Dạng 1: Tính thể tích khối đa diện

Thí dụ 1: Tính thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước làm thành cấp số nhân với công bội là 2 và tổng của chúng bằng 42.
Gọi a, b, c là ba kích thước của hình hộp chữ nhật, ta có: V = abc. (3)
Từ giả thiết a, b, c theo thứ tự đó chúng lập thành một cấp số nhân với công bội bằng 2 và tổng của chúng bằng 42, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 42\\b = 2a\\c = 4a\end{array} \right.\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}a + 2a + 4a = 42\\b = 2a\\c = 4a\end{array} \right.\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 12\\c = 24\end{array} \right.\). (4)
Thay (4) vào (3) ta được V = 6.12.24 = 1728 (đvtt).

Thí dụ 2: Tính thể tích hình chóp tứ giác đều S.ABCD có:
a. Diện tích đáy bằng 4 và diện tích của một mặt bên bằng \(\sqrt 2 \).
b. AC = $\sqrt 2 $ và \(\widehat {ASB}\) = 60$^0$.
a. Gọi O là tâm của đáy ABCD, ta có: V = \(\frac{1}{3}{S_{\Delta ABCD}}.SO\) = \(\frac{4}{3}SO\). (1)
Gọi M là trung điểm AB, ta lần lượt có: S$_{ΔABCD}$ = AB$^2$ = 4 ⇔ AB = 2.
S$_{ΔSAB}$ = \(\frac{1}{2}SM.AB\) ⇔ SM = \(\frac{{2{S_{\Delta SAB}}}}{{AB}}\) = \(\sqrt 2 \)
SO$^2$ = SM$^2$ - OM$^2$ = \(S{M^2} - {\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)^2}\) = 2 - 1 = 1. (2)
Thay (2) vào (1) ta được V = \(\frac{4}{3}\) (đvdt).

b. Gọi O là tâm của đáy ABCD, ta có: V = \(\frac{1}{3}{S_{\Delta ABCD}}.SO\) = \(\frac{1}{3}A{B^2}.SO\). (3)
Gọi M là trung điểm AB, ta lần lượt:

• Trong ΔABC vuông cân tại B, ta có \(AB = \frac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = \frac{2}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \). (4)
• Trong ΔSMA vuông tại M, ta có: \(SM = AM.\cot \widehat {ASM}\)\( = \frac{{AB}}{2}.\cot {30^0}\) = $\frac{{\sqrt 6 }}{2}$.
• Trong ΔSOM vuông tại O, ta có: SO$^2$ = SM$^2$ - OM$^2$ = $\frac{6}{4} - \frac{2}{4} = 1$ ⇒ SO = 1. (5)

Thay (4), (5) vào (3) ta được V = $\frac{2}{3}$ (đvtt).
Nhận xét: Như vậy, để tính thể tích của các khối chóp tứ giác đều trên chúng ta đã thực hiện đúng theo bốn bước được nêu trong phần phương pháp, với lưu ý dạng hình chóp này luôn nhận SO làm đường cao.

Thí dụ 3:
a. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng \(\sqrt 3 \) và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 600. Tính thể tích của hình chóp.
b. Cho hình chóp tam giác có các cạnh đáy bằng 6, 8, 10. Một cạnh bên có độ dài bằng 4 và tạo với đáy một góc 60$^0$. Tính thể tích khối chóp.
a. Xét khối chóp tam giác đều S.ABC thỏa mãn điểu kiện đầu bài.
Gọi G là trọng tâm ΔABC, suy ra SG ⊥ (ABC) nên: V = \(\frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SG\) = \(\frac{1}{3}.\frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4}.SG\). (1)
Trong ΔSGA vuông tại G, ta có: \(\widehat {SAG}\) = g(SA, (ABC)) = 60$^0$;
SG = AG.tan\(\widehat {SAG}\) = \(\frac{2}{3}AE.\tan \widehat {SAG}\) = \(\frac{2}{3}.\frac{{\sqrt 3 .\sqrt 3 }}{2}.\tan {60^0}\)= \(\sqrt 3 \). (2)
Thay (2) vào (1) ta được: V = \(\frac{1}{3}.\frac{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4}.\sqrt 3 \) = \(\frac{3}{4}\) (đvdt).

b. Xét khối chóp tam giác S.ABC thỏa mãn điểu kiện đầu bài với AB = 6, AC = 8, BC = 10, SA = 4 và tạo với đáy một góc 60$^0$.
Gọi H là hình chiếp vuông góc của S xuống (ABC), ta có: V = \(\frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SH\). (3)
Ta lần lượt: Trong ΔABC, ta có: AB$^2$ + AC$^2$ = 6$^2$ + 8$^2$ = 100 = 10$^2$ = BC$^2$
⇔ ΔABC vuông tại A ⇒ \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.6.8 = 24\). (4)
Trong ΔSHA vuông tại H, ta có \(\widehat {SAH}\) = g(SA, (ABC)) = 60$^0$ nên:
SH = \(SA.\sin \widehat {SAH}\) = 4.sin60$^0$ = \(2\sqrt 3 \). (5)
Thay (4), (5) vào (3) ta được V = \(\frac{1}{3}.24.2\sqrt 3 \) = \(16\sqrt 3 \) (đvtt).
Nhận xét: Như vậy, để tính thể tích của các khối chóp trên chúng ta đã thực hiện đúng theo bốn bước được nêu trong phần phương pháp, tuy nhiên:

• ở câu a) chúng ta dễ dàng xác định được đường cao (mọi hình chóp đa giác đều có đường cao là đoạn thẳng nối đỉnh với tâm của đáy) và công thức tính diện tích đáy.
• ở câu b) bằng việc gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) chúng ta đã thực hiện được hai mục đích là "Xác định được góc giữa SA với (ABC) và đường cao SH của hình chóp". Ngoài ra, nếu các em học sinh không biết đánh giá để nhận được ΔABC vuông tại A thì cũng có thể tính được diện tích ΔABC bằng công thức Hêrông.

Thí dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác vuông cân AB = AC = a. Mặt bên (SBC) vuông góc với mặt đáy (ABC), hai mặt bên còn lai đều tạo với đáy môt góc 45$^0$.
a. Chứng minh rằng hình chiếu vuông góc của S xuống đáy (ABC) là trung điểm cạnh BC.
b. Tính thể tích hình chóp S.ABC.
a. Hạ SH vuông góc với BC thì cùng với các điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}(ABC) \cap (SBC) = BC\\(ABC) \bot (SBC)\end{array} \right.\) ⇒ SH ⊥ (ABC).
Hạ HM, HN theo thứ tự vuông góc với AB và AC (M, N theo thứ tự sẽ là trung điểm của AB, AC), ta có:
SM ⊥ AB ⇒ \(\widehat {SMH} = {45^0}\), SN ⊥ AC ⇒ \(\widehat {SNH} = {45^0}\).
Từ đó, ta được: ΔSHM = ΔSHN ⇒ HM = HN ⇒ ΔBHM = ΔCHN ⇒ HB = HC.
Vậy, hình chiếu vuông góc của S xuống (ABC) là trung điểm cạnh BC.

b. Trong ΔSHM vuông tại H, ta có: \(\widehat {SMH} = {45^0}\) ⇒ SH = MH = \(\frac{1}{2}\)AC = \(\frac{a}{2}\).
Từ đó, suy ra: V = \(\frac{1}{3}\)SH.S$_{ΔABC}$ = \(\frac{1}{3}\).\(\frac{a}{2}\).\(\frac{{{a^2}}}{2}\) = $\frac{{{a^3}}}{{12}}$ (đvtt).

Nhận xét:
a. Trong lời giải trên chúng ta đã sử dụng kết quả: "Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào thuộc mặt phẳng (P), vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) sẽ vuông góc với mặt phẳng (Q)"để xác định đường cao của hình chóp. Các em học sinh cần nhớ thêm kết quả:
"Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba"

b. Do đặc thù của công thức tính thể tích một khối lăng trụ chúng ta cụ thể năm bước trong dạng toán 1 ở phần mở đầu thành các bước:

• Bước 1: Xác định các yếu tố của giả thiết (như khoảng cách, góc giữa đường thẳng với mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng ...) theo các phương pháp đã biết.
• Bước 2: Thiết lập công thức tính cho thể tích V thông qua biểu thức chứa những đoạn thẳng phải tính. (1)
• Bước 3: Tính những đoạn thẳng ấy bằng cách sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác, tính chất đồng dạng... (2)
• Bước 4: Thay (2) vào (1), ta được giá trị của V.

Thí dụ 5: Đáy của một hình lăng trụ là một hình thoi cạnh bằng a và góc nhọn bằng α, cạnh bên có dài bằng b và tạo với đáy một góc β. Tính thể tích của lăng trụ.
Gọi h là độ dài đường cao của hộp, ta có: V = B.h. (1)
Ta lần lượt:
Diện tích đáy của nó hình hộp được cho bởi: B = 2S$_{ΔABD}$ = \(2.\frac{1}{2}AB.AD.\sin \widehat {BAD}\) = \({a^2}.\sin \alpha \). (2)
Gọi H là hình chiếp vuông góc của A' xuống (ABCD), ta có: \(\widehat {A'AH} = \beta \) ⇒ \(h = A'H = A'A.\sin \widehat {A'AH} = b.\sin \beta \) (3)
Thay (2), (3) vào (1), ta được V = \({a^2}b.\sin \alpha .\sin \beta \) (đvtt).
Nhận xét: Như vậy, để tính được thể tích khối lăng trụ trên chúng ta cần xác định được góc giữa cạnh bên và đáy (góc giữa đường thẳng và mặt phẳng). Với diện tích hình thoi chúng ta đã sử dụng định lí hàm số sin.

Thí dụ 6: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’, mặt bên ABB’A’ có diện tích bằng S. Khoảng cách giữa cạnh CC’ và mặt (ABB’A’) bằng d. Tính thể khối tích lăng trụ.
Ta dựng khối hộp ABCD.A’B’C’D’, khi đó: ${V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{1}{2}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}$ = \(\frac{1}{2}{S_{AB{B_1}{A_1}}}.h\). (1)
trong đó: \({S_{AB{B_1}{A_1}}}\) = S. (2)
h = d((CDD1C1).(ABB1A1)) = d(CC1.(ABB1A1)) = d. (3)
Thay (2), (3) vào (1), ta được \({V_{ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}}\) = \(\frac{1}{2}Sd\).