Dạng đại số và các phép toán trên tập số phức

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa.

• Đơn vị ảo : Số i mà \({i^2} = - 1\) được gọi là đơn vị ảo.
• Số phức \(z = a + bi\) với \(a,b \in \mathbb{R}\). Gọi a là phần thực, b là phần ảo của số phức z.
• Tập số phức \(\mathbb{C} = \left\{ {a + bi/a,b \in \mathbb{R};{i^2} = - 1} \right\}\). Tập số thực \(\mathbb{R}\) là tập con của tập số phức \(\mathbb{C}\).
• Hai số phức bằng nhau: \(a + bi = c + di \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = c}\\{b = d}\end{array}} \right.\) với \(a,b,c,d \in \mathbb{R}\).
* Đặc biệt:
* Khi phần ảo \(b = 0 \Leftrightarrow z = a \in \mathbb{R} \Leftrightarrow z\) là số thực,
* Khi phần thực \(a = 0 \Leftrightarrow z = bi \Leftrightarrow z\) là số thuần ảo,
* Số \(0 = 0 + 0i\) vừa là số thực, vừa là số ảo.

2. Môđun của số phức.
• \(\left| z \right| = \left| {a + bi} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \) được gọi là môđun của số phức z.
• Kết quả: \(\forall z \in \mathbb{C}\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left| z \right| \ge 0;\left| z \right| = 0 \Leftrightarrow z = 0;\left| {{z^2}} \right| = {\left| z \right|^2}\\\left| {{z_1}.{z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right|.\left| {{z_2}} \right|\\\left| {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right| = \frac{{\left| {{z_1}} \right|}}{{\left| {{z_2}} \right|}}\end{array}\)

3. Số phức liên hợp.
• Cho số phức \(z = a + bi\). Ta gọi số phức liên hợp của z là \(\overline z = a - bi\).
• Kết quả: \(\forall z \in \mathbb{C}\) ta có:
\(\begin{array}{l}\overline {\overline z } = z;\left| {\overline z } \right| = \left| z \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overline {{z_1} \pm {z_2}} = \overline {{z_1}} \pm \overline {{z_2}} \\\overline {{z_1}.{z_2}} = \overline {{z_1}} .\overline {{z_2}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overline {\left( {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right)} = \frac{{\overline {{z_1}} }}{{\overline {{z_2}} }}\end{array}\)
z là số thực \( \Leftrightarrow z = \overline z \)
z là số thuần ảo \( \Leftrightarrow z = - \overline z \)

4. Phép toán trên tập số phức:
Cho hai số phức \({z_1} = a + bi\) và \({z_2} = c + di\) thì:
• Phép cộng số phức: \({z_1} + {z_2} = \left( {a + c} \right) + \left( {b + d} \right)i\)
• Phép trừ số phức: \({z_1} - {z_2} = \left( {a - c} \right) + \left( {b - d} \right)i\)
* Mọi số phức \(z = a + bi\) thì số đối của z là \( - z = - a - bi:z + \left( { - z} \right) = \left( { - z} \right) + z = 0\)
• Phép nhân số phức:${z_1}.{z_2} = \left( {ab - bd} \right) + \left( {ad + bc} \right)i$
* Chú ý \(\left\{ \begin{array}{l}{i^{4k}} = 1\\{i^{4k + 1}} = i\\{i^{4k + 2}} = - 1\\{i^{4k + 3}} = - i\end{array} \right.\)
• Phép chia số phức:
* Số phức nghịch đảo của \(z = a + bi \ne 0\): \(\frac{1}{z} = \frac{{\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}} = \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} \cdot \overline z \)
* \(\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{{z_1}.\overline {{z_2}} }}{{{{\left| {{z_2}} \right|}^2}}} = \frac{{ac + bd}}{{{c^2} + {d^2}}} + \frac{{bc - ad}}{{{c^2} + {d^2}}} \cdot i\) (với \({z_2} \ne 0\)).


BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu
1. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Môđun của số phức z là một số âm.
