Tập hợp điểm số phức

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Các kiến thức cơ bản về số phức
1. Khái niệm số phức

* Tập hợp số phức: $\mathbb{C}$
* Số phức (dạng đại số) : z = a + bi $(a,b \in \mathbb{R})$, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i$^2$ = –1)
* z là số thực <=> phần ảo củazbằng 0 (b = 0)
z là thuần ảo <=> phần thực củazbằng 0 (a = 0)
Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
* Hai số phức bằng nhau:
Cho hai số phức $z = a + bi;z' = a' + b'i\,(a;a';b;b' \in \mathbb{R})$. $z = z' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.$

2. Biểu diễn hình học:
Trong mặt phẳng phức Oxy (Oy là trục ảo; Ox là trục thực), mỗi số phức $z = a + bi;\,(a;b \in \mathbb{R})$được biểu diễn bởi điểm M(a;b)
biểu diễn hình học số phức_0.PNG
3. Các phép toán về số phức
Cho các số phức $z = a + bi;z' = a' + bi'\,(a;b;a';b' \in \mathbb{R})$và số $k \in \mathbb{R}$
a. Cộng, trừ hai số phức
* z + z' = (a + a') + (b + b')i
* z - z' = (a - a') + (b - b')i
* Số đối của z = a + bilà - z = - a - bi
* $\overrightarrow u $ biểu diễn z, $\overrightarrow {{u^,}} $ biểu diễn z' thì $\overrightarrow u + \overrightarrow {{u^,}} $ biểu diễn z + z’ và $\overrightarrow u - \overrightarrow {{u^,}} $ biểu diễn z – z’.

b. Nhân hai số phức
* z.z' = (a + bi).(a' + b'i) = (a.a' - b.b') + (a'b + ab')i
* k.z = k.(a + bi) = ka + kbi

c. Số phức liên hợp
* Số phức liên hợp của z là $\overline z = a - bi$
*$\overline{\overline z} = z;{\rm{ }}\overline {z \pm z'} = \overline z \pm \overline {z'} ;{\rm{ }}\overline {z.z'} = \overline z .\overline {z'} ;{\rm{ }}\overline {\left( {\frac{z}{{z'}}} \right)} = \frac{{\overline z }}{{\overline {z'} }}$; $z.\overline z = {a^2} + {b^2}$
* z là số thực <=>$z = \overline z $; z là số ảo <=> $z = - \overline z $

d. Môđun của số phức :
* $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $
* $|z| \ge 0,\forall z \in \mathbb{C},|z| = 0 \Leftrightarrow z = 0$
*$\left| {z.z'} \right| = \left| z \right|.\left| {z'} \right|$ *$\left| {\frac{z}{{z'}}} \right| = \frac{{\left| z \right|}}{{\left| {z'} \right|}};\,(z' \ne 0)$ * $\left| z \right| - \left| {z'} \right| \le \left| {z - z'} \right| \le \left| z \right| + \left| {z'} \right|$
e. Chia hai số phức:
* ${z^{ - 1.}} = \frac{1}{{{{\left| z \right|}^2}}}\overline z \,(z \ne 0)$(z  0) *$\frac{{z'}}{z} = z'.{z^{ - 1}} = \frac{{z'.\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}}$

II. Kiến thức về hình học giải tích trong mặt phẳng
1. Các dạng phương trình đường thẳng

- Dạng tổng quát: ax + by + c = 0
- Dạng đại số: y = ax + b
- Dạng tham số: $\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.$
- Dạng chính tắc: $\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b}$
- Phương trình đoạn chắn $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$
- Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)$biết hệ số góc k: $y = k(x - {x_0}) + {y_0}$

2. Phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R:
${(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}$$ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$với $c = {a^2} + {b^2} - {R^2}$
Lưu ý điều kiện để phương trình: ${x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0$là phương trình đường tròn: ${a^2} + {b^2} - c > 0$có tâm $I\left( { - a, - b} \right)$và bán kính$R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} $

3. Phương trình (Elip): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$
Với hai tiêu cự ${F_1}( - c;0),{F_2}(c;0),{F_1}{F_2} = 2c$
Trục lớn 2a, trục bé 2b và ${a^2} = {b^2} + {c^2}$

III. Một số chú ý trong giải bài toán tìm tập hợp điểm.
1. Phương pháp tổng quát

Giả sử số phức z = x +yi được biểu diễn bởi điểm M(x;y) . Tìm tập hợp các điểm M là tìm hệ thức giữa x và y thỏa mãn yêu cầu đề bài

2. Giả sử các điểm M, A, B lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z, a, b
*) $|z - a| = |z - b| \Leftrightarrow MA = MB \Leftrightarrow $M thuộc đường trung trực của đoạn AB
*) $|z - a| = |z - b| = k(k \in \mathbb{R},k > 0,k > |a - b|) \Leftrightarrow MA + MB = k$$ \Leftrightarrow M \in (E)$nhận A, B là hai tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng k

3. Giả sử M và M’ lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z và w = f(z)
Đặt z = x + yi và w = u + vi $(x,y,u,v \in \mathbb{R})$
Hệ thức w = f(z) tương đương với hai hệ thức liên hệ giữa x, y, u, v
*) Nếu biết một hệ thức giữa x, y ta tìm được một hệ thức giữa u, v và suy ra được tập hợp các điểm M’
*) Nếu biết một hệ thức giữa u, v ta tìm được một hệ thức giữa x, y và suy ra được tập hợp điểm M’

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
- Các kĩ năng biến đổi, thực hiện phép tính về số phức
- Kĩ năng biến đổi biểu thức đại số, tính khoảng cách,…


Câu 1. Điểm M biểu diễn số phức $z = 3 + 2i$ trong mặt phẳng tọa độ phức là:
A. M(3;2).
B. M(2;3).
C. M(3; - 2).
D. M( - 3; - 2).
Số phức z có phần thực là 3, phần ảo là 2 nên điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là điểm M(3;2) => Đáp án A
Câu 2. Cho số phức $z = - 2i - 1$. Điểm biểu diễn số phức liên hợp của z trong mặt phẳng phức là:
A. M( - 1; - 2).
B.M( - 1;2).
C. M( - 2;1).
D.M(2; - 1).
Số phức liên hợp của z là $\left| {z - 1 + i} \right| = \left| {\bar z + 1 - 2i} \right|$nên z = x + yicó phần thực là -1, phần ảo là 2. Vậy điểm biểu diễn số phức liên hợp là $\left| {z + \overline z + 3} \right| = 4$ $x = - \frac{7}{2}$
Đáp án B
Câu 3. Cho số phức $\left( {x < - \frac{3}{2}} \right)$. Điểm biểu diễn số phức $x = \frac{1}{2}$ trong mặt phẳng phức là:
A. $\left( {x \ge - \frac{3}{2}} \right)$.
B. $x = \frac{{13}}{2}$.
C. $x = - \frac{7}{2}$.
D. $x = \frac{1}{2}$.
Ta có : $M\left( {x,y} \right)$
z = x + yi
$|z + \overline z + 3| = 4 \Leftrightarrow |x + yi + x - yi + 3| = 4 \Leftrightarrow |2x + 3| = 4$
Đáp án A.
Câu 4. Gọi A là điểm biểu diễn của số phức $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}{\rm{ }}\left( {x \ge - \frac{3}{2}} \right)\\x = - \frac{7}{2}{\rm{ }}\left( {x < - \frac{3}{2}} \right)\end{array} \right.$và B là điểm biểu diễn của số phức$M\left( {x,y} \right)$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua trục tung.
B. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.
C. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng $x = - \frac{7}{2}$.
D. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua trục hoành.
Ta có $\left( {x < - \frac{3}{2}} \right)$; $x = \frac{1}{2}$. Gọi I là trung điểm của AB
Lúc đó : $\left( {x \ge - \frac{3}{2}} \right)$
Với |z + i| = |z - i| và I là trung điểm của AB
y = xA và B đối xứng nhau qua (d) y = - x
Đáp án C
Câu 5. Gọi A là điểm biểu diễn số phức $M\left( {x,y} \right)$, B là điểm biểu diễn số phức z = x + yi. Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai ?
A. A và B đối xứng nhau qua trục hoành.
B. A và B trùng gốc tọa độ khi $|z + i| = |z - i| \Leftrightarrow |x + (y + 1)i| = |x + (y - 1)i|$.
C. A và B đối xứng qua gốc tọa độ.
D. Đường thẳng AB đi qua gốc tọa độ.
Giả sử $ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {{(y + 1)}^2}} = \sqrt {{x^2} + {{(y - 1)}^2}} \Leftrightarrow y = 0$là điểm biểu diễn số phức Mthì $|\overline z + 1 - i| \le 1$là điểm biểu diễn số phức $M\left( {x,y} \right)$z = x + yi$|\overline z + 1 - i| \le 1 \Leftrightarrow |(x + 1) + ( - y - 1)i| \le 1$và $ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \le 1 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} \le 1$ đối xứng nhau qua gốc tọa độOxy Đáp án A.
Câu 6. Các điểm biểu diễn các số phức ztrong mặt phẳng tọa độ, nằm trên đường thẳng có phương trình là:
A. $d\left( {O,d} \right) = \frac{{3\sqrt 5 }}{{10}}$.$\left| {z + 2} \right| = \left| {i - z} \right|$
B. O.
C. d.
D. d2.
Các điểm biểu diễn số phức $d\left( {O,d} \right) = \frac{{3\sqrt 5 }}{5}$có dạng $d\left( {O,d} \right) = \frac{{3\sqrt 5 }}{{20}}$nên nằm trên đường thẳng $d\left( {O,d} \right) = \frac{{\sqrt 5 }}{{10}}$=>Đáp án D
Câu 7. Trên mặt phẳng tọa độ , tập hợp điểm biểu diễn các số phức Oxy thỏa mãn điều kiện phần thực của z bằng -2 là:
A.x = - 2.
B. $\left( {II} \right):z.\overline z = 5$.
C. $\left( {III} \right):\left| {z - 2i} \right| = 4$
D. $\left( {IV} \right):\left| {i\left( {z - 4i} \right)} \right| = 3$
Điểm biểu diễn các số phức $\left( I \right)$có phần thực bằng -2 có dạng $M( - 2;b)$nên nằm trên đường thẳng x = - 2$M\left( {x,y} \right)$
Đáp án A.
Câu 8. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn các số phức $z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)$thỏa mãn điều kiện phần ảo của $\left( I \right):\left| {z + \overline z } \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {2x} \right| = 2 \Leftrightarrow x = \pm 1$nằm trong khoảng $\left( {II} \right):z.\overline z = 5 \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 5$là:
A. Các điểm nằm trong phần giới hạn bởi đường thẳng z và ${z^2}$, không kể biên.
B. Các điểm nằm trong phần giới hạn bởi đường thẳng $\left( {IV} \right):\left| {i\left( {z - 4i} \right)} \right| = 3 \Leftrightarrow \left| {4 + iz} \right| = 3 \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 9$và Oxy, kể cả biên.
C. Các điểm nằm trong phần giới hạn bởi đường thẳng $\left( {III} \right):\left| {z - 2i} \right| = 4 \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 16$và $y = 2017$, không kể biên.
D. Các điểm nằm trong phần giới hạn bởi đường thẳng ${d_1},{d_2}$và α, kể cả biên.
Điểm biểu diễn các số phức ${d_1},{d_2}$ có phần ảo nằm trong khoảng $\alpha = {60^0}$có dạng $\alpha = {45^0}$với $\alpha = {30^0}$$M\left( {x,y} \right)$
Đáp án C.
Câu 9. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn các số phức $z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)$thỏa mãn điều kiện phần thực của ${z^2} = \left( {{x^2} - {y^2}} \right) + 2xyi$nằm trong đoạn =>là:
A. Các điểm nằm trong phần giới hạn bởi đường thẳng ${x^2} - {y^2} = 0 \wedge xy \ne 0 \Rightarrow y = \pm x \Rightarrow \alpha = {90^0}$và Oxy, kể cả biên.
B. Các điểm nằm trong phần giới hạn bởi đường thẳng Zvà $2\left| {z - i} \right| = \left| {z - \overline z + 2i} \right|$, kể cả biên.
C. Các điểm nằm trong phần giới hạn bởi đường thẳng $\left( P \right)$và $\left( P \right)$, không kể biên.
D. Các điểm nằm trong phần giới hạn bởi đường thẳng $\left( {0,0} \right)$và $\left( { - 1,3} \right)$, kể cả biên.
Điểm biểu diễn các số phức $\left( {0,1} \right)$có phần thực $\left( { - 1,0} \right)$nằm trong đoạn $M\left( {x,y} \right)$có dạng $z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)$với $2\left| {z - i} \right| = \left| {z - \overline z + 2i} \right| \Leftrightarrow 2\sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {2y + 2} \right)}^2}} \Leftrightarrow y = \frac{{{x^2}}}{4}$$O\left( {0,0} \right)$
Đáp án A.
Câu 10. Cho số phức Oxy. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức liên hợp của z trong mặt phẳng tọa độ là:
A. Z.
B. $\left| {{{\left| z \right|}^2} - z\left( {\overline z + i} \right) - i} \right| = 3$.
C.$\left( C \right)$.
D. I.
Ta có : $\left( C \right)$Các điểm biểu diễn $d\left( {I,Oy} \right) = 1$có dạng $d\left( {I,Oy} \right) = 2$nên tập hợp các điểm này là đường thẳng $d\left( {I,Oy} \right) = 0$Đáp án A.
B.Thông Hiểu (20 câu)
Câu 11. Cho số phức $d\left( {I,Oy} \right) = \sqrt 2 $. Để điểm biểu diễn của z nằm trong dải (- 2; 2) , ở hình 1, điều kiện của a và b là:
biểu diễn hình học số phức_11.PNG
A. $ \Leftrightarrow \left| { - iz - i} \right| = 3 \Leftrightarrow \left| {y + i\left( { - x - 1} \right)} \right| = 3$.
B. $\left| {{{\left| z \right|}^2} - z\left( {\overline z + i} \right) - i} \right| = 3$.
C. $ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 9$.
D. Oxy.
Các số phức trong dải đã cho có phần thực trong khoảng Z, phần ảo tùy ý$\left| {{z^2} + {{\left( {\overline z } \right)}^2} + 2{{\left| z \right|}^2}} \right| = 16$
Đáp án B.
Câu 12. Cho số phức ${d_1},{d_2}$. Để điểm biểu diễn của z nằm trong dải ${d_1},{d_2}$như hình 2 thì điều kiện của a và b là:
biểu diễn hình học số phức_12.PNG
A. $d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = 6$.
B. $d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = 2$.
C. $d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = 1$.
D. $d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = 4$.
Các số phức trong dải đã cho có phần ảo trong khoảng $M\left( {x,y} \right)$, phần thực tùy ý$z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)$Đáp án D
Câu 13. Cho số phức $\left| {{z^2} + {{\left( {\overline z } \right)}^2} + 2{{\left| z \right|}^2}} \right| = 16 \Leftrightarrow \left| {{x^2} + 2xyi - {y^2} + {x^2} - 2xyi - {y^2} + 2{x^2} + 2{y^2}} \right| = 16$. Để điểm biểu diễn của z nằm trong hình tròn như hình 3 (không tính biên), điều kiện của a và b là:
biểu diễn hình học số phức_13.PNG
A. $ \Leftrightarrow \left| {4{x^2}} \right| = 16 \Leftrightarrow x = \pm 2$.
B. ${a^2} + {b^2} \le 4$.
C. =>.
D. $d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = 4$.
Ta thấy miền mặt phẳng trên hình là hình tròn tâm O(0;0) bán kính bằng 2, gọi M(a;b) là điểm thuộc miền mặt phẳng đó thì $M(a;b) = \left\{ {a;b \in \mathbb{R};{a^2} + {b^2} < 4} \right\}$
=> Đáp án A
Câu 14. Số phức z thỏa mãn điều nào thì có biểu diễn là phần tô mầu như trên hình
biểu diễn hình học số phức_14.PNG
A. Số phức z có phần thực lớn hơn hoặc bằng 1 và nhỏ hơn hoặc bằng 2.
B. Số phức z có phần thực lớn hơn 1 và nhỏ hơn 2.
C. Số phức z có phần thực lớn hơn hoặc bằng 1 và nhỏ 2.
D. Số phức z có phần ảo lớn hơn hoặc bằng 1 và nhỏ hơn hoặc bằng 2.
Ta thấy miền mặt phẳng được tô mầu trên hình là miền mặt phẳng chứa tất cả các điểm ${z_1},{z_2},{z_3}$.Vậy đáp án là C
Học sinh hay nhầm và không để ý là $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right|$
Câu 15. Số phức z thỏa mãn điều nào thì có biểu diễn là phần gạch chéo như trên hình
biểu diễn hình học số phức_15.PNG
A. Số phức z có phần ảo lớn hơn -1 và nhỏ hơn hoặc bằng 2.
B. Số phức z có phần ảo lớn hơn -1 và nhỏ hơn 2.
C. Số phức z có phần ảo lớn hơn hoặc bằng -1 và nhỏ hơn hoặc bằng 2.
D. Số phức z có phần ảo lớn hơn hoặc bằng -1 và nhỏ hơn 2.
Ta thấy miền mặt phẳng trên hình là miền mặt phẳng chứa tất cả các điểm ${z_1} + {z_2} + {z_3} = 0$
Vậy đáp án là C
Câu 16. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức ABClà đường tròn $\Delta ABC$. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right|$là đường tròn nào sau đây ?
A. $ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OC} } \right|$.
B. O.
C. ${z_1} + {z_2} + {z_3} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 0$.
D. $ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {OG} = 0 \Leftrightarrow G \equiv O$.
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $ \Rightarrow \Delta ABC$là đường tròn tâm $G$bán kính Oxy. Mà tập hợp các điểm biểu diễn số phức Zđối xứng với tập hợp các điểm biểu diễn số phức ${\left| z \right|^2} + z + \overline z = 0$qua $\left( C \right)$nên tập hợp cần tìm là đường tròn tâm S, bán kính $\left( C \right)$Đáp án A.
Câu 17. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $S = \pi $thỏa mãn $S = 2\pi $trên mặt phẳng tọa độ là:
A. Hình tròn tâm $S = 3\pi $, bán kính $S = 4\pi $, không kể biên.
B. Hình tròn tâm $M\left( {x,y} \right)$, bán kính $z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)$, kể cả biên.
C. Đường tròn tâm ${\left| z \right|^2} + z + \overline z = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + x + yi + x - yi = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2x = 0$, bán kính =>.
D. Đường tròn tâm bất kì, bán kính $R = 1 \Rightarrow S = \pi {R^2} = \pi $.
Gọi Oxy. Ta có: $1 \le \left| {z + 1 - i} \right| \le 2$ Đáp án A.
Câu 18. Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức Psao cho $P = 2\pi $là:
A. Gốc tọa độ.
B. Trục hoành.
C. Trục tung.
D. Trục tung và trục hoành
Gọi $P = \pi $
$P = 4\pi $
$P = 3\pi $Tập hợp các điểm M là trục tung và trục hoành
=> Ta có đáp án D
Câu 19. Số phức z thỏa mãn điều nào thì có biểu diễn là phần gạch chéo như trên hình.
biểu diễn hình học số phức_19.PNG
A. Số phức $M\left( {x,y} \right)$.
B. Số phức $z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)$.
C. Số phức $A\left( { - 1,1} \right)$.
D. Số phức - 1 + i.
Từ hình biểu diễn ta thấy tập hợp các điểm $1 \le \left| {z + 1 - i} \right| \le 2$biểu diễn số phức z trong phần gạch chéo đều thuộc đường tròn tâm $ \Leftrightarrow 1 \le MA \le 2$và bán kính bằng 2 ngoài ra ${R_1} = 2,{R_2} = 1$
Vậy $M\left( {a,b} \right)$là điểm biểu diễn của các số phức $ \Rightarrow P = {S_1} - {S_2} = 2\pi \left( {{R_1} - {R_2}} \right) = 2\pi $có mô đun nhỏ hơn hoặc bằng 2 và có phần thực thuộc đoạn [-1;1]. Ta có đáp án là A.
Câu 20. Trong mặt phẳng phức , số phức Oxy thỏa điều kiện nào thì có điểm biểu diễn số phức thuộc phần tô màu như hình vẽ
biểu diễn hình học số phức_20.PNG
A. Phần thực của Mvà Z.
B. Phần thực của $\left| {z + 2} \right| + \left| {z - 2} \right| = 8$và M.
C. Phần thực của $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{{12}} = 1$và $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{12}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$.
D. Phần thực của $\left( T \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 64$và $\left( T \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 8$.
Ta thầy phần tô mầu là tập hợp các điểm $M\left( {x,y} \right)$biểu diễn số phức $z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)$có mô đun nhỏ hơn hoặc bằng 3 và phần thực thuộc A. Đáp án A
Câu 21. Trong mặt phẳng phức Oxy, số phức - 2 thỏa điều kiện nào thì có điểm biểu diễn số phức thuộc phần tô màu như hình vẽ
biểu diễn hình học số phức_21.PNG
A. 2 và phần ảo dương.
B. B và phần ảo âm.
C. $\left| {z + 2} \right| + \left| {z - 2} \right| = 8 \Leftrightarrow MA + MB = 8$ và phàn ảo dương.
D. AB = 4 và phần ảo âm.
Ta thấy phần tô màu là nửa dưới trục hoành của hình vành khăn được tạo bởi hai đường tròn đồng tâm =>và bán kính lần lượt là 1 và 2
Vậy đây chính là tập hợp các điểm z biểu diễn cho số phức $A,B$trong mặt phẳng phức với $8$và có phần ảo âm.
Câu 22. Trong mặt phẳng phức $\left| {{z^2} - {{\left( {\bar z} \right)}^2}} \right| = 4$, cho 2 số phức $y = \frac{1}{x}$sao cho $y = - \frac{1}{x}$. Nếu tập hợp các điểm biểu diễn số phức $y = \frac{1}{x}$là đường tròn $y = - \frac{1}{x}$thì tập hợp các điểm biểu diễn số phức $M\left( {x,y} \right)$là đường tròn nào sau đây
