Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh \(AB = a,AD = a\sqrt 2 \), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)

Khối đa diện |Ứng Dụng Thể Tích Tính Khoảng Cách, Chứng Minh Hệ Thức|
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh \(AB = a,AD = a\sqrt 2 \), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) góc giữa SC và đáy bằng 600. Tính thể tích hình chóp S.ABCD.
A. \(V = \sqrt 2 {a^3}\)
B. \(V = 3\sqrt 2 {a^3}\)
C. \(V = 3{a^3}\)
D. \(V = \sqrt 6 {a^3}\)

Theo bài ra ta có, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD). \( \Rightarrow \left[ {\widehat {SC,\left( {ABCD} \right)}} \right] = \left( {\widehat {SC,AC}} \right) = \widehat {SCA} = {60^0}\)
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại B, có \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}} = a\sqrt 3 \)
Xét \(\Delta SAC\) vuông tại A, có \(\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right) \Rightarrow SA \bot AC\)
Ta có: \(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} \Rightarrow SA = AC.\tan \widehat {SCA} = AC.\tan {60^0} = a\sqrt 3 .\sqrt 3 = 3a\)
Vậy thể tích hình chóp S.ABCD là:
\({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.3a.a.a\sqrt 2 = {a^3}\sqrt 2 .\)