B. Môđun của số phức z là một số thực.
C. Môđun của số phức \(z = a + bi\) là \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).
D. Môđun của số phức z là một số thực không âm.
\(z = a + bi\) với \(\left( {a;b \in \mathbb{R},{i^2} = - 1} \right)\) \( \Leftrightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
Do \(a;b \in \mathbb{R} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| z \right| \in \mathbb{R} \subset \mathbb{C}}\\{\left| z \right| \ge 0}\end{array}} \right.\)
Vậy chọn đáp án A.
Câu 2. Cho số phức \(z = 5 - 4i\). Môđun của số phức z là
A. 3.
B. \(\sqrt {41} \).
C. 1.
D. 9.
\(z = 5 - 4i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{5^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = \sqrt {41} \)
Vậy chọn đáp án B.
Câu 3. Cho số phức \(z = 5 - 4i\). Số phức đối của z có tọa độ điểm biểu diễn là
A. \(\left( { - 5;4} \right)\).
B. \(\left( {5; - 4} \right)\).
C. \(\left( { - 5; - 4} \right)\).
D. \(\left( {5;4} \right)\).
\(z = 5 - 4i \Leftrightarrow - z = - 5 + 4i\). Vậy điểm biểu diễn của \( - z\) là \(\left( { - 5;4} \right)\)
Vậy chọn đáp án A.
Câu 4. Cho số phức \(z = 6 + 7i\). Số phức liên hợp của z là
A. \(\overline z = 6 + 7i\).
B. \(\overline z = - 6 - 7i\).
C. \(\overline z = - 6 + 7i\).
D. \(\overline z = 6 - 7i\).
\(z = 6 + 7i \Leftrightarrow \overline z = 6 - 7i\)
Vậy chọn đáp án D.
Câu 5. Các số thực x,y thỏa mãn: \(3x + y + 5xi = 2y - 1 + \left( {x - y} \right)i\) là
A. \(\left( {x;y} \right) = \left( { - \frac{1}{7};\frac{4}{7}} \right)\).
B. \(\left( {x;y} \right) = \left( { - \frac{2}{7};\frac{4}{7}} \right)\).
C. \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{1}{7};\frac{4}{7}} \right)\).
D. \(\left( {x;y} \right) = \left( { - \frac{1}{7}; - \frac{4}{7}} \right)\).
\(\begin{array}{l}3x + y + 5xi = 2y - 1 + \left( {x - y} \right)i\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + y = 2y - 1}\\{5x = x - y}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x - y = - 1}\\{4x + y = 0}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - \frac{1}{7}}\\{y = \frac{4}{7}}\end{array}} \right.\end{array}\)
Vậy \(\left( {x;y} \right) = \left( { - \frac{1}{7};\frac{4}{7}} \right)\)
Vậy chọn đáp án A.
Câu 6. Cho hai số phức \({z_1} = 1 + 2i\) và \({z_2} = 2 - 3i\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định Sai?
A. \(\frac{{{z_2}}}{{{z_1}}} = - \frac{4}{5} - \frac{7}{5}i\).
B. \(5{z_1}^{ - 1} - {z_2} = - 1 + i\).
C. \(\overline {{z_1}} + \overline {{z_1}.{z_2}} = 9 + i\).
D. \(\left| {{z_1}.{z_2}} \right| = \sqrt {65} \).
\(\overline {{z_1}} + \overline {{z_1}.{z_2}} = 1 - 2i + 8 - i = 9 - 3i\)
\(5{z_1}^{ - 1} - {z_2} = \frac{5}{{{1^2} + {2^2}}} \cdot \left( {1 - 2i} \right) - \left( {2 - 3i} \right) = 1 - 2i - 2 + 3i = - 1 + i\)
\(\frac{{{z_2}}}{{{z_1}}} = \frac{1}{{{1^2} + {2^2}}} \cdot \left( {1 - 2i} \right)\left( {2 - 3i} \right) = \frac{1}{5}\left( { - 4 - 7i} \right) = - \frac{4}{5} - \frac{7}{5}i\)
\(\left| {{z_1}.{z_2}} \right| = \left| {8 + i} \right| = \sqrt {{8^2} + {1^2}} = \sqrt {65} \)
Vậy chọn đáp án C.
Câu 7. Cho hai số phức \({z_1} = 1 + 2i\) và \({z_2} = 2 - 3i\). Phần ảo của số phức \(w = 3{z_1} - 2{z_2}\) là
A. 12.
B. 11.
C. 1.
D. \(12i\).
${\rm{w}} = 3{z_1} - 2{z_2} = 3\left( {1 + 2i} \right) - 2\left( {2 - 3i} \right) = - 1 + 12i$. Vậy phần ảo của số phức $w$ là \(12\).
Vậy chọn đáp án A.
Câu 8. Cho số phức \(z = 4 - 3i\). Phần thực, phần ảo của số phức \(\overline z \) lần lượt là
A. 4; - 3.
B. - 4;3.
C. 4;3.
D. - 4; - 3.
\(z = 4 - 3i \Rightarrow \overline z = 4 + 3i\) \( \Rightarrow \) Phần thực của \(\overline z \) là \(4\), phần ảo của \(\overline z \) là \(3\)
Vậy chọn đáp án C.
Câu 9. Điểm \(M\left( { - 1;3} \right)\) là điểm biểu diễn của số phức
A. \(z = - 1 + 3i\).
B. \(z = 1 - 3i\).
C. \(z = 2i\).
D. \(z = 2\).
\(z = a + bi\) có điểm biểu diễn là \(M\left( {a;b} \right)\). Ta suy ra \(z = - 1 + 3i\)
Vậy chọn đáp án A.
Câu 10. Số phức \(z = \frac{{7 - 17i}}{{5 - i}}\) có phần thực là
A. 2.
B. \(\frac{9}{{13}}\).
C. 3.
D. - 3.
\(z = \frac{{7 - 17i}}{{5 - i}} = \frac{{\left( {7 - 17i} \right)\left( {5 + i} \right)}}{{\left( {5 - i} \right)\left( {5 + i} \right)}} = \frac{{52 - 78i}}{{26}} = 2 - 3i\)
\( \Rightarrow \) phần thực của z là: 2
Vậy chọn đáp án A.
Câu 11. Các số thực x,y thỏa mãn: \(\left( {2x + 3y + 1} \right) + \left( { - x + 2y} \right)i = \left( {3x - 2y + 2} \right) + \left( {4x - y - 3} \right)i\) là
A. \(\left( {x;y} \right) = \left( { - \frac{9}{{11}}; - \frac{4}{{11}}} \right)\).
B. \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{9}{{11}};\frac{4}{{11}}} \right)\).
C. \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{9}{{11}}; - \frac{4}{{11}}} \right)\).
D. \(\left( {x;y} \right) = \left( { - \frac{9}{{11}};\frac{4}{{11}}} \right)\).
\(\begin{array}{l}\left( {2x + 3y + 1} \right) + \left( { - x + 2y} \right)i = \left( {3x - 2y + 2} \right) + \left( {4x - y - 3} \right)i\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 3y + 1 = 3x - 2y + 2}\\{ - x + 2y = 4x - y - 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 5y = - 1}\\{5x - 3y = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{9}{{11}}}\\{y = \frac{4}{{11}}}\end{array}} \right.\end{array}\)
Vậy \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{9}{{11}};\frac{4}{{11}}} \right)\)
Vậy chọn đáp án B.
Câu 12. Cho hai số thực x,y thỏa mãn \(2x + 1 + \left( {1 - 2y} \right)i = 2\left( {2 - i} \right) + yi - x\) khi đó giá trị của \({x^2} - 3xy - y\) bằng:
A. - 1.
B. \(1\).
C. - 2 .
D. - 3.
\(\begin{array}{l}2x + 1 + \left( {1 - 2y} \right)i = 2\left( {2 - i} \right) + yi - x\\ \Leftrightarrow 2x + 1 + \left( {1 - 2y} \right)i = 4 - x + \left( {y - 2} \right)i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 1 = 4 - x\\1 - 2y = y - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1\\ \Rightarrow {x^2} - 3xy - y = - 3\end{array}\)
Vậy chọn đáp án D.
Câu 13. Cho số phức \(z = 3 + 4i\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Điểm biểu diễn của z là \(M\left( {4;3} \right)\).
B. Môđun của số phức z là 5.
C. Số phức đối của z là \( - 3 - 4i\).
D. Số phức liên hợp của z là \(3 - 4i\).
* Điểm biểu diễn của z là \(M\left( {3;4} \right)\)
* \(z = 3 + 4i \Leftrightarrow \left| z \right| = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\)
* \(z = 3 + 4i \Leftrightarrow - z = - 3 - 4i\)
* \(z = 3 + 4i \Leftrightarrow \overline z = 3 - 4i\)
Vậy chọn đáp án A.
Câu 14. Số nào trong các số phức sau là số thuần ảo?
A. \(\left( {\sqrt 7 + i} \right) + \left( {\sqrt 7 - i} \right)\).
B. \(\left( {10 + i} \right) + \left( {10 - i} \right)\).
C. \(\left( {5 - i\sqrt 7 } \right) + \left( { - 5 - i\sqrt 7 } \right)\).
D. \(\left( {3 + i} \right) - \left( { - 3 + i} \right)\).
* \(\left( {5 - i\sqrt 7 } \right) + \left( { - 5 - i\sqrt 7 } \right) = - 2i\sqrt 7 \) là số thuần ảo.
* \(\left( {10 + i} \right) + \left( {10 - i} \right) = 20\) là số thực.
* \(\left( {\sqrt 7 + i} \right) + \left( {\sqrt 7 - i} \right) = 2\sqrt 7 \) là số thực.
* \(\left( {3 + i} \right) - \left( { - 3 + i} \right) = 6\) là số thự
C.
Vậy chọn đáp án C.
Câu 15. Môđun của số phức \(z = \sqrt 3 + i\) là
A. \(\sqrt 3 \).
B. 1.
C. 2.
D. \(\sqrt 2 \).
\(z = \sqrt 3 + i \Leftrightarrow \left| z \right| = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {1^2}} = 2\)
Vậy chọn đáp án C.
Câu 16. Phần thực của \(z = \left( {2 + 3i} \right)i\) là
A. - 3.
B. 2.
C. 3.
D. - 2 .
\(z = \left( {2 + 3i} \right)i = - 3 + 2i\)
\( \Rightarrow \) phần thực là - 3.
Vậy chọn đáp án A.
Câu 17. Cho hai số phức \({z_1} = 1 + i\) và \({z_2} = - 5 + 2i\). Tính môđun của số phức \({z_1} + {z_2}\).
A. 5.
B. \( - 5\).
C. \(\sqrt 7 \).
D. \( - \sqrt 7 \).
\({z_1} + {z_2} = \left( {1 + i} \right) + \left( { - 5 + 2i} \right) = - 4 + 3i \Leftrightarrow \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {3^2}} = 5\)
Vậy chọn đáp án A.
Câu 18. Cho số phức z = 1 + i. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. \(\frac{z}{i} = - 1 + i\).
B. \({z^{ - 1}}.z = 0\).
C. \(\left| z \right| = 2\).
D. \({z^2} = 2i\).
* \(z = 1 + i \Rightarrow {z^2} = {\left( {1 + i} \right)^2} = {1^2} + 2.1.i + {i^2} = 2i\)
* $z = 1 + i \Rightarrow {z^{ - 1}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i \Rightarrow {z^{ - 1}}.z = \left( {1 + i} \right)\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i} \right) = 1$
* \(z = 1 + i \Leftrightarrow \left| z \right| = \sqrt 2 \)
* \(\frac{z}{i} = \frac{{1 + i}}{i} = 1 - i\)
Vậy chọn đáp án D.
Câu 19. Cho số phức \(z = \left( {1 - 6i} \right) - \left( {2 - 4i} \right)\). Phần thực, phần ảo của z lần lượt là
A. \( - 1; - 2\).
B. \(1;2\).
C. 2;1.
D. – 2;1.
\(z = \left( {1 - 6i} \right) - \left( {2 - 4i} \right) = - 1 - 2i\)
Vậy chọn đáp án A.
Câu 20. Cho số phức \(z = 2 + 5i\). Tìm số phức \(w = iz + \overline z \).
A. $w = 7 - 3i$.
B. $w = - 3 - 3i$.
C. $w = 3 + 3i$.
D. $w = - 7 - 7i$.
\(z = 2 + 5i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}iz = - 5 + 2i\\\overline z = 2 - 5i\end{array} \right. \Leftrightarrow w = iz + \overline z = - 3 - 3i\).
Vậy chọn đáp án B.
Câu 21. Cho số phức \(z = \left( {3 - 2i} \right){\left( {1 + i} \right)^2}\). Môđun của $w = iz + \overline z $ là
A.2.
B. \(2\sqrt 2 \).
C. 1.
D. \(\sqrt 2 \).
* \(z = \left( {3 - 2i} \right){\left( {1 + i} \right)^2} = \left( {3 - 2i} \right)2i = 4 + 6i \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{iz = i\left( {4 + 6i} \right) = - 6 + 4i}\\{\overline z = 4 - 6i}\end{array}} \right.\)
* $w = iz + \overline z = - 6 + 4i + 4 - 6i = - 2 - 2i$
\( \Rightarrow \left| w \right| = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt 8 = 2\sqrt 2 \)
Vậy chọn đáp án B.
Câu 22. Phần thực, phần ảo của số phức z thỏa mãn \(\overline z = \frac{5}{{1 - 2i}} - 3i\) lần lượt là
A. 1;1.
B. \(1; - 2\).
C. 1;2.
D. \(1; - 1\).
\(\begin{array}{l}\overline z = \frac{5}{{1 - 2i}} - 3i = \frac{{5\left( {1 + 2i} \right)}}{{\left( {1 - 2i} \right)\left( {1 + 2i} \right)}} - 3i = \frac{{5\left( {1 + 2i} \right)}}{5} - 3i = 1 - i\\ \Rightarrow z = 1 + i\end{array}\)
Phần thực, phần ảo của z lần lượt là 1;1.
Vậy chọn đáp án A.
Câu 23. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left( {2 + i} \right)z + \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = 5 - i\). Môđun của số phức $w = 1 + 2z + {z^2}$có giá trị là
A. 10.
B. - 10.
C. 100.
D. \( - 100\).
\(\begin{array}{l}\left( {2 + i} \right)z + \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = 5 - i\\ \Leftrightarrow \left( {2 + i} \right)z + \frac{{{{\left( {1 - i} \right)}^2}}}{{\left( {1 + i} \right)\left( {1 - i} \right)}} = 5 - i\\ \Leftrightarrow \left( {2 + i} \right)z + \frac{{ - 2i}}{2} = 5 - i\\ \Leftrightarrow \left( {2 + i} \right)z = 5 \Leftrightarrow z = \frac{5}{{2 + i}} = 2 - i\end{array}\)
\( \Rightarrow w = 1 + 2z + {z^2} = {\left( {1 + z} \right)^2} = {\left( {3 - i} \right)^2} = 8 - 6i \Leftrightarrow \left| w \right| = \sqrt {{8^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} = 10\).
Vậy chọn đáp án A.
Câu 24. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: \(\left( {1 + i} \right)\overline z - 1 - 3i = 0\). Phần ảo của số phức \(w = 1 - iz + z\) là
A. 1.
B. - 3.
C. - 2 .
D. - 1.
\(\begin{array}{l}\left( {1 + i} \right)\overline z - 1 - 3i = 0\\ \Leftrightarrow \overline z = \frac{{1 + 3i}}{{1 + i}} = \frac{{\left( {1 + 3i} \right)\left( {1 - i} \right)}}{{\left( {1 + i} \right)\left( {1 - i} \right)}} = \frac{{4 + 2i}}{2} = 2 + i \Leftrightarrow z = 2 - i\\ \Rightarrow w = 1 - iz + z = 1 - i\left( {2 - i} \right) + 2 - i = 2 - 3i\end{array}\)
Phần ảo của $w$ là - 3
Vậy chọn đáp án B.
Câu 25. Cho số phức z thỏa mãn: \(3z + 2\overline z = {\left( {4 - i} \right)^2}\). Môđun của số phức z là
A. - 73.
B. \( - \sqrt {73} \).
C. 73.
D. \(\sqrt {73} \).
Gọi \(z = a + bi\) với \(a,b \in \mathbb{R};{i^2} = - 1\) \( \Rightarrow \overline z = a - bi\)
\(3z + 2\overline z = {\left( {4 - i} \right)^2} \Leftrightarrow 3\left( {a + bi} \right) + 2\left( {a - bi} \right) = 15 - 8i\)
\( \Leftrightarrow 5a + bi = 15 - 8i\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5a = 15}\\{b = - 8}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 3}\\{b = - 8}\end{array}} \right.\)
\(z = 3 - 8i \Leftrightarrow \left| z \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 8} \right)}^2}} = \sqrt {73} \)
Vậy chọn đáp án D.