A $z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)$
B.$\left| {{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}} \right| = 4 \Leftrightarrow \left| {4xyi} \right| = 4 \Leftrightarrow {x^2}{y^2} = 1 \Leftrightarrow y = \pm \frac{1}{x}$
C.Oxy
D.z
Cho 2 số phức $\left| {z - 5i} \right| \le 3$sao cho z2được biểu diễn bởi 2 điểm đối nhau qua gốc tọa độ $0$. Do tập hợp điểm biểu diễn $4$là đường tròn tâm z = x + yisuy ra tập hợp điểm biểu diễn $\left| {z - 5i} \right| \le 3$là đường tròn tâm z
Câu 23. Nếu tập hợp các điểm biểu diễn số phức z = 2i là đường thẳng Oxy trên hình vẽ bên dưới thì tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đồ thị nào sau đây ?
biểu diễn hình học số phức_23.PNG
A.Đường thẳng $\left| {z + 2i - 1} \right| = \left| {z + i} \right|$
B.Đường thẳng z
C.Đường thẳng $y = x + 2$
D.Đường thẳng M
Đường thẳng $A\left( {1,3} \right)$biểu diễn số phức $\overline z $. Do $1 + 3i$đối xứng với nhau qua trục $2 - 3i$$ - 2 + 3i$.Đáp án A.
Ở câu này học sinh phải nắm vững kiến thức về số phức liên hợp; biết được M là điểm biểu diễn cho số phức $M\left( {x,y} \right)$, M’ là điểm biểu diễn của $z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)$thì M và M’ đối xứng với nhau qua trục Ox
Hs dễ sai khi chỉ để ý và viết đc pt đường thẳng d: y=2 – x và chọn đáp án B, hoặc cho d đối xứng qua Oy được đáp án C, hay đối xứng qua O(0;0) được đáp án
D.
Câu 24. Trong mặt phẳng phức $E\left( {1, - 2} \right)$, cho 2 số phức $1 - 2i$thỏa mãn phần thực của $F\left( {0, - 1} \right)$bằng phần ảo của - ivà phần ảo của $\left| {z + 2i - 1} \right| = \left| {z + i} \right| \Leftrightarrow ME = MF$bằng phần thực của =>. Nếu tập hợp của các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng $EF:x - y - 2 = 0$ thì tập hợp các điểm biểu diễn số phức MA là đường thẳng nào sau đây ?
A.M.
B. $MA \bot EF$.
C.$ \Leftrightarrow M\left( {3,1} \right) \Rightarrow z = 3 + i$.
D.Oxy.
Cho 2 số phức z thỏa mãn phần thực của $\left| {z + 1 - i} \right| \le 1$bằng phần ảo của z và phần ảo của z bằng phần thực của $\frac{{ - \sqrt 2 - 2}}{2}$suy ra $\frac{{\sqrt 2 - 2}}{2}$đối xứng nhau qua đường phân giác $\frac{{2 - \sqrt 2 }}{2}$.Mà tập hợp của các điểm biểu diễn số phức $\frac{{2 + \sqrt 2 }}{2}$là đường thẳng $M\left( {x,y} \right)$thì tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)$là đường thẳng A=> Vậy đáp án B
Câu 25. Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức - 1 + isao cho ${z^2} = |z{|^2}$là:
A. Gốc tọa độ.
B. Trục hoành.
C. Trục tung và trục hoành.
D. Trục tung.
Gọi $M\left( {a,b} \right)$là điểm biểu diễn số phức $A\left( { - 1,1} \right),R = 1$
Ta có : ${z^2} = |z{|^2} \Rightarrow {(a + bi)^2} = {a^2} + {b^2} \Leftrightarrow 2{b^2} - 2abi = 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{b^2} = 0}\\{ - 2ab = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b = 0\\b = 0\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \max \left( {OM} \right)$Tập hợp các điểm M là trục tung . Đáp án D
Câu 26. Tập hợp điểm biểu diễn số phức $ \Rightarrow M$thỏa mãn $\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2} \le 1}\\{y = - x}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt 2 - 2}}{2},x = - \frac{{\sqrt 2 + 2}}{2}\end{array}$và phần ảo của z bằng 1 là:
A. Giao điểm của đường tròn tâm $z = 2 + i$, bán kính $z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)$và đường thẳng $\left| {z - 1} \right| = \left| {z - i} \right| \Leftrightarrow MA = MB$.
B. Đường tròn tâm $z = 1 - i$, bán kính $z = 2 - i$.
C. Giao điểm của đường tròn tâm $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {z - 1} \right| = \left| {z - i} \right|}\\{\left| {\frac{{z - 3i}}{{z + i}}} \right| = 1}\end{array}} \right.$, bán kính R = 1và đường thẳng $z = 1 + i$.
D. Đường thẳng $\left| {\frac{{z - 3i}}{{z + i}}} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {z + i} \right| = \left| {z - 3i} \right| \Leftrightarrow MC = MD$.
Gọi $M\left( {a,b} \right)$là điểm biểu diễn số phức $A\left( { - 1,1} \right),R = 1$
. Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}|z| = 1\\b = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 1\\b = 1\end{array} \right. \Rightarrow $Tập hợp các điểm biểu diễn là giao điểm của đường tròn tâm O, bán kính R = 1và đường thẳng $y = 1$. =>Đáp án C
Câu 27. Trong mặt phẳng phức Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn $\left| {z + \overline z } \right| = \left| {z - \overline z } \right|$là hai đường thẳng ${d_1},{d_2}$. Giao điểm Mcủa 2 đường thẳng ${d_1},{d_2}$có tọa độ là:
A. $\left( {0,0} \right)$.
B. $\left( {1,1} \right)$.
C. $\left( {1,2} \right)$.
D.$\left( {0,3} \right)$.
Gọi $M\left( {x,y} \right)$là điểm biểu diễn số phức $z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)$
Ta có :$\left| {z + \overline z } \right| = \left| {z - \overline z } \right| \Leftrightarrow \left| {2x} \right| = \left| {2yi} \right| \Rightarrow y = \pm x \Rightarrow M\left( {0,0} \right)$=>Đáp án A
Câu 28. Trong mặt phẳng phức Oxy, giả sử Mlà điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn $\left| {2 + z} \right| > \left| {z - 2} \right|$. Tập hợp những điểm Mlà ?
A. Nửa mặt phẳng ở bên dưới trục Ox.
B. Nửa mặt phẳng ở bên trái trục Oy.
C. Nửa mặt phẳng ở bên trên trục $Ox$.
D. Nửa mặt phẳng ở bên phải trục Oy.
Gọi $M\left( {x,y} \right)$là điểm biểu diễn số phức $z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)$
Gọi A( - 2;0)là điểm biểu diễn số phức - 2
Gọi B(2;0) là điểm biểu diễn số phức 2
Ta có : $\left| {2 + z} \right| > \left| {z - 2} \right| \Leftrightarrow MA > MB$$ \Rightarrow M$thuộc nửa mặt phẳng ở bên phải trục ảo Oy
Vậy đáp án D
Câu 29. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho ${z^2}$là số thực âm là:
A. Trục Ox.
B. Trục Ox trừ gốc tọa dộ.
C. Trục Oy.
D. Trục Oy trừ gốc tọa độ.
Gọi $M\left( {a,b} \right)$là điểm biểu diễn số phức $A\left( { - 1,1} \right),R = 1$.
Ta có: ${z^2}$là số thực âm $ \Rightarrow {(a + bi)^2}$là số thực âm. Mà ${z^2} = ({a^2} - {b^2}) + 2abi$
=>$\left\{ \begin{array}{l}2ab = 0\\{a^2} - {b^2} < 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.\\{a^2} - {b^2} < 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0; - {b^2} < 0\\b = 0;{a^2} < 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b \ne 0\end{array} \right.$$ \Rightarrow M(0;b)$với $b \ne 0 \Rightarrow $Tập hợp điểm M là trục Oy trừ gốc tọa độ
=>Đáp án D.
Câu 30. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho |z - 2| < 1 là:
A. Một hình tròn.
B. Một đường tròn.
C. Một hình vuông.
D. Một parabol
Gọi $M\left( {a,b} \right)$là điểm biểu diễn số phức $A\left( { - 1,1} \right),R = 1$.
Ta có: $|z - 2| < 1 \Rightarrow |a + bi - 2| < 1 \Rightarrow {(a - 2)^2} + {b^2} < 1 \Rightarrow $Đáp án A.