Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = {x^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}},\) trục hoành, trục tung và đường thẳng \(x = 3\) là:

Nguyên hàm | tích phân | nguyên hàm và tích phân |
Ứng Dụng Của Tích Phân Và Nguyên Hàm
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = {x^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}},\) trục hoành, trục tung và đường thẳng \(x = 3\) là:
A. \(\frac{5}{6}.\)
B. \(\frac{{17}}{4}.\)
C. \(\frac{{11}}{4}.\)
D. \(\frac{{17}}{3}.\)

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}\) với trục hoành là:
\({x^3} - 3{x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.\)
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}S = \int\limits_0^3 {\left| {{x^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}} \right|} dx\\ = \int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}} \right)d{\rm{x}}} - \int\limits_1^2 {\left( {{x^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}} \right)d{\rm{x}}} + \int\limits_2^3 {\left( {{x^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}} \right)d{\rm{x}}} \\ \Rightarrow S = \frac{{11}}{4}.\end{array}\)