Câu 26. Số phức z thỏa mãn: \(z - \left( {2 + 3i} \right)\overline z = 1 - 9i\) là
A. \(2 + i\).
B. \( - 2 - i\).
C. \( - 3 - i\).
D. \(2 - i\)
Gọi \(z = a + bi\) với \(a,b \in \mathbb{R};{\rm{ }}{i^2} = - 1\) \( \Rightarrow \overline z = a - bi\)
\(z - \left( {2 + 3i} \right)\overline z = 1 - 9i \Leftrightarrow a + bi - \left( {2 + 3i} \right)\left( {a - bi} \right) = 1 - 9i\)
\( \Leftrightarrow a + bi - \left( {2a - 2bi + 3ai + 3b} \right) = 1 - 9i\)
\( \Leftrightarrow - a - 3b + \left( { - 3a + 3b} \right)i = 1 - 9i\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a - 3b = 1}\\{ - 3a + 3b = - 9}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{b = - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow z = 2 - i\)
Vậy chọn đáp án D.
Câu 27. Tìm số phức z thỏa mãn hệ thức \(\left| {z - \left( {2 + i} \right)} \right| = \sqrt {10} \) và \(z.\overline z = 25\).
A. \(z = 3 + 4i;z = 5\).
B. \(z = 3 + 4i;z = - 5\).
C. \(z = - 3 + 4i;z = 5\).
D. \(z = 3 - 4i;z = - 5\).
Gọi \(z = a + bi\) với \(a,b \in \mathbb{R};{i^2} = - 1 \Rightarrow \overline z = a - bi\)
* \(\left| {z - \left( {2 + i} \right)} \right| = \sqrt {10} \Leftrightarrow \left| {a - 2 + \left( {b - 1} \right)i} \right| = \sqrt {10} \)
\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} = \sqrt {10} \)
\( \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = 10{\rm{ }}\left( * \right)\)
* \(z.\overline z = 25 \Leftrightarrow \left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right) = 25 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 25{\rm{ }}\left( {**} \right)\)
Từ \(\left( * \right)\) và \(\left( {**} \right)\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {a - 2} \right)}^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2} = 10}\\{{a^2} + {b^2} = 25}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 3}\\{b = 4}\end{array} \vee \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 5}\\{b = 0}\end{array}} \right.} \right.\)
Vậy \(z = 3 + 4i \vee z = 5\).
Vậy chọn đáp án A.
Câu 28. Tìm số thực x,y để hai số phức \({z_1} = 9{y^2} - 4 - 10x{i^5}\) và \({z_2} = 8{y^2} + 20{i^{11}}\) là liên hợp của nhau?
A. \(x = - 2;y = 2\).
B. \(x = 2;y = \pm 2\).
C. \(x = 2;y = 2\).
D. \(x = - 2;y = \pm 2\).
* \({z_1} = 9{y^2} - 4 - 10x{i^5} = 9{y^2} - 4 - 10xi.{i^4} = 9{y^2} - 4 - 10xi\)
* \({z_2} = 8{y^2} + 20{i^{11}} = 8{y^2} + 20i{\left( {{i^2}} \right)^5} = 8{y^2} - 20i\)
* \({z_1}\) và \({z_2}\) là liên hợp của nhau khi và chỉ khi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{9{y^2} - 4 = 8{y^2}}\\{ - 10x = 20}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2}\\{{y^2} = 4}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2}\\{y = \pm 2}\end{array}} \right.\)
Vậy chọn đáp án D.
Câu 29. Cho số phức \(z = \left( {2 + i} \right)\left( {1 - i} \right) + 1 + 3i\). Tính môđun của z.
A. \(4\sqrt 2 \).
B. \(\sqrt {13} \).
C. \(2\sqrt 2 \).
D. \(2\sqrt 5 \).
\(z = \left( {2 + i} \right)\left( {1 - i} \right) + 1 + 3i = 4 + 2i \Leftrightarrow \left| z \right| = \sqrt {{4^2} + {2^2}} = 2\sqrt 5 \)
Vậy chọn đáp án D.