Toán 12 Cực trị của hàm số bậc 3

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Bài toán tổng quát: Cho hàm số bậc 3 có dạng y = f(x) = ax$^{3}$ + bx$^{2}$ + cx + d (với a ≠ 0, a, b, c, d phụ thuộc vào tham số). Hãy tìm giá trị của tham số để hàm số y có cực đại hoặc cực tiểu (nói cách khác là cực trị) thỏa mãn điều kiện bài toán cho trước.

Phương pháp giải bài toán cực trị của hàm số bậc 3:
Bước 1:
Tính đạo hàm của hàm số y’ = 3ax$^{2}$ + 2bx + c,
Cho y’ = 0 ⇔ 3ax$^{2}$ +2bx + c = 0 (1)
Để hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu ⇔ y’ = 0 phải có hai nghiệm phân biệt ⇔ (1) phải có hai nghiệm phân biệt
Ta có a ≠ 0 và ∆ (∆’) ≠ 0 ⇔ Giá trị tham số cần tìm thuộc 1 miền D nào đó (*)
cực trị hàm bậc 3.jpg


Bước 2:
Từ điều kiện bài toán cho trước ta có 1 phương trình hoặc 1 bất phương trình theo tham số cần tìm
Giải phương trình này ta sẽ tìm được tham số rồi sau đó đối chiếu với điều kiện (*) của tham số và kết luận.
Một số điều kiện của bài toán thường gặp:
– Để hàm số y = f(x) đã cho có 2 cực trị <=> a ≠ 0 và ∆$_{y’}$ (∆’) > 0
– Để hàm số y = f(x) đã cho có 2 cực trị nằm về hai phía đối nhau của trục hoành <=> y$_{CD}$.y$_{CT}$ < 0
– Để hàm số y = f(x) đã cho có 2 cực trị nằm về hai phía đối nhau của trục tung <=> x$_{CD}$.x$_{CT}$ < 0
– Để hàm số y = f(x) đã cho có 2 cực trị cùng nằm phía trên của trục hoành <=>
Cực trị của hàm số bậc 3.gif

– Để hàm số y = f(x) đã cho có 2 cực trị cùng nằm phía dưới của trục hoành <=>
Cực trị của hàm số bậc 3 1.gif

– Để hàm số y = f(x) đã cho có cực trị nằm tiếp xúc với trục hoành <=> y$_{CD}$.y$_{CT}$ = 0
– Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khác nằm phía đối với đường thẳng d có dạng: Ax + By + C = 0
Gọi M$_{1}$ (x$_{1}$ ; y$_{1}$) và M$_{2}$ (x$_{2}$ ; y$_{2}$) là điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số y = f(x)
Ta có t$_{1}$ và t$_{2}$ là giá trị của các điểm cực trị M$_{1}$, M$_{2}$ khi ta thay vào đường thẳng d.
t$_{1}$ = Ax$_{1}$ + By$_{1}$ + C
t$_{2}$ = Ax$_{2}$ + By$_{2}$ + C
Nếu đồ thì có 2 điểm cực trị nằm 2 phía đường thẳng d thì ta có phương trình
Cực trị của hàm số bậc 3 2.png

có 2 nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$
Nếu đồ thì có 2 điểm cực trị nằm cùng 1 phía đường thẳng d thì ta có phương trình
Cực trị của hàm số bậc 3 4.png

có 2 nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$
Chú ý: Khi ta thay đường thẳng d bằng trục của Ox hoặc Oy hay 1 đường tròn thì ta vẫn áp dụng được kết quả trên . Các kết quả khác của nó thì tùy theo từng điều kiện để có thể áp dụng.

Bài tập ví dụ
Bài 1: cho hàm số y = x$^{3}$ – 2(m + 1)x$^{2}$ + (m$^{2}$ – 3m + 2)x + 4. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và 2 cực trị này nằm về hai phía của trục tung.
Hướng dẫn giải chi tiết
Tập xác định R
Ta có y’ = 3x$^{2}$ – 2(m + 1)x + (m$^{2}$ – 3m + 2)
Để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục tung thì phương trình y’ = 0 phải có 1 nghiệm phân biệt

Bài 2: Cho hàm số y = (m + 2)x$^{3}$ + 3x$^{2 }$ + mx -5 với m là tham số. Tìm giá trị của m để các cực trị có hoành độ là số dương.
Hướng dẫn giải chi tiết
Tập xác đinh R
Để các cực trị của hàm số có hoành đồ là số dương thì phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
Ta có y’ = 3(m + 2)x$^{2}$ + 6x + m
Cực trị của hàm số bậc 3 2.png

Vậy với -3 < m< -2 thì hàm số đã cho có điểm cực trị có hoành độ là dương

Bài 3: Cho hàm số y = -x$^{3}$ + 3x$^{2}$ + 3(m$^{2}$ – 1)x – 3m$^{2}$ – 1 (m là tham số thực). Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu này cách đều gốc tọa độ O.
Hướng dẫn giải chi tiết
Ta có đạo hàm y’ = – 3x$^{2}$ + 6x + 3(m$^{2}$ – 1),
y’ = 0 ⇔ – 3x$^{2}$ +6x + 3(m$^{2}$ – 1) = 0 (1)
Để hàm số có cực trị ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
⇔Δ’= m$^{2}$ > 0 ⇔ m ≠ 0
Khi đó ta có tọa độ hai điểm cực trị là A(1 – m, – 2 – m$^{2}$) và B(1+m ; -2 + 2m$^{2}$)
Theo giả thiết đề bài 2 điểm cực trị này cách đều gốc tọa độ ta có
⇔ OA = OB
⇔ (1 – m)$^{2 }$+ (-2 – 2m$^{2}$)$^{2}$ = (1+ m)$^{2}$ + (2 – 2m$^{2}$)$^{2}$
⇔4m$^{3}$ = m
⇔ m = ± ½
Vậy với m = ± ½ thì hàm số có cực đại và cực tiểu thỏa mãn hai điểm này cách đều gốc tọa độ O.
 
Sửa lần cuối: