Số phức về tìm tập hợp các điểm biểu diễn

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Các kiến thức cơ bản về số phức
1. Khái niệm số phức

  • Tập hợp số phức: $\mathbb{C}$
  • Số phức (dạng đại số) : z=a+bi $(a,b\in \mathbb{R})$ , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i$^2$ = –1)
  • Z là số thực <=> phần ảo của Z bằng 0 (b = 0)
  • Z là thuần ảo <=> phần thực của Z bằng 0 (a = 0)
Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
Hai số phức bằng nhau: Cho hai số phức $z=a+bi;z'=a'+b'i\,(a;a';b;b'\in \mathbb{R})$.
$z=z'\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a=a' \\ & b=b' \\ \end{align} \right.$

2. Biểu diễn hình học:

3. Các phép toán về số phức
Cho các số phức $z=a+bi;z'=a'+bi'\,(a;b;a';b'\in \mathbb{R})$ và số $k\in \mathbb{R}$
a. Cộng, trừ hai số phức
  • z+z'=(a+a')+(b+b')i
  • z-z'=(a-a')+(b-b')i
  • Số đối của z=a+bilà $-z=-a-bi$
b. Nhân hai số phức
  • $\begin{array}{l} z.z' = (a + bi).(a' + b'i)\\ = (a.a' - b.b') + (a'b + ab')i \end{array}$
  • k.z = k.(a + bi) = ka + kbi
c. Số phức liên hợp
Số phức liên hợp của z là $\overline z = a - bi$
$\begin{align} & \overline{\overline{z}}=z;\text{ }\overline{z\pm z'}=\overline{z}\pm \overline{z'};\text{ } \\ & \overline{z.z'}=\overline{z}.\overline{z'};\text{ }\overline{\left( \frac{z}{z'} \right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{z'}} \\ \end{align}$ ;
  • $z.\overline{z}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$
  • z là số thực <=>$z=\overline{z}$ ;
  • z là số ảo <=> $z=-\overline{z}$
d. Môđun của số phức :
  • $\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$
  • $|z|\ge 0,\forall z\in \mathbb{C},|z|=0\Leftrightarrow z=0$
  • $\left| z.z' \right|=\left| z \right|.\left| z' \right|$
  • $\left| \frac{z}{z'} \right|=\frac{\left| z \right|}{\left| z' \right|};\,(z'\ne 0)$
  • $\left| z \right|-\left| z' \right|\le \left| z-z' \right|\le \left| z \right|+\left| z' \right|$
e. Chia hai số phức:
  • ${{z}^{-1.}}=\frac{1}{{{\left| z \right|}^{2}}}\overline{z}\,(z\ne 0)$ (z  0)
  • $\frac{z'}{z}=z'.{{z}^{-1}}=\frac{z'.\overline{z}}{{{\left| z \right|}^{2}}}$
II. Kiến thức về hình học giải tích trong mặt phẳng
1. Các dạng phương trình đường thẳng

  • Dạng tổng quát: $ax+by+c=0$
  • Dạng đại số: $y=ax+b$
  • Dạng tham số: $\left\{ \begin{align} & x={{x}_{0}}+at \\ & y={{y}_{0}}+bt \\ \end{align} \right.$
  • Dạng chính tắc: $\frac{x-{{x}_{0}}}{a}=\frac{y-{{y}_{0}}}{b}$
  • Phương trình đoạn chắn $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$
  • Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ biết hệ số góc k: $y=k(x-{{x}_{0}})+{{y}_{0}}$
2. Phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R:
  • ${{(x-a)}^{2}}+{{(y-b)}^{2}}={{R}^{2}}$
  • $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0$ với $c={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{R}^{2}}$
Lưu ý điều kiện để phương trình: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2ax+2by+c=0$ là phương trình đường tròn: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c>0$ có tâm $I\left( -a,-b \right)$ và bán kính$R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c}$

3. Phương trình (Elip):
$\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$
Với hai tiêu cự ${{F}_{1}}(-c;0),{{F}_{2}}(c;0),{{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c$
Trục lớn 2a, trục bé 2b và ${{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}$

III. Một số chú ý trong giải bài toán tìm tập hợp điểm.
1. Phương pháp tổng quát

Giả sử số phức z = x +yi được biểu diễn bởi điểm M(x;y) . Tìm tập hợp các điểm M là tìm hệ thức giữa x và y thỏa mãn yêu cầu đề bài

2. Giả sử các điểm M, A, B lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z, a, b
  • $|z-a|=|z-b|\Leftrightarrow MA=MB\Leftrightarrow $ M thuộc đường trung trực của đoạn AB
  • $|z-a|=|z-b|=k(k\in \mathbb{R},k>0,k>|a-b|)\Leftrightarrow MA+MB=k$ $\Leftrightarrow M\in (E)$ nhận A, B là hai tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng k
3. Giả sử M và M’ lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z và w = f(z)
Đặt z = x + yi và w = u + vi $(x,y,u,v\in \mathbb{R})$
Hệ thức w = f(z) tương đương với hai hệ thức liên hệ giữa x, y, u, v
  • Nếu biết một hệ thức giữa x, y ta tìm được một hệ thức giữa u, v và suy ra được tập hợp các điểm M’
  • Nếu biết một hệ thức giữa u, v ta tìm được một hệ thức giữa x, y và suy ra được tập hợp điểm M’
IV. Ví dụ minh họa
Câu 1.
Điểm M biểu diễn số phức $z=3+2i$ trong mặt phẳng tọa độ phức là:
A. $M(3;2)$.
B. $M(2;3)$.
C. $M(3;-2)$.
D. $M(-3;-2)$.
Lời giải​
Số phức $z$ có phần thực là 3, phần ảo là 2 nên điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là điểm $M(3;2)$ $\Rightarrow $ Đáp án A

Câu 2. Cho số phức $z=-2i-1$. Điểm biểu diễn số phức liên hợp của $z$ trong mặt phẳng phức là:
A. $M(-1;-2)$.
B.$M(-1;2)$.
C. $M(-2;1)$.
D.$M(2;-1)$.
Lời giải​
Số phức liên hợp của z là $\left| z-1+i \right|=\left| \bar{z}+1-2i \right|$ nên $z=x+yi$ có phần thực là -1, phần ảo là 2. Vậy điểm biểu diễn số phức liên hợp là $\left| z+\overline{z}+3 \right|=4$ $x=-\frac{7}{2}$ Đáp án B

Câu 3. Gọi A là điểm biểu diễn số phức $M\left( x,y \right)$ , B là điểm biểu diễn số phức $z=x+yi$. Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai ?
A. A và B đối xứng nhau qua trục hoành.
B. A và B trùng gốc tọa độ khi $|z+i|=|z-i|\Leftrightarrow |x+(y+1)i|=|x+(y-1)i|$.
C. A và B đối xứng qua gốc tọa độ.
D. Đường thẳng AB đi qua gốc tọa độ.
Lời giải​
Giả sử $\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}}\Leftrightarrow y=0$ là điểm biểu diễn số phức $M$ thì $|\overline{z}+1-i|\le 1$ là điểm biểu diễn số phức $M\left( x,y \right)$$z=x+yi$ $|\overline{z}+1-i|\le 1\Leftrightarrow |(x+1)+(-y-1)i|\le 1$ và \[\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}}\le 1\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}\le 1\] đối xứng nhau qua gốc tọa độ$Oxy$ Đáp án A.

Câu 4. Trên mặt phẳng tọa độ , tập hợp điểm biểu diễn các số phức \[Oxy\] thỏa mãn điều kiện phần thực của $z$ bằng -2 là:
A.$x=-2$.
B. $\left( II \right):z.\overline{z}=5$.
C. $\left( III \right):\left| z-2i \right|=4$
D. $\left( IV \right):\left| i\left( z-4i \right) \right|=3$
Lời giải​
Điểm biểu diễn các số phức $\left( I \right)$có phần thực bằng -2 có dạng $M(-2;b)$ nên nằm trên đường thẳng $x=-2$$M\left( x,y \right)$ Đáp án A.

Câu 5. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn các số phức $z=x+yi\left( x,y\in R \right)$ thỏa mãn điều kiện phần ảo của $\left( I \right):\left| z+\overline{z} \right|=2\Leftrightarrow \left| 2x \right|=2\Leftrightarrow x=\pm 1$ nằm trong khoảng $\left( II \right):z.\overline{z}=5\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=5$ là:
A. Các điểm nằm trong phần giới hạn bởi đường thẳng $z$ và ${{z}^{2}}$, không kể biên.
B. Các điểm nằm trong phần giới hạn bởi đường thẳng $\left( IV \right):\left| i\left( z-4i \right) \right|=3\Leftrightarrow \left| 4+iz \right|=3\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=9$ và $Oxy$, kể cả biên.
C. Các điểm nằm trong phần giới hạn bởi đường thẳng $\left( III \right):\left| z-2i \right|=4\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=16$ và $y=2017$, không kể biên.
D. Các điểm nằm trong phần giới hạn bởi đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ và $\alpha $, kể cả biên.
Lời giải​
Điểm biểu diễn các số phức ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$có phần ảo nằm trong khoảng $\alpha ={{60}^{0}}$ có dạng $\alpha ={{45}^{0}}$ với $\alpha ={{30}^{0}}$ $M\left( x,y \right)$ Đáp án C.

Câu 6. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn các số phức $z=x+yi\left( x,y\in R \right)$ thỏa mãn điều kiện phần thực của ${{z}^{2}}=\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)+2xyi$ nằm trong đoạn $\Rightarrow $ là:
A. Các điểm nằm trong phần giới hạn bởi đường thẳng ${{x}^{2}}-{{y}^{2}}=0\wedge xy\ne 0\Rightarrow y=\pm x\Rightarrow \alpha ={{90}^{0}}$ và $Oxy$, kể cả biên.
B. Các điểm nằm trong phần giới hạn bởi đường thẳng $Z$ và $2\left| z-i \right|=\left| z-\overline{z}+2i \right|$, kể cả biên.
C. Các điểm nằm trong phần giới hạn bởi đường thẳng $\left( P \right)$ và $\left( P \right)$, không kể biên.
D. Các điểm nằm trong phần giới hạn bởi đường thẳng $\left( 0,0 \right)$ và $\left( -1,3 \right)$, kể cả biên.
Lời giải​
Điểm biểu diễn các số phức $\left( 0,1 \right)$có phần thực $\left( -1,0 \right)$nằm trong đoạn $M\left( x,y \right)$ có dạng $z=x+yi\left( x,y\in R \right)$ với $2\left| z-i \right|=\left| z-\overline{z}+2i \right|\Leftrightarrow 2\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2y+2 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow y=\frac{{{x}^{2}}}{4}$ $O\left( 0,0 \right)$ Đáp án A.

Câu 7. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $S=\pi $ thỏa mãn $S=2\pi $ trên mặt phẳng tọa độ là:
A. Hình tròn tâm $S=3\pi $, bán kính $S=4\pi $, không kể biên.
B. Hình tròn tâm $M\left( x,y \right)$, bán kính $z=x+yi\left( x,y\in R \right)$, kể cả biên.
C. Đường tròn tâm ${{\left| z \right|}^{2}}+z+\overline{z}=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x+yi+x-yi=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x=0$, bán kính $\Rightarrow $.
D. Đường tròn tâm bất kì, bán kính $R=1\Rightarrow S=\pi {{R}^{2}}=\pi $.
Lời giải​
Gọi $Oxy$. Ta có: $1\le \left| z+1-i \right|\le 2$ Đáp án A.

Câu 8. Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức $-1+i$ sao cho ${{z}^{2}}=|z{{|}^{2}}$ là:
A. Gốc tọa độ.
B. Trục hoành.
C. Trục tung và trục hoành.
D. Trục tung.
Lời giải​
Gọi $M\left( a,b \right)$ là điểm biểu diễn số phức $A\left( -1,1 \right),R=1$
$\begin{array}{*{20}{l}}
{{z^2} = |z{|^2}}\\
{ \Rightarrow {{(a + bi)}^2} = {a^2} + {b^2}}\\
{ \Leftrightarrow 2{b^2} - 2abi = 0}\\
{ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2{b^2} = 0}\\
{ - 2ab = 0}
\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = b = 0}\\
{b = 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}$

Câu 9. Trong mặt phẳng phức Oxy, giả sử M là điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $\left| 2+z \right|>\left| z-2 \right|$ . Tập hợp những điểm M là ?
A. Nửa mặt phẳng ở bên dưới trục Ox
B. Nửa mặt phẳng ở bên trái trục Oy.
C. Nửa mặt phẳng ở bên trên trục Ox
D. Nửa mặt phẳng ở bên phải trục Oy.
Lời giải​
Gọi $M\left( x,y \right)$ là điểm biểu diễn số phức $z=x+yi\left( x,y\in R \right)$
Gọi $A(-2;0)$ là điểm biểu diễn số phức $-2$
Gọi $B(2;0)$ là điểm biểu diễn số phức $2$
Ta có : $\left| 2+z \right|>\left| z-2 \right|\Leftrightarrow MA>MB$$\Rightarrow M$ thuộc nửa mặt phẳng ở bên phải trục ảo $Oy$
Vậy đáp án D

Câu 10. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ sao cho $|z-2|<1$ là:
A. Một hình tròn.
B. Một đường tròn.
C. Một hình vuông.
D. Một parabol
Lời giải​
Gọi $M\left( a,b \right)$ là điểm biểu diễn số phức $A\left( -1,1 \right),R=1$.
Ta có: $|z-2|<1\Rightarrow |a+bi-2|<1\Rightarrow {{(a-2)}^{2}}+{{b}^{2}}<1\Rightarrow $ Đáp án A.
 
Sửa lần cuối: