Tìm \(a\) và \(b\) để các cực trị của hàm số \(y=\frac{5}{3}a^{2}x^{3}+2ax^{2}-9x+b\) đều là những số dương và \(x_{0}=-\frac{5}{9}\) là điểm cực đại.
TXĐ: D = R.
Trường hợp này hàm số có \(a=-1<0\) nên hàm số luôn nghịch biến trên R. Do đó hàm số không có cực trị.
TH2: \(a \ne 0\). TXĐ: D = R.
Ta có :
\(\begin{array}{l}y' = 5{a^2}{x^2} + 4ax - 9 = 0\\\Delta ' = {\left( {2a} \right)^2} + 5{a^2}.9 = 49{a^2}\\\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 2a + 7a}}{{5{a^2}}} = \frac{1}{a}\\x = \frac{{ - 2a - 7a}}{{5{a^2}}} = \frac{{ - 9}}{{5a}}\end{array} \right.\end{array}\)
- Với \(a < 0\) ta có \(\frac{1}{a} < \frac{{ - 9}}{{5a}}\).
Bảng biến thiên
Từ BBT ta có \(x_{CĐ}=\frac{1}{a}\).
Theo giả thiết \(x_{0}=-\frac{5}{9}\) là điểm cực đại nên \(\frac{1}{a}=-\frac{5}{9}\Leftrightarrow a=\frac{-9}{5}\)
\(\begin{array}{l}{y_{CT}} = y\left( { - \frac{9}{{5a}}} \right) = y\left( 1 \right) > 0\\\Leftrightarrow \frac{5}{3}.{\left( { - \frac{9}{5}} \right)^2} + 2.\left( { - \frac{9}{5}} \right) - 9 + b > 0\Leftrightarrow b > \frac{{36}}{5}\end{array}\)
- Với \(a > 0\) ta có \(\frac{1}{a} > \frac{{ - 9}}{{5a}}\).
Bảng biến thiên
Từ BBT ta có \(x_{CĐ}=\frac{-9}{5a}\).
Vì \(x_{0}=-\frac{5}{9}\) là điểm cực đại nên \(-\frac{9}{5a}=-\frac{5}{9}\Leftrightarrow a=\frac{81}{25}\) (tm). Theo yêu cầu bài toán thì: \(y_{(ct)}=y\left ( \frac{1}{a} \right )=y\left ( \frac{25}{81} \right )>0\)
\(\Leftrightarrow \frac{5}{3}\cdot \left ( \frac{81}{25} \right )^{2}\left ( \frac{25}{81} \right )^{3}+2.\frac{81}{25}\cdot \left ( \frac{25}{81} \right )^{2}-9\cdot \frac{25}{81}+b>0\)
\(\Leftrightarrow b>\frac{400}{243}.\)
Vậy các giá trị \(a, b\) cần tìm là: \(\left\{\begin{matrix} a=-\frac{9}{5} & \\ b>\frac{36}{5} & \end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{matrix} a=\frac{81}{25} & \\ b>\frac{400}{243} & \end{matrix}\right.\).
7scv Giải
TH1: \(a = 0\) hàm số trở thành \(y = -9x + b\).TXĐ: D = R.
Trường hợp này hàm số có \(a=-1<0\) nên hàm số luôn nghịch biến trên R. Do đó hàm số không có cực trị.
TH2: \(a \ne 0\). TXĐ: D = R.
Ta có :
\(\begin{array}{l}y' = 5{a^2}{x^2} + 4ax - 9 = 0\\\Delta ' = {\left( {2a} \right)^2} + 5{a^2}.9 = 49{a^2}\\\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 2a + 7a}}{{5{a^2}}} = \frac{1}{a}\\x = \frac{{ - 2a - 7a}}{{5{a^2}}} = \frac{{ - 9}}{{5a}}\end{array} \right.\end{array}\)
- Với \(a < 0\) ta có \(\frac{1}{a} < \frac{{ - 9}}{{5a}}\).
Bảng biến thiên
Từ BBT ta có \(x_{CĐ}=\frac{1}{a}\).
Theo giả thiết \(x_{0}=-\frac{5}{9}\) là điểm cực đại nên \(\frac{1}{a}=-\frac{5}{9}\Leftrightarrow a=\frac{-9}{5}\)
\(\begin{array}{l}{y_{CT}} = y\left( { - \frac{9}{{5a}}} \right) = y\left( 1 \right) > 0\\\Leftrightarrow \frac{5}{3}.{\left( { - \frac{9}{5}} \right)^2} + 2.\left( { - \frac{9}{5}} \right) - 9 + b > 0\Leftrightarrow b > \frac{{36}}{5}\end{array}\)
- Với \(a > 0\) ta có \(\frac{1}{a} > \frac{{ - 9}}{{5a}}\).
Bảng biến thiên
Từ BBT ta có \(x_{CĐ}=\frac{-9}{5a}\).
Vì \(x_{0}=-\frac{5}{9}\) là điểm cực đại nên \(-\frac{9}{5a}=-\frac{5}{9}\Leftrightarrow a=\frac{81}{25}\) (tm). Theo yêu cầu bài toán thì: \(y_{(ct)}=y\left ( \frac{1}{a} \right )=y\left ( \frac{25}{81} \right )>0\)
\(\Leftrightarrow \frac{5}{3}\cdot \left ( \frac{81}{25} \right )^{2}\left ( \frac{25}{81} \right )^{3}+2.\frac{81}{25}\cdot \left ( \frac{25}{81} \right )^{2}-9\cdot \frac{25}{81}+b>0\)
\(\Leftrightarrow b>\frac{400}{243}.\)
Vậy các giá trị \(a, b\) cần tìm là: \(\left\{\begin{matrix} a=-\frac{9}{5} & \\ b>\frac{36}{5} & \end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{matrix} a=\frac{81}{25} & \\ b>\frac{400}{243} & \end{matrix}\right.\).
Học toán lớp 12
Sửa lần cuối: