Dạng 3: Tỉ số thể tích khối đa diện

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Phương pháp
Để tính tỉ số thể tích hai phần của một khối đa diện (H) được phân chia bởi một mặt phẳng (α) ta lựa chọn một trong hai cách:
Cách 1: Ta thực hiện theo các bước:
  • Bước 1: Dựng thiết diện tạo bởi (α) và (H).
  • Bước 2: Dùng phương pháp tính thể tích đã biết để tính các thể tích V1 và V¬2 của 2 hình (H$_1$) và (H$_2$) của (H) do (α) cắt ra.
  • Bước 3:Tính $k = \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}$.
Cách 2: Sử dụng kết quả:
"Trên ba tia không đồng phẳng Sx, Sy, Sz lấy lần lượt các cặp điểm A và A1, B và B1, C và C1 khi đó ta luôn có:
$\frac{{{V_{SABC}}}}{{{V_{S{A_1}{B_1}{C_1}}}}}$ = $\frac{{SA}}{{S{A_1}}}.\frac{{SB}}{{S{B_1}}}.\frac{{SC}}{{S{C_1}}}$" (*)
Chú ý: Dựa vào kết quả (*) chúng ta nhận thêm được một cách tính thể tích.


Thí dụ 1: Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V. Gọi B' và D' lần lượt là trung điểm của AB và AD. Mặt phẳng (CB'D') chia khối tứ diện thành hai phần. Tính thể tích mỗi phần đó.
Giải
ti-so-the-tich-khoi-da-dien-png.2058
Ta lần lượt có: \(\frac{{{V_{A.B'CD'}}}}{{{V_{A.BCD}}}} = \frac{{AB'}}{{AB}}.\frac{{AC}}{{AC}}.\frac{{AD'}}{{AD}}\) = \(\frac{1}{4}\) ⇒ VAB'CD' = \(\frac{V}{4}\).
V$_{CB'D'DB}$ = V$_{ABCD}$ - V$_{AB'CD'}$ = V - \(\frac{V}{4}\) = \(\frac{{3V}}{4}\).

Nhận xét: Như vậy, để tính thể tích của các khối đa diện trên chúng ta đã sử dụng tỉ số thể tích. Các thí dụ tiếp theo vẫn minh họa phương pháp này nhưng với độ phức tạp cao hơn.

Thí dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy là tam giác vuông cân AB = BC = a. Gọi B' là trung điểm của SB, C' là chân đường cao hạ từ A của ΔSAC.
a. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
b. Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng (AB'C').
c. Tính thể tích khối chóp S.AB'C'.
Giải
ti-so-the-tich-khoi-da-dien-2-png.2057
a. Ta có: V$_{S.ABC}$ = \(\frac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}}\) = \(\frac{1}{3}.a.\frac{{{a^2}}}{2}\) = $\frac{{{a^3}}}{6}$.

b. Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right.\) ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AB'. (1)
Ngoài ra, vì ΔSAB cân tại A nên SB ⊥ AB'. (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AB' ⊥ (SBC) ⇒ AB' ⊥ SC \(\mathop \Rightarrow \limits^{AC' \bot SC} \) SC ⊥ (AB'C'), đpcm.

c. Sử dụng tỉ số thể tích và hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
$\frac{{{V_{S.AB'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SC'}}{{SC}}$$ = 1.\frac{1}{2}.\frac{{SC'.SC}}{{S{C^2}}}$$ = \frac{1}{2}.\frac{{S{A^2}}}{{S{A^2} + A{C^2}}}$
$ = \frac{1}{2}.\frac{{S{A^2}}}{{S{A^2} + A{B^2} + B{C^2}}}$$ = \frac{1}{2}.\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {a^2} + {a^2}}}$$ = \frac{1}{6}$
⇔ V$_{S.AB'C'}$ = \(\frac{1}{6}{V_{S.ABC}}\)$ = \frac{1}{6}.\frac{{{a^3}}}{6}$$ = \frac{{{a^3}}}{{36}}$ (đvtt).

Nhận xét: Như vậy, để tính thể tích của các khối hộp chóp S.AB’C’ chúng ta sử dụng tỉ số thể tích, và trong đó cần một thủ thuật nhỏ để tính tỉ số SC’:SC. Trong trường hợp các em học sinh không biết tới cách giải này thì cần sử dụng phương pháp truyền thống, cụ thể: Sử dụng kết quả câu b) suy ra SC’ là đường cao của hình chóp S.AB’C’. Và sử dụng tính chất về quan hệ vuông góc chứng tỏ ΔAB’C’ buông tại B’.

Từ đó, suy ra: V$_{S.AB'C'}$ = \(\frac{1}{3}SC'.{S_{\Delta AB'C'}}\) = $\frac{1}{6}.SC'.AB'.B'C'$. (3)
  • Tính các độ dài SC’, AB’, B’C’ dựa trên hệ thức lượng trong tam giác vuông và tam giác đồng dạng. (4)
  • Thay (4) vào (3) ta nhận được thể tích hình chóp S.AB’C’.

Thí dụ 3: Cho tứ diện ABCD có thể tích V. Hãy tính thể tích của hình tứ diện có đỉnh là trọng tâm các mặt của tứ diện đã cho.
Giải
Với tứ diện ABCD, gọi G$_1$, G$_2$, G$_3$, G$_4$, G theo thứ tự là trọng tâm của ΔABC, ΔABD, ΔACD, ΔBCD và tứ diện ABCD.
Khi đó, với phép vị tự tâm G tỉ số \(k = - \frac{1}{3}\), ta có: $V_G^{ - \frac{1}{3}}(ABCD) = ({G_4}{G_3}{G_2}{G_1})$.
Từ đó, suy ra: \(\frac{{{V_{{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{3}.\frac{1}{3} = \frac{1}{{27}}\) ⇔ \({V_{{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}}} = \frac{V}{{27}}\).

Nhận xét: Như vậy, để tính thể tích của tứ diện G1G2G3G4 chúng ta sử dụng tỉ số thể tích, và trong đó các tỉ số được tính bằng việc sử dụng tính chất của phép vị tự.
 
Sửa lần cuối:

Bình luận bằng Facebook