + yi\), để các điểm \({z_1},{z_2},{z_3}\) tạo thành một tam giác đều thì:
\(\left\{ \begin{array}{l} \left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \left| {{z_1} - {z_3}} \right|\\ \left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \left| {{z_2} - {z_3}} \right| \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {4 + 4} = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \\ \sqrt {4 + 4} = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 8\\ {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 8 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = 0\\ {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 8 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow 2{y^2} = 6 \Rightarrow y = \pm \sqrt 3\)
Với \(y = \sqrt 3 \Rightarrow x = - \sqrt 3 \Rightarrow {z_3} = - \sqrt 3 + \sqrt 3 i\)
Với \(y = - \sqrt 3 \Rightarrow x = \sqrt 3 \Rightarrow {z_3} = \sqrt 3 - \sqrt 3 i